Как умножить вектор на вектор

Векторное произведение векторов.

Формулы вычисления векторного произведения векторов

Векторное произведение двух векторов a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < b_x ; b_y ; b_z > в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

Свойства векторного произведения векторов

SΔ =	1	| a × b |
	2

Примеры задач на вычисления векторного произведения векторов

= i (-4 — 3) — j (-2 — 6) + k (1 — 4) = -7 i + 8 j — 3 k =

Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:

= i (-2 + 2) — j (1 + 4) + k (-1 — 4) = -5 j — 5 k =

Из свойств векторного произведения:

SΔ = 1 2 | a × b | = 1 2 √ 0 2 + 5 2 + 5 2 = 1 2 √ 25 + 25 = 1 2 √ 50 = 5√ 2 2 = 2.5√ 2

Ответ: SΔ = 2.5√ 2 .

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Умножение векторов

Для векторов существует три вида умножения векторов: скалярное и векторное произведение двух векторов и смешанное произведение трех векторов. Результатом первого и последнего есть число, а результатом векторного произведения – вектор.

Скалярное умножение векторов

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Замечание. Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение равно нулю.

Замечание. Из определения скалярного произведения получаем, что угол (а точнее его косинус) между векторами-сомножителями вычисляется по формуле:

Скалярное произведение вектора на самого себя называется скалярным квадратом и обозначается .

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

Тогда длина вектора может быть найдена по формуле:

Скалярное произведение двух векторов положительно, если угол между векторами острый; и отрицательно, если угол тупой.

Критерий ортогональности векторов. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними прямой, то есть когда эти векторы ортогональны (перпендикулярны):

Если векторы и заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

Задание	Найти скалярное произведение векторов
Решение	Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

Векторное умножение векторов

Векторным произведением векторов и называется вектор, ортогональный плоскости, образованной векторами и , и длина которого равна

Замечание. Таким образом, длина (модуль) вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и :

Критерий коллинеарности векторов. Два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю:

Если векторы и заданы своими координатами в пространстве, то их векторное произведение определяется формулой:

Задание	Найти векторное произведение векторов
Решение	Для нахождения векторного произведения указанных векторов составляем определитель:

Раскладывая его по элементам первой строки, будем иметь:

Смешанное умножение векторов

Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами :

Критерий компланарности векторов. Если три вектора компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Если векторы заданы в пространстве своими координатами: , то их смешанное произведение можно вычислить по формуле:

Задание	Исследовать тройку векторов на компланарность.
Решение	Вычислим смешанное произведение заданных векторов. Для этого составим определитель, по строкам которого записаны координаты исследуемых векторов и :

Поскольку смешанное произведение равно нулю, то делаем вывод, что векторы компланарны.

Произведение векторов друг на друга

Векторное произведение двух векторов в трёхмерном евклидовом пространстве — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, длина которого равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами.

Это одна из основных операций над векторами в векторной алгебре. Вектор, в отличие от обычного отрезка, имеет не только длину, но и направление в пространстве.

Основные типы перемножения векторов

В математике есть два основных вида умножения векторов: скалярное и векторное. Результатом первого является число, результатом второго — вектор. Оба произведения применяются к двум векторам. Также выделяют смешанное произведение векторов, которое является комбинацией двух вышеописанных. Оно применяется, когда необходимо узнать результат умножения трех векторов.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Скалярное

Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Длина вектора является его модулем.

Записывается скалярное произведение двумя способами: \( (\overline a,\;\overline b) \) или \( \overline a\cdot\overline b.\)

Алгебраические свойства скалярного произведения

1. Перестановочность. Произведение не меняется от перемены мест множителей: \(\overline a\cdot\overline b=\overline b\cdot\overline a.\)
2. Сочетательность относительно числа. Умножение одного из векторов на число равносильно умножению обоих векторов на это число: \((\lambda\overline a)\cdot\overline b=\lambda(\overline a\cdot\overline b)(\lambda\overline a)\cdot(\mu\overline b)=(\lambda\mu)(\overline a\cdot\overline b).\)
3. Распределительный закон. Скалярное произведение суммы двух векторов на третий равносильно сумме скалярных произведений этих векторов на третий вектор: \((\overline a+\overline b)\cdot\overline c=\overline a\cdot\overline c+\overline b\cdot\overline c.\)

Таким образом, при выполнении алгебраических действий, связанных со скалярным произведением, с векторами можно обращаться как с числами.

Геометрические свойства скалярного умножения

1. Скалярное произведение вектора на него же равняется квадрату его модуля: \(\overline a\cdot\overline a=\overline a^2=\overline<\left|a\right|>\cdot\overline<\left|a\right|>\cdot\cos\left(0\right)=\left|\overline a^2\right|.\)
2. Если угол между векторами острый (меньше \(90^\circ\) ), то скалярное произведение этих векторов больше нуля.
3. Если угол между векторами тупой (больше \(90^\circ\) ), то их скалярное произведение меньше нуля.
4. Если вектора перпендикулярны (угол равен \(90^\circ\) ), то их скалярное произведение будет равняться нулю.
5. Если координаты перемножаемых векторов известны, то их скалярное произведение будет равняться сумме произведений соответствующих координат: \( \overline a\cdot\overline b=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y+a_z\cdot b_z.\)

Геометрический смысл

Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию второго вектора на первый.

\(\overline a\cdot\overline b=\left|\overline a\right|\cdot пр_\overline a\overline b=\overline<\left|b\right|>\cdot пр_\overline b\overline a\)

Физический смысл

Скалярное произведение применяется для расчета работы, выполняемой при перемещении материальной точки вдоль вектора \(\overline s\) под действием силы \(\overline F\) , приложенной под некоторым углом \(\varphi.\)

Рисунок 1. Физический смысл скалярного произведения

Силу \(\overline F\) необходимо разложить на ортогональные компоненты \(\overline\) и \(\overline.\) Тогда \(\overline\) будет являться проекцией силы \(\overline F\) на вектор \(\overline s:\)

В свою очередь, работа A вычисляется по формуле:

Соединив данные формулы получим:

\(A=\left|\overline F\right|\cdot\left|\overline S\right|\cdot\cos\left(\varphi\right),\)

что является скалярным произведением векторов \(\overline F\) и \(\overline s:\)

\(A=\overline F\cdot\overline S.\)

Векторное

Векторным произведением векторов \overline a и \overline b называют перпендикулярный им вектор \overline c из правой тройки, модуль которого равняется произведению модулей векторов \overline a и \overline b на синус угла между ними.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму совершается против часовой стрелки. В противном случае такая тройка называется левой.

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Векторное произведение может выражаться в записи двумя способами: \(\overline a\times\overline b\) и \(\lbrack\overline a,\overline b\rbrack.\)

Алгебраические свойства

1. Антиперестановочность. В отличие от скалярного произведения, в векторном при перемене мест множителей знак меняется на противоположный: \(\overline a\times\overline b=-(\overline b\times\overline a)\)
2. Сочетательность относительно числа. Как и в случае со скалярным умножением, произведение числа на один из векторов равняется произведению его на другой или на оба вектора: \((\lambda\overline a)\times\overline b=\overline a\times(\lambda\overline b)=\lambda(\overline a\times\overline b).\)
3. Распределительный закон. Векторное произведение суммы двух векторов на третий равносильно сумме векторных произведений этих векторов на третий вектор: \((\overline a+\overline b)\times\overline c=\overline a\times\overline c+\overline b\times\overline c.\)

Из этого следует, что при выполнении алгебраических действий, связанных с векторным произведением, скобки можно раскрывать так же, как при работе с числами, с поправкой на правило антиперестановочности.

Геометрические свойства

1. Если вектора \(\overline a\) и \(\overline b\) параллельны, то их векторное произведение равняется нулю.
2. Векторное произведение векторов с известными координатами выражается в матричном виде: \(\overline a\times\overline b=\begini&j&k\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end=\left(\begina_y&a_z\\b_y&b_z\end;\;-\begina_x&a_z\\b_x&b_z\end;\;\begina_x&a_y\\b_x&b_y\end\right).\)

Геометрический смысл

Модуль векторного произведения двух векторов равняется площади параллелограмма, сторонами которого являются эти вектора.

Рисунок 2. Геометрический смысл векторного произведения

Из определения векторного умножения следует, что модуль полученного вектора равняется произведению модулей исходных векторов на синус угла между ними:

\(\left|\overline c\right|=\left|\overline a\right|\cdot\left|\overline b\right|\cdot\sin\left(\varphi\right)\)

Площадь параллелограмма вычисляется так:

\(S=\left|\overline a\right|\cdot h, где h=\left|\overline b\right|\cdot\sin\left(\varphi\right).\)

Таким образом, получаем:

\(S=\left|\overline a\right|\cdot\left|\overline b\right|\cdot\sin\left(\varphi\right)=\left|\overline a\times\overline b\right|\)

Отсюда следует формула для площади треугольника:

\(S_\bigtriangleup=\frac12\left|\overline a\times\overline b\right|\)

Физический смысл

В физике векторное произведение применяется для расчета момента силы, приложенной к одной точке относительно другой:

\(\overline M=\overline\times\overline F\)

Смешанное умножение векторов

Фактически, смешанное произведение векторов представляется как скалярное умножение одного вектора на векторное произведение двух других. Результатом смешанного произведения является число.

Свойства смешанного умножения

1. \((\overline a\times\overline b)\cdot\overline c=\overline a\cdot(\overline b\times\overline c)=\overline a\cdot\overline b\cdot\overline c.\)
2. Если \(\overline a\cdot\overline b\cdot\overline c\) больше нуля, тройка векторов — правая.
3. Если \( \overline a\cdot\overline b\cdot\overline c\) меньше нуля, тройка векторов — левая.
4. Если вектора \(\overline a, \overline b\) и \(\overline c\) компланарны, то их смешанное произведение равняется нулю.

Геометрический смысл

Если вектора \overline a, \overline b и \overline c не компланарны, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Число будет положительным, если тройка векторов правая, и отрицательным, если тройка левая.

\(V_<пар.>=\overline a\cdot\overline b\cdot\overline c\)

Следствием этого является формула нахождения объема пирамиды:

\(V_<пир.>=\frac16\left(\overline a\cdot\overline b\cdot\overline c\right)\)

Произведение векторов, примеры и решения

Задача №1

Даны вектора \(\overline a=(-1,\;0,\;3) и \overline b=(2,\;-3,\;1).\)

Найти их скалярное произведение.

Решение

Возьмем формулу скалярного произведения для векторов с известными координатами:

\(\overline a\cdot\overline b=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y+a_z\cdot b_z\) и подставим имеющиеся значения:

\(\overline a\cdot\overline b=(-1)\cdot2+0\cdot(-3)+3\cdot1=1\)

Задача №2

Найти площадь треугольника с известными координатами угловых точек

Решение

Для решения этой простейшей задачи из геометрии воспользуемся следствием геометрического смысла векторного произведения:

\(S_\bigtriangleup=\frac12\left|\overline a\times\overline b\right|\)

В данном случае треугольник построен на векторах \( \overline\) и \(\overline\) . Чтобы рассчитать их координаты, необходимо вычесть из координат конечной точки координаты начальной:

Векторное произведение векторов с известными координатами выполняется в матричном виде:

Подставляем значения векторов \( \overline\) и \(\overline\) в матрицу и производим вычисления:

Подставляем полученное значение в формулу вычисления площади треугольника, учитывая, что в ней фигурирует модуль произведения:

Векторное произведение — определения, свойства, формулы, примеры и решения

Перед тем, как дать понятие векторного произведения, обратимся к вопросу о ориентации упорядоченной тройки векторов a → , b → , c → в трехмерном пространстве.

Отложим для начала векторы a → , b → , c → от одной точки. Ориентация тройки a → , b → , c → бывает правой или левой, в зависимости от направления самого вектора c → . От того, в какую сторону осуществляется кратчайший поворот от вектора a → к b → с конца вектора c → , будет определен вид тройки a → , b → , c → .

Если кратчайший поворот осуществляется против часовой стрелки, то тройка векторов a → , b → , c → называется правой, если по часовой стрелке – левой.

Далее возьмем два не коллинеарных вектора a → и b → . Отложим затем от точки A векторы A B → = a → и A C → = b → . Построим вектор A D → = c → , который одновременно перпендикулярный одновременно и A B → и A C → . Таким образом, при построении самого вектора A D → = c → мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).

Упорядоченная тройка векторов a → , b → , c → может быть, как мы выяснили правой или левой в зависимости от направления вектора.

Из вышесказанного можем ввести определение векторного произведения. Данное определение дается для двух векторов, определенных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Векторным произведением двух векторов a → и b → будем называть такой вектор заданный в прямоугольной системе координат трехмерного пространства такой, что:

• если векторы a → и b → коллинеарны, он будет нулевым;
• он будет перпендикулярен и вектору a → ​​​​ и вектору b → т.е. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• его длина определяется по формуле: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• тройка векторов a → , b → , c → имеет такую же ориентацию, что и заданная система координат.

Векторное произведение векторов a → и b → имеет следущее обозначение: a → × b → .

Координаты векторного произведения

Так как любой вектор имеет определенные координаты в системе координат, то можно ввести второе определение векторного произведения, которое позволит находить его координаты по заданным координатам векторов.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторным произведением двух векторов a → = ( a x ; a y ; a z ) и b → = ( b x ; b y ; b z ) называют вектор c → = a → × b → = ( a y · b z — a z · b y ) · i → + ( a z · b x — a x · b z ) · j → + ( a x · b y — a y · b x ) · k → , где i → , j → , k → являются координатными векторами.

Векторное произведение можно представит как определитель квадратной матрицы третьего порядка, где первая строка есть векторы орты i → , j → , k → , вторая строка содержит координаты вектора a → , а третья – координаты вектора b → в заданной прямоугольной системе координат, данный определитель матрицы выглядит так: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Разложив данный определитель по элементам первой строки, получим равенство: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = ( a y · b z — a z · b y ) · i → + ( a z · b x — a x · b z ) · j → + ( a x · b y — a y · b x ) · k →

Свойства векторного произведения

Известно, что векторное произведение в координатах представляется как определитель матрицы c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , то на базе свойств определителя матрицы выводятся следующие свойства векторного произведения:

1. антикоммутативность a → × b → = — b → × a → ;
2. дистрибутивность a ( 1 ) → + a ( 2 ) → × b = a ( 1 ) → × b → + a ( 2 ) → × b → или a → × b ( 1 ) → + b ( 2 ) → = a → × b ( 1 ) → + a → × b ( 2 ) → ;
3. ассоциативность λ · a → × b → = λ · a → × b → или a → × ( λ · b → ) = λ · a → × b → , где λ — произвольное действительное число.

Данные свойства имеют не сложные доказательства.

Для примера можем доказать свойство антикоммутативности векторного произведения.

По определению a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z и b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . А если две строчки матрицы переставить местами, то значение определителя матрицы должно меняется на противоположное,следовательно, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = — i → j → k → b x b y b z a x a y a z = — b → × a → , что и доказывает антикоммутативность векторного произведения.

Векторное произведение – примеры и решения

В большинстве случаев встречаются три типа задач.

В задачах первого типа обычно заданы длины двух векторов и угол между ними, а нужно найти длину векторного произведения. В этом случае пользуются следующей формулой c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Найдите длину векторного произведения векторов a → и b → , если известно a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 .

С помощью определения длины векторного произведения векторов a → и b → решим данную задач: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Ответ: 15 2 2 .

Задачи второго типа имеют связь с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина и т.д. ищутся через известные координаты заданных векторов a → = ( a x ; a y ; a z ) и b → = ( b x ; b y ; b z ) .

Для такого типа задач, можно решить массу вариантов заданий. Например, могут быть заданы не координаты векторов a → и b → , а их разложения по координатным векторам вида b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → и c → = a → × b → = ( a y · b z — a z · b y ) · i → + ( a z · b x — a x · b z ) · j → + ( a x · b y — a y · b x ) · k → , или векторы a → и b → могут быть заданы координатами точек их начала и конца.

Рассмотрим следующие примеры.

В прямоугольной системе координат заданы два вектора a → = ( 2 ; 1 ; — 3 ) , b → = ( 0 ; — 1 ; 1 ) . Найдите их векторное произведение.

По второму определению найдем векторное произведение двух векторов в заданных координатах: a → × b → = ( a y · b z — a z · b y ) · i → + ( a z · b x — a x · b z ) · j → + ( a x · b y — a y · b x ) · k → = = ( 1 · 1 — ( — 3 ) · ( — 1 ) ) · i → + ( ( — 3 ) · 0 — 2 · 1 ) · j → + ( 2 · ( — 1 ) — 1 · 0 ) · k → = = — 2 i → — 2 j → — 2 k → .

Если записать векторное произведение через определитель матрицы, то решение данного примера выглядит следующим образом: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 — 3 0 — 1 1 = — 2 i → — 2 j → — 2 k → .

Ответ: a → × b → = — 2 i → — 2 j → — 2 k → .

Найдите длину векторного произведения векторов i → — j → и i → + j → + k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной декартовой системы координат.

Для начала найдем координаты заданного векторного произведения i → — j → × i → + j → + k → в данной прямоугольной системе координат.

Известно, что векторы i → — j → и i → + j → + k → имеют координаты ( 1 ; — 1 ; 0 ) и ( 1 ; 1 ; 1 ) соответственно. Найдем длину векторного произведения при помощи определителя матрицы, тогда имеем i → — j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 — 1 0 1 1 1 = — i → — j → + 2 k → .

Следовательно, векторное произведение i → — j → × i → + j → + k → имеет координаты ( — 1 ; — 1 ; 2 ) в заданной системе координат.

Длину векторного произведения найдем по формуле (см. в разделе нахождение длины вектора): i → — j → × i → + j → + k → = — 1 2 + — 1 2 + 2 2 = 6 .

Ответ: i → — j → × i → + j → + k → = 6 . .

В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек A ( 1 , 0 , 1 ) , B ( 0 , 2 , 3 ) , C ( 1 , 4 , 2 ) . Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный A B → и A C → одновременно.

Векторы A B → и A C → имеют следующие координаты ( — 1 ; 2 ; 2 ) и ( 0 ; 4 ; 1 ) соответственно. Найдя векторное произведение векторов A B → и A C → , очевидно, что оно является перпендикулярным вектором по определению и к A B → ​​​​​ и к A C → , то есть, является решением нашей задачи. Найдем его A B → × A C → = i → j → k → — 1 2 2 0 4 1 = — 6 i → + j → — 4 k → .

Ответ: — 6 i → + j → — 4 k → . — один из перпендикулярных векторов.

Задачи третьего типа ориентированы на использование свойств векторного произведения векторов. После применения которых, будем получать решение заданной задачи.

Векторы a → и b → перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4 . Найдите длину векторного произведения 3 · a → — b → × a → — 2 · b → = 3 · a → × a → — 2 · b → + — b → × a → — 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · a → × — 2 · b → + — b → × a → + — b → × — 2 · b → .

По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать 3 · a → — b → × a → — 2 · b → = 3 · a → × a → — 2 · b → + — b → × a → — 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · a → × — 2 · b → + — b → × a → + — b → × — 2 · b →

По свойству ассоциативности вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении: 3 · a → × a → + 3 · a → × — 2 · b → + — b → × a → + — b → × — 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · ( — 2 ) · a → × b → + ( — 1 ) · b → × a → + ( — 1 ) · ( — 2 ) · b → × b → = = 3 · a → × a → — 6 · a → × b → — b → × a → + 2 · b → × b →

Векторные произведения a → × a → и b → × b → равны 0, так как a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 и b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0 , тогда 3 · a → × a → — 6 · a → × b → — b → × a → + 2 · b → × b → = — 6 · a → × b → — b → × a → . .

Из антикоммутативности векторного произведения следует — 6 · a → × b → — b → × a → = — 6 · a → × b → — ( — 1 ) · a → × b → = — 5 · a → × b → . .

Воспользовавшись свойствами векторного произведения, получаем равенство 3 · a → — b → × a → — 2 · b → = = — 5 · a → × b → .

По условию векторы a → и b → перпендикулярны, то есть угол между ними равен π 2 . Теперь остается лишь подставить найденные значения в соответствующие формулы: 3 · a → — b → × a → — 2 · b → = — 5 · a → × b → = = 5 · a → × b → = 5 · a → · b → · sin ( a → , b → ) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Ответ: 3 · a → — b → × a → — 2 · b → = 60 .

Геометрический смысл векторного произведения

Длина векторного произведения векторов по орпеделению равна a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Так как уже известно (из школьного курса), что площадь треугольника равна половине произведения длин двух его сторон умноженное на синус угла между данными сторонами. Следовательно, длина векторного произведения равна площади параллелограмма — удвоенного треугольника, а именно произведению сторон в виде векторов a → и b → , отложенные от одной точки, на синус угла между ними sin ∠ a → , b → .

Это и есть геометрический смысл векторного произведения.

Физический смысл векторного произведения

В механике, одном из разделов физики, благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства.

Под моментом силы F → , приложенной к точке B , относительно точки A будем понимать следующее векторное произведение A B → × F → .