Что такое инъективное отображение

Инъективные, сюръективные отображения

Определение 1. Отображение : называется инъективным или инъекцией, если два различных элемента из множества имеют образами при отображении два различных элемента из множества , т.е.

Например, отображение : приведенное на следующей схеме

является инъекцией множества в множество . Здесь .

Определение 2. Отображение : называется сюръективным или сюръекцией, если каждый элемент из множества является образом при отображении по крайней мере одного элемента из , т.е.

Сюръективное отображение – это отображение множества на множество .

является сюръективным, а отображение :

не является сюръективным.

Если при отображении : , то отображение — сюръективное.

Теорема. Отображение : биективно тогда и только тогда, когда оно инъективно и сюръективно одновременно.

Доказательство. Пусть : — биективно. Тогда каждый элемент является образом при отображении некоторого элемента , следовательно, отображение — сюръективно. А так как этот элемент — единственный, то из этого следует, что разным элементам соответствуют разные образы, т.е. отображение инъективно.

Обратно, пусть : — инъективно и сюръективно одновременно. Тогда в силу сюръекции , а ввиду инъективности отображения содержит единственный элемент.

Отображение не сюръективно, т.к. элемент не является образом ни одного элемента из . Оно не является и инъективным, т.к. два различных элемента и имеют образом один и тот же элемент .

Отображение сюръективно, но не инъективно.

Отображение сюръективно и инъективно одновременно, т.к. оно биективно.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Инъективное отображение одного множества на другое называется также взаимно однозначным отображением. Непрерывное взаимно однозначное отображение множества X в множество У называется гомеоморфизмом. Непрерывное отображение множества X в множество У называется гомоморфизмом. [1]

Инъективное отображение обладает следующим свойством: различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции. [2]

Рассмотрим инъективные отображения f множества Е в F, где Е и F состоят, соответственно, из т и п элементов. [3]

Если инъективное отображение A ( d) — сохраняет кондукторы и согласовано с подкруткой на неразвет-влеиные характеры, то оно является биекцией. [4]

Рассматриваются инъективные отображения множества слов над конечным алфавитом 17 в множество слов над конечным алфавитом 17 ь Получено полное описание множества всех таких отображений, не размножающих искажений типа замены, пропуска и вставки букв. [5]

Ys есть инъективное отображение . [6]

Задано семейство инъективных отображений аффинных пространств в P ( V) j называемых аффинными картами. Каждой точке в А сопоставляется единственное одномерное подпространство в V, ее содержащее. [7]

По условию существуют инъективные отображения f: X — Y и g: Y — — X; зафиксируем их. Отображения / и g никак не связаны между собой. Если данное равенство выполняется, то, полагая ty ( x) f ( x) для всех дгеЛ и ty ( x) g — l ( x) для всех х Х А, мы получаем взаимооднозначное отображение ty: X — — Y множества X на множество У — это очевидно. [8]

Следовательно, существует инъективное отображение f: X — W. Так как f инъективно и — вполне упорядочение на W, этим определено вполне упорядочение на Х — Таким образом, доказана следующая фундаментальная теорема. [9]

Доказать, что инъективное отображение структуры подгеометрии L ( A) в структуру геометрии L ( S) является сильным отображением. [10]

А) индуцирует инъективное отображение множества классов изоморфизма главных неразложимых модулей в множество простых модулей. [11]

Вложение часто называют инъективным отображением , наложение — сюръективным, а взаимно однозначное отображение — биективным. [12]

В нижнем ряду таблицы инъективного отображения Ф: А — В в отличие от таблиц произвольных отображений, каждый элемент множества В встречается лишь один раз. Следовательно, на каждой горизонтальной прямой графика инъекции обозначено не более одной вершины сетки, а при стрелочном изображении инъекпии в каждую точку, которой обозначается элемент множества Б, входит не более чем одна стрелка. [13]

В нижнем ряду таблицы инъективного отображения ср : Д — В в отличие от таблиц произвольных отображений, каждый элемент множества В встречается лишь один раз. Следовательно, на каждой горизонтальной прямой графика инъекции обозначено не более одной вершины сетки, а при стрелочном изображении инъекции в каждую точку, которой обозначается элемент множества В, входит не более чем одна стрелка. [14]

Образ некомпактного полиэдра при инъективном отображении может не быть полиэдром. Как обстоит дело с компактными полиэдрами и произвольными кусочно линейными отображениями. [15]

Основные алгебраические структуры и операции

Пусть $f: U\to V$ — отображение непустых множеств. Тогда:

f — инъективное отображение тогда и только тогда, когда существует отображение $g: V\to U$ такое, что gf=1_U (т. е. существует левый обратный элемент для отображения f ),
f — сюръективное отображение тогда и только тогда, когда существует отображение $g: V\to U$ такое, что fg=1_V (т. е. существует правый обратный элемент для отображения f ),
f — биективное отображение тогда и только тогда, когда существует отображение $g: V\to U$ такое, что gf=1_U и fg=1_V (т. е. существует левый и правый обратные для отображения f ).

1а) Пусть $f: U\to V$ — инъективное отображение. Построим отображение $g: V\to U$ следующим образом. Если $v\in \text<Im>f\subseteq V» /> и v=f(u) , <img decoding=$ , то этот элемент u определен единственным образом (в силу инъективности отображения f ). В этом случае положим g(v)=u . Для всех элементов $v\in V\setminus \text<Im>f» /> положим <img decoding=$ , где u₀ — некоторый фиксированный элемент в U . Тогда для всякого элемента $u\in U$ имеем (gf)(u)=g(f(u))=u=1_U(u) , т. е. gf=1_U .

1б) Если существует отображение $g: V\to U$ такое, что gf=1_U , и f(u₁)=f(u₂) для $u_1,u_2\in U$ , то u₁=1_U(u₁)=(gf)(u₁)=g(f(u₁))=g(f(u₂))=(gf)(u₂)=1_U(u₂)=u₂ . Итак, f — инъективное отображение.

2а) Пусть $f: U\to V$ — сюръективное отображение. Для каждого элемента $v\in V$ множество $\<u\in U\mid f(u)=v\>» /> не является пустым. Выберем в нем один элемент uv (для интересующихся аксиоматикой теории множеств: это можно сделать в силу аксиомы выбора). Определим отображение <img decoding=$ , полагая g(v)=u_v . Тогда (fg)(v)=f(g(v))=f(u_v)=v=1_V(v) . Таким образом, fg=1_V .

2б) Если fg=1_V для некоторого отображения $g: V\to U$ , то для всякого $v\in V$ имеем v=1_V(v)=(fg)(v)=f(g(v)) , т. е. v=f(u) для u=g(v) , следовательно, $f: U\to V$ — сюръективное отображение.

3а) Если $f: U\to V$ — биекция, то для всякого элемента $v\in V$ существует, и единственный, элемент $u\in U$ такой, что v=f(u) . В этом случае положим g(v)=u . Получим отображение $g: V\to U$ , для которого: (gf)(u)=g(f(u))=u для всякого $u\in U$ , т. е. gf=1_U ; (fg)(v)=f(g(v))=f(g(f(u)))=f(u)=v для всякого $v\in V$ , т. е. fg=1_V .

Замечание 1.8.2. Можно было воспользоваться уже доказанными утверждениями 1а), 2а): из инъективности отображения $f: U\to V$ следует существование отображения $g: V\to U$ , для которого gf=1_U ; из сюръективности отображения $f: U\to V$ следует существование отображения , для которого fg’=1_V ; но тогда g’=1_Ug’=(gf)g’=g(fg’)=g1_V=g; таким образом, gf=1_U, fg=1_V .

3б) Если существует отображение $g: V\to U$ , для которого gf=1_U и fg=1_V , то в силу 1б), f — инъекция , а в силу 2б), f — сюръекция, т. е. f — биекция.

Замечание 1.8.3. Отображение g , для которого gf=1_U , fg =1_V , как мы показали, определено однозначно. Оно будет обозначаться g=f^<-1>» />.
Лемма 1.8.4. Пусть <img decoding= , $u_1\ne u_2$ , то $f(u_1)\ne f(u_2)$ , и $(gf)(u_1)=g(f(u_1))\ne g(f(u_2))=(gf)(u_2)$ , т. е. gf — инъекция .

Если $w\in W$ , то w=g(v) для некоторого $v\in V$ ; далее, v=f(u) для некоторого $u\in U$ ; поэтому w=g(f(u))=(gf)(u) , т. е. отображение gf является сюръекцией.

следует из 1) и 2).

Так как gf=1_U , fg=1_V , то f=g^<-1>» />, и поэтому <img decoding=

Инъекция в математике — отображение множества в множество ( ), при котором разные элементы множества переводятся в разные элементы множества , то есть, если два образа при отображении совпадают, то совпадают и прообразы: .

Инъекцию также называют вложением или одно-однозначным отображением (в отличие от биекции, которая взаимно-однозначна). В отличие от сюръекции, про которую говорят, что она отображает одно множество на другое, об инъекции аналогичная фраза формулируется как отображение в .

Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, то есть, инъективно, если существует , при котором .

Понятие инъекции (наряду с сюръекцией и биекцией) введено в трудах Бурбаки и получило широкое распространение почти во всех разделах математики.

Обобщением понятия инъекции в теории категорий является понятие мономорфизма, во многих категориях эти понятия эквивалентны, однако это выполнено не всегда.

Одним из прикладных примеров применения понятия инъекции является организация связи «один к одному» между сущностями в реляционной модели данных. Другое пример — идеальное хеширование.

Что такое инъективное отображение

Инъективные, сюръективные отображения

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Основные алгебраические структуры и операции

Добавить комментарий Отменить ответ