Как решать интегралы если dx в числителе

8. Интегрирование простейших дробей.

Задача нахождения неопределенного интеграла дробно рациональной функции сводится к интегрированию простейших дробей. Поэтому рекомендуем для начала ознакомиться с разделом теории разложение дроби на простейшие.

Найти неопределенный интеграл .

Так как степень числителя подынтегральной функции равна степени знаменателя, то для начала выделяем целую часть, проводя деление столбиком многочлена на многочлен:

Поэтому, .

Разложение полученной правильной рациональной дроби на простейшие дроби имеет вид. Следовательно,

Полученный интеграл представляет собой интеграл простейшей дроби третьего типа. Забегая немного вперед, отметим, что взять его можно методом подведения под знак дифференциала.

Так как , то. Поэтому

Следовательно,

Теперь перейдем к описанию методов интегрирования простейших дробей каждого из четырех типов.

Интегрирование простейших дробей первого типа

Для решения этой задачи идеально подходит метод непосредственного интегрирования:

Найти множество первообразных функции

Найдем неопределенный интеграл , используя свойства первообразной, таблицу первообразных и правило интегрирования.

К началу страницы

Интегрирование простейших дробей второго типа

Для решения этой задачи также подходит метод непосредственного интегрирования:

Найдите неопределенный интеграл .

К началу страницы

Интегрирование простейших дробей третьего типа

Для начала представляем неопределенный интеграл в виде суммы:

Первый интеграл берем методом подведения под знак дифференциала:

Поэтому,

У полученного интеграла преобразуем знаменатель:

Следовательно,

Формула интегрирования простейших дробей третьего типа принимает вид:

Найдите неопределенный интеграл .

Используем полученную формулу:

Если бы у нас не было этой формулы, то как бы мы поступили:

9. Интегрирование простейших дробей четвертого типа

Первый шаг – подводим под знак дифференциала:

Второй шаг – нахождение интеграла вида . Интегралы подобного вида находятся с использованием рекуррентных формул. (Смотрите разделинтегрирование с использованием рекуррентных формул). Для нашего случая подходит следующая рекуррентная формула:

Найдите неопределенный интеграл

Для данного вида подынтегральной функции используем метод подстановки. Введем новую переменную (смотрите раздел интегрирование иррациональных функций):

После подстановки имеем:

Пришли к нахождению интеграла дроби четвертого типа. В нашем случае имеем коэффициенты М = 0, р = 0, q = 1, N = 1 и n = 3. Применяем рекуррентную формулу:

После обратной замены получаем результат:

10. Интегрирование тригонометрических функций.

Множество задач сводится к нахождению интегралов трансцендентных функций, содержащих тригонометрические функции. В данной статье сгруппируем наиболее часто встречающиеся виды подынтегральных функций и на примерах рассмотрим методы их интегрирования.

Начнем с интегрирования синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Из таблицы первообразных сразу заметим, что и.

Метод подведения под знак дифференциалапозволяет вычислить неопределенные интегралы функций тангенса и котангенса:

К началу страницы

Поясним, как были найдены формулы и, находящиеся в таблице первообразных.

Разберем первый случай, второй абсолютно аналогичен.

Воспользуемся методом подстановки:

Пришли к задаче интегрирования иррациональной функции. Здесь нам также поможет метод подстановки:

Осталось провести обратную замену иt = sinx:

К началу страницы

Отдельно хочется остановиться на интегралах, содержащих степени тригонометрических функций, вида .

Подробно о принципах их нахождении можете ознакомиться в разделеинтегрирование с использованием рекуррентных формул. Если изучите вывод этих формул, то без особого труда сможете брать интегралы вида, гдеm и n – натуральные числа.

К началу страницы

Когда тригонометрические функции идут в комбинациях с многочленами или показательными функциями, то применяется метод интегрирования по частям. В этом разделе даны рекомендации для нахождения интегралов,.

К началу страницы

Максимум творчества приходится вкладывать, когда подынтегральная функция содержит тригонометрические функции с различными аргументами.

Здесь на помощь приходят основные формулы тригонометрии. Так что выписывайте их на отдельный листочек и держите перед глазами.

Найти множество первообразных функции .

Формулы понижения степени дают и.

Поэтому

Знаменатель представляет собой формулу синуса суммы, следовательно,

Приходим к сумме трех интегралов.

К началу страницы

Подынтегральные выражения, содержащие тригонометрические функции, иногда можно свести к дробно рациональным выражениям, используя стандартную тригонометрическую подстановку.

Выпишем тригонометрические формулы, выражающие синус, косинус, тангенс через тангенс половинного аргумента:

При интегрировании нам также понадобится выражение дифференциала dx через тангенс половинного угла.

Так как , то

То есть, , где.

Найти неопределенный интеграл .

Применим стандартную тригонометрическую подстановку:

Таким образом, .

Разложение на простейшие дробиподынтегральной функции приводит нас к сумме двух интегралов:

Осталось провести обратную замену :

11. Рекуррентные формулы – это формулы, выражающие n-ый член последовательности через предыдущие члены. При нахождении интегралов они не редко используются.

Мы не ставим целью перечислить все рекуррентные формулы, а хотим дать принцип их получения. Вывод этих формул основан на преобразовании подынтегральной функции и применении метода интегрирования по частям.

К примеру, неопределенный интеграл можно взять, используя рекуррентную формулу.

Вывод формулы :

Используя формулы тригонометрии, можно записать:

Полученный интеграл найдем методом интегрирования по частям. В качестве функции u(x)возьмем cosx, следовательно, .

Поэтому,

Возвращаемся к исходному интегралу:

То есть,

Что и требовалось показать.

Аналогично выводятся следующие рекуррентные формулы:

Для нахождения интегралов вида используется рекуррентная формула,n – натуральное число.

Для нахождения интегралов вида используется рекуррентная формула.

Для нахождения интегралов вида используется рекуррентная формула.

Для нахождения интегралов вида используется рекуррентная формула.

Найти неопределенный интеграл .

Используем рекуррентную формулу из четвертого пункта (в нашем примере n = 3):

Так как из таблицы первообразных имеем , то

Интегрирование рациональных дробей и функций

– многочлены степени m и n соответственно. Рациональная дробь называется правильной , если степень числителя меньше степени знаменателя (m<n), в противном случае дробь называется неправильной .

Простейшими элементарными дробями называются дроби следующего вида:

Интегралы, содержащие в знаменателе квадратный трехчлен, можно вычислить, применяя прием выделения полного квадрата разности или суммы. Рассмотрим пример такого интеграла.

Алгоритм интегрирования рациональной дроби

1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен, т.е. представить в виде:

2. Знаменатель разложим на простейшие сомножители: Q_n(x)

3. Представим дробь

виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

1. Приведем все дроби в разложении к общему знаменателю и приравняем числители в обеих частях равенства.
2. Составим систему уравнений, используя равенство многочленов, стоящих в числителе, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x.
3. Решим систему уравнений, находя некоторые коэффициенты методом частных значений, полагая равным действительным корням знаменателя.
4. Подставим найденные коэффициенты A₁,A₂,…,C_s,D_s в разложение дроби.
5. Проинтегрируем простейшие дроби.

Примеры интегрирования рациональных функций

Пример 4.

Корни знаменателя: x=1, а x 2 +1 = 0 не имеет действительных корней.

Тогда разложение для данной дроби имеет вид:

Приводя полученные дроби к общему знаменателю, получим тождество:

Вычислим коэффициенты разложения, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях. Так как знаменатель имеет три действительных различных корня, то три коэффициента найдем методом частных значений.

Интегрирование рациональных дробей

Пусть подынтегральное выражение есть рациональная дробь , где и — полиномы (многочлены) степеней k и n соответственно. Не умаляя общности, можем считать, что k < n, так как в противном случае всегда можно представить числитель в виде P(x) = Q(x)R(x) + S(x) , где R(x) и S(x) — полиномы, называемые обычно, как и в случае действительных чисел, частным и остатком, причем степень полинома S(x) меньше n . Тогда
, (1.1)
а интеграл от полинома R(x) мы вычислять умеем. Покажем на примере, как можно получить разложение (1.1). Пусть P(x)=x 7 +3x 6 +3x 5 –3x₃+4x₂+x-2 , Q(x)=x 3 +3x 2 +x-2 . Разделим полином P(x) на полином Q(x) так же, как мы делим вещественные числа (решение получаем через калькулятор деления столбиком ). Имеем

Таким образом, мы получили целую часть дроби (частное от деления полинома P на полином Q ) R(x) = x 4 +2x 2 –4x+7 и остаток S(x) = 9x 2 –14x+12 от этого деления.
По основной теореме алгебры любой полином может быть разложен на простейшие множители, то есть представлен в виде , где x_l – корни полинома Q(x) повторенные столько раз, какова их кратность.
Пусть полином Q(x) имеет n различных корней x₁, x₂. x_n. Тогда правильная рациональная дробь может быть представлена в виде , где A₁, A₂. A_n — числа подлежащие определению. Если x_i — корень кратности α , то ему в разложении на простейшие дроби соответствует α слагаемых . Если x_j — комплексный корень кратности α полинома с действительными коэффициентами, то комплексно сопряженное число x _j — тоже корень кратности α этого полинома. Чтобы не иметь дело с комплексными числами при интегрировании рациональных дробей, слагаемые в разложении правильной рациональной дроби, соответствующие парам комплексно сопряженных корней, объединяют и записывают одним слагаемым вида , если x_j , x _j – корни кратности один. Если x_j , x _j – корни кратности α, то им соответствует α слагаемых и соответствующее разложение имеет вид
Таким образом, интегрирование правильных рациональных дробей свелось к интегрированию простейших дробей, из которых , , являются табличными, может быть найден по рекуррентной формуле, которая получается интегрированием по частям. Интегралы , в случае, когда знаменатель имеет комплексные корни (дискриминант D=p 2 -4q<0 ), сводятся, с помощью выделения полного квадрата, к интегралам , заменой .
Одним из способов нахождения коэффициентов A_j, M_j, N_j в разложении правильной рациональной дроби является следующий. Правую часть полученного разложения с неопределенными коэффициентами A_j, M_j, N_j приводят к общему знаменателю. Так как знаменатели правой и левой частей равны, то должны быть равны и числители, которые являются полиномами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x (так как полиномы равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x ), получаем систему линейных уравнений для определения этих коэффициентов.

Примеры
1. Найти .
Корни знаменателя – x₁ = -2 кратности 1 и x₂=1 кратности 2. Поэтому x 3 – 3x + 2 = (x+2)(x-1) 2 и подынтегральная функция может быть представлена в виде
Приводя к общему знаменателю, получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего соотношения, получаем

Решая эту систему, находим A₁=7/9, A₂=2/9, A₃=1/3.
Таким образом,

2. Найти .
Корни знаменателя – x₁=2 кратности 1 и два комплексных корня x_2,3, = -1±i. Поэтому x 3 – 2x – 4 = (x-2)(x 2 + 2x+2) и подынтегральная функция может быть представлена в виде
Приводя к общему знаменателю, получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего соотношения, получаем

Решая эту систему, находим A=1 , M=1 , N=2 .
Таким образом,

Также рекомендуется ознакомиться с возможностью решения интегралов онлайн.

Пример . Найти .
Решение. Используем метод разложения на простейшие. Знаменатель имеет действительные корни, причем корень —1 имеет кратность два. Разложим подынтегральную функцию на простейшие слагаемые

Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях х, стоящие слева и справа должны совпадать
2x+1 = A(x-1) 2 +Bx(x-1) + Dx = (A+B)x 2 +(-2A-B+D)x+A
→ A=1, B=-1, D=3

Интегрирование простейших (элементарных) дробей

Как известно, любую рациональную функцию от некоторой переменной x можно разложить на многочлен и простейшие, элементарные, дроби. Имеется четыре типа простейших дробей:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Здесь a, A, B, b, c – действительные числа. Уравнение x 2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

Интегрирование дробей первых двух типов

Интегрирование первых двух дробей выполняется с помощью следующих формул из таблицы интегралов:
,
, n ≠ – 1 .

1. Интегрирование дроби первого типа

Дробь первого типа подстановкой t = x – a приводится к табличному интегралу:
.

2. Интегрирование дроби второго типа

Дробь второго типа приводится к табличному интегралу той же подстановкой t = x – a :

.

3. Интегрирование дроби третьего типа

Рассмотрим интеграл от дроби третьего типа:
.
Будем вычислять его в два приема.

3.1. Шаг 1. Выделим в числителе производную знаменателя

Выделим в числителе дроби производную от знаменателя. Обозначим: u = x 2 + bx + c . Дифференцируем: u′ = 2 x + b . Тогда
;
.
Но
.
Мы опустили знак модуля, поскольку .

3.2. Шаг 2. Вычисляем интеграл с A = 0, B=1

Теперь вычисляем оставшийся интеграл:
.

Приводим знаменатель дроби к сумме квадратов:
,
где .
Мы считаем, что уравнение x 2 + bx + c = 0 не имеет корней. Поэтому .

Тем самым мы нашли интеграл от дроби третьего типа:

,
где .

4. Интегрирование дроби четвертого типа

И наконец, рассмотрим интеграл от дроби четвертого типа:
.
Вычисляем его в три приема.

4.1) Выделяем в числителе производную знаменателя:
.

4.2) Вычисляем интеграл
.

4.3) Вычисляем интегралы
,
используя формулу приведения:
.

Далее мы приводим вывод этих формул, и пример вычисления интеграла от элементарной дроби четвертого типа.

4.1. Шаг 1. Выделение в числителе производной знаменателя

Выделим в числителе производную знаменателя, как мы это делали в разделе 3.1 ⇑. Обозначим u = x 2 + bx + c . Дифференцируем: u′ = 2 x + b . Тогда
.

4.2. Шаг 2. Вычисление интеграла с n = 1

Вычисляем интеграл
.
Его вычисление изложено в разделе 3.2 ⇑.

4.3. Шаг 3. Вывод формулы приведения

Теперь рассмотрим интеграл
.

Приводим квадратный трехчлен к сумме квадратов:
.
Здесь .
Делаем подстановку.
.
.

Выполняем преобразования и интегрируем по частям.

.

Итак, для I_n мы получили формулу приведения:
.
Последовательно применяя эту формулу, мы сведем интеграл I_n к I ₁ .

Пример

1. Выделим в числителе производную знаменателя.
;
;

.
Здесь
.

2. Вычисляем интеграл от самой простой дроби.

.

3. Применяем формулу приведения:

для интеграла .
В нашем случае b = 1 , c = 1 , 4 c – b 2 = 3 . Выписываем эту формулу для n = 2 и n = 3 :
;
.
Отсюда

.

Окончательно имеем:

.
Находим коэффициент при .
.