Во скольких точках функция не определена

Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения

Определение: Функция

• — она определена в этой точке и ее некоторой -окрестности;
• — существуют конечные лево- и правосторонние пределы от функции в этой точке и они равны между собой, т.е.

— предел функции в точке равен значению функции в исследуемой точке, т.е.

Пример:

Найти область непрерывности функции

Решение:

Данная функция непрерывна так как в каждой точке указанного интервала функция определена, в каждой точке существуют конечные и равные лево- и правосторонние пределы, а предел функции в каждой точке равен значению функции в этой точке.

Замечание: Всякая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

Точки разрыва

Определение: Точки, в которых не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции, называются точками разрыва. Различают точки разрыва первого и второго родов.

Определение: Точкой разрыва I рода называется точка, в которой нарушается условие равенства лево- и правостороннего пределов, т.е.

Пример:

Доказать, что функция в точке имеет разрыв первого рода.

Решение:

Нарисуем график функции в окрестности нуля (Рис. 64): Рис. 64. График функции Область определения функции: т.е. точка является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Следовательно, в изучаемой точке данная функция терпит разрыв первого рода.

Замечание: По поводу точки разрыва I рода иначе говорят, что в этой точке функция испытывает конечный скачок (на Рис. 64 скачок равен 1).

Определение: Точка, подозрительная на разрыв, называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке левосторонний предел равен правостороннему.

Пример:

Доказать, что функция имеет в точке устранимый разрыв.

Решение:

В точке функция имеет неопределенность поэтому эта точка является точкой, подозрительной на разрыв. Вычислив в этой точке лево- и правосторонний пределы убеждаемся, что данная точка является точкой устранимого разрыва.

Определение: Все остальные точки разрыва называются точками разрыва II рода.

Замечание: Для точек разрыва второго рода характерен тот факт, что хотя бы

один из односторонних пределов равен т.е. в такой точке функция терпит бесконечный разрыв.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции: т.е. точка

является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Так как левосторонний предел конечен, а правосторонний предел бесконечен, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции: т.е. точка является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Так как левосторонний и правосторонний пределы бесконечены, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Операции над непрерывными функциями

Теорема: Сумма (разность) непрерывных функций есть непрерывная функция.

Доказательство: Докажем приведенную теорему для суммы двух функций которые определены в некоторой -окрестности точки в которой лево- и правосторонние пределы равны между собой. Так как функции непрерывны в некоторой -окрестности точки то выполняются равенства: В силу того, что существуют конечные пределы обеих функций, то по теореме о пределе суммы двух функций имеем, что Аналогично теорема доказывается для суммы (разности) любого конечного числа непрерывных функций. Нижеприведенные теоремы доказываются так же, как и теорема.

Теорема: Произведение непрерывных функций есть непрерывная функция.

Теорема: Частное двух непрерывных функций при условии, что во всех точках общей области определения функция , есть непрерывная функция.

Теорема: Сложная функция от непрерывных функций есть непрерывная функция.

Схема исследования функции на непрерывность

Исследование функции на непрерывность проводят по следующей схеме:

• находят область определения функции; точки, в которых функция не определена, являются точками подозрительными на разрыв: если функция задана словесным образом, т.е. описывается разными формулами на разных интервалах, то точками подозрительными на разрыв являются точки, определяющие границы интервалов;
• исследуют подозрительные на разрыв точки, для чего вычисляют лево- и правосторонние пределы; классифицируют точки разрыва;
• при наличии точек разрыва строят график функции в малой -окрестности точки .

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Согласно схеме исследования функции на непрерывность имеем:

• точка является точкой подозрительной на разрыв.
• вычислим левосторонний и правосторонний пределы; так как пределы бесконечные, то точка является точкой разрыва второго рода;
• построим график функции в небольшой окрестности точки разрыва (Рис. 65).

Рис. 65. Поведение графика функции в малой окрестности точки разрыва второго рода

Из рисунка видно, что график функции —неограниченно приближается к вертикальной прямой нигде не пересекая эту прямую.

Свойства непрерывных функций на отрезке (a; b)

Свойства непрерывных функций на отрезке .

Определение: Замкнутый интервал будем называть сегментом.

Приведем без доказательства свойства непрерывных функций на сегменте .

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте , то она достигает своего наименьшего () и наибольшего () значения либо во внутренних точках сегмента, либо на его концах.

Пример:

Привести примеры графиков функций, удовлетворяющих условиям теорем(см. Рис. 66).

Рис. 66. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

Решение:

На графике а) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значений на концах сегмента На графике б) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значения во внутренних точках сегмента На графике в) функция достигает своего наименьшего значения на левом конце сегмента а наибольшего значения во внутренней точке сегмента

Тб. Если функция непрерывна на сегменте и достигает своего наименьшего () и наибольшего () значений, то для любого вещественного числа С, удовлетворяющего неравенству , найдется хотя бы одна точка такая, что .

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям Тб (см. Рис. 67).

Рис. 67. Графики функций, удовлетворяющих условиям Тб.

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте и на его концах принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы одна точка такая, что.

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы(см. Рис. 68).

Рис. 68. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

На графике а) существует единственная точка, в которой выполняются условия теоремы. На графиках б) и в) таких точек две и четыре, соответственно. Однако в случаях б) и в) для удовлетворения условий теоремы надо разбивать сегмент на отдельные отрезки.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Функция не определена что это значит

Непрерывность функции часто можно легко объяснить следующим образом. Если график какой-либо функции можно построить не отрывая карандаш от бумаги, то эта функция непрерывна. В противном случае, у графика есть точки разрыва (скачка) и данная функция является разрывной функцией. График разрывной функции невозможно изобразить, не отрывая карандаш от листа.

Непрерывность функции в точке

Для того, чтобы функция была непрерывной в точке, ее график не должен прерываться, т.е. график не должен иметь «скачков». График функций на рисунках прерывается или имеет «скачок» в точке . Значит, эти функции в точке имеют разрыв. Рассмотрим данные случаи.

Как видно по графику, функция разрывная в точке в следующих случаях:

1. Функция не определена в точке , однако определена в некоторой окресности этой точки.

2. В точке функция не имеет предела.

3. Предел функции в точке существует, но не равен .

Точка , в которой функция прерывается, называется точкой разрыва.

Если функция не удовлетворяет ни одному из указанных выше условий, то ее можно назвать непрерывной в точке .

Непрерывность функции в точке

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке должны выполняться три следующих условия:

1. Функция должна быть определена в точке ;

2. Должен существовать предел ;

3. Должно выполняться равенство .

Задача пример №57

Исследуйте непрерывность следующих функций.

Решение:

а) из графика функции видно,что при стремлении значений к 1 функция имеет предел и он равен 2: Однако в точке функция не определена. Значит, в функция разрывна.

Отметим, что во всех точках кроме на всей действительной оси она определена и непрерывна.

b)

Как видно из графика, при стремлении значений к 1 функция имеет предел, равный 1, в тоже время, при значение функции также равно 1.

Предел функции:

Значение функции: При предел функции равен значению функции в точке . Т.е. . Значит, данная функция непрерывна в точке .

Непрерывность функции на интервале

Определение. Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Непрерывность функции на отрезке

Определение. Функция называется непрерывной на отрезке , если она определена на отрезке , непрерывная на интервале и .

Любая функция — многочлен непрерывна на всей числовой оси. Рациональная функция непрерывна во всех точках, кроме тех, которые обращают знаменатель в 0. Функции непрерывны на всей действительной оси, а функции непрерывны на области определения.

Для функции, непрерывной на отрезке, справедлива следующая теорема.

Теорема Вейерштрасса. Функция, непрерывная на отрезке, принимает в нем наименьшее и наибольшее значения.

Теорема Коши. Если функция непрерывна на отрезке и принимает на концах отрезка значения противоположных знаков, то хотя бы в одной точке из отрезка она принимает значение, равное нулю.

Следствие. Функция, непрерывная на отрезке, принимает все значения от наименьшего до наибольшего.

Применяя эту теорему, можно решить следующий тип задач.

Задача пример №58

Существует ли такое действительное число, куб которого больше самого числа на 1?

Решение:

искомое число равно , т.е. должно удовлетворять уравнению . Для решение задачи исследуем функцию . Из графика функции, построенного с помощью графкалькулятора, видно, что значения функции в точках и имеют разные знаки: . Тогда, по теореме Коши, существует такое число , что . Это число является корнем уравнения .

Если какая-либо функция непрерывна на интервале , это не означает, что она непрерывна на отрезке .

Задача пример №59

Исследуйте непрерывность функции

Решение:

как видно из графика, при стремлении справа к 6 предел функции равен 1, при стремлении слева предел равен -1.

Т.е. в точке предела функции не существует. Данная функция разрывается в точке , но на каждом из интервалов и она непрерывна.

Задача пример №60

Определите точки разрыва функции

Решение: Линейная функция , постоянная функция и функция-многочлен непрерывны для всех значений . Значит, непрерывность может быть нарушена только в точках «перехода» , т.е. в точках и .

Сначала исследуем непрерывность функции в точке .

1. Значение функции. Функция определена в точке и .

2. Существование предела. Для определения предела исследуем левый и правый пределы функции. При приближении к 0 слева значения меньше 0 и в этом случае . При приближении к 0 справа значения больше 0, и в этом случае . Значит,

3. Значение и предел функции в точке. Так как и , то в точке функция непрерывна.

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Математика: полный курс решений задач в виде лекций

Другие темы которые вам помогут понять математику:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Sub или Function не определена (Visual Basic)

Sub Для вызова необходимо определить или Function . Возможные причины этой ошибки:

Ошибка написания имени процедуры.

Попытка вызвать процедуру из другого проекта без явного добавления ссылки на этот проект в диалоговом окне » ссылки «.

Указание процедуры, которая не является видимой для вызывающей процедуры.

объявление Windows подпрограммы библиотеки динамической компоновки (DLL) или программы Macintosh code-resource, которая не находится в указанной библиотеке или ресурсе кода.

Исправление ошибки

Убедитесь, что имя процедуры написано правильно.

Найдите имя проекта, содержащего процедуру, которую необходимо вызвать, в диалоговом окне ссылки . Если она не отображается, нажмите кнопку Обзор , чтобы найти ее. Установите флажок слева от имени проекта и нажмите кнопку ОК.

Что такое функция?

Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.

1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.

Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.

2. Функция — это определенное действие над переменной.

Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.

В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:

В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.

3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.

Например, функция у = 2х каждому действительному числу x ставит в соответствие число y, которое в два раза больше, чем х.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида

область определения выглядит так:

• х ≠ 0 (потому что на ноль делить нельзя)

И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.

Во скольких точках функция не определена

Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Непрерывность функции в точке, разрывы первого и второго рода

Процесс исследования функции на непрерывность неразрывно связан с навыком нахождения односторонних пределов функции. Поэтому, чтобы приступить к изучению материала данной статьи, желательно предварительно разобрать тему предела функции.

Непрерывность функции в точке

Функция f ( x ) является непрерывной в точке x 0 , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке x 0 , т.е.: lim x → x 0 — 0 f ( x ) = lim x → x 0 + 0 f ( x ) = f ( x 0 )

Данное определение позволяет вывести следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.

Дана функция f ( x ) = 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 . Необходимо доказать ее непрерывность в точке х 0 = 2 .

Решение

В первую очередь, определим существование предела слева. Чтобы это сделать, используем последовательность аргументов х n , сводящуюся к х 0 = 2 · ( х n < 2 ) . Например, такой последовательностью может быть:

— 2 , 0 , 1 , 1 1 2 , 1 3 4 , 1 7 8 , 1 15 16 , . . . , 1 1023 1024 , . . . → 2

Соответствующая последовательность значений функций выглядит так:

f ( — 2 ) ; f ( 0 ) ; f ( 1 ) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024 ; . . . = = 8 . 667 ; 2 . 667 ; 0 . 167 ; — 0 . 958 ; — 1 . 489 ; — 1 . 747 ; — 1 . 874 ; . . . ; — 1 . 998 ; . . . → — 2

на чертеже они обозначены зеленым цветом.

Достаточно очевидно, что такая последовательность сводится к — 2 , значит lim x → 2 — 0 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 = — 2 .

Определим существование предела справа: используем последовательность аргументов х n , сводящуюся к х 0 = 2 ( х n > 2 ) . Например, такой последовательностью может быть:

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Соответствующая последовательность функций:

f ( 6 ) ; f ( 4 ) ; f ( 3 ) ; f 2 1 2 ; f 2 1 4 ; f 2 1 8 ; f 2 1 16 ; . . . ; f 2 1 1024 ; . . . = = — 7 . 333 ; — 5 . 333 ; — 3 . 833 ; — 2 . 958 ; — 2 . 489 ; — 2 . 247 ; — 2 . 247 ; — 2 . 124 ; . . . ; — 2 . 001 ; . . . → — 2

на рисунке обозначена синим цветом.

И эта последовательность сводится к — 2 , тогда lim x → 2 + 0 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 = — 2 .

Действиями выше было показано, что пределы справа и слева являются равными, а значит существует предел функции f ( x ) = 1 6 x — 8 2 — 8 в точке х 0 = 2 , при этом lim x → 2 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 = — 2 .

После вычисления значения функции в заданной точке очевидно выполнение равенства:

lim x → 2 — 0 f ( x ) = lim x → 2 + 0 f ( x ) = f ( 2 ) = 1 6 ( 2 — 8 ) 2 — 8 = — 2 что свидетельствует о непрерывности заданной функции в заданной точке.

Ответ: Непрерывность функции f ( x ) = 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 в заданной части доказано.

Устранимый разрыв первого рода

Функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке х 0 , когда пределы справа и слева равны, но не равны значению функции в точке, т.е.:

lim x → x 0 — 0 f ( x ) = lim x → x 0 + 0 f ( x ) ≠ f ( x 0 )

Задана функция f ( x ) = x 2 — 25 x — 5 . Необходимо определить точки ее разрыва и определить их тип.

Решение

Сначала обозначим область определения функции: D ( f ( x ) ) ⇔ D x 2 — 25 x — 5 ⇔ x — 5 ≠ 0 ⇔ x ∈ ( — ∞ ; 5 ) ∪ ( 5 ; + ∞ )

В заданной функции точкой разрыва может служить только граничная точка области определения, т.е. х 0 = 5 . Исследуем функцию на непрерывность в этой точке.

Выражение x 2 — 25 x — 5 упростим: x 2 — 25 x — 5 = ( x — 5 ) ( x + 5 ) x — 5 = x + 5 .

Определим пределы справа и слева. Поскольку функция g ( x ) = x + 5 является непрерывной при любом действительном x , тогда:

lim x → 5 — 0 ( x + 5 ) = 5 + 5 = 10 lim x → 5 + 0 ( x + 5 ) = 5 + 5 = 10

Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке х 0 = 5 не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Неустранимый разрыв первого рода

Неустранимый разрыв первого рода также определяется точкой скачка функции.

Функция имеет неустранимый разрыв первого рода в точке х 0 , когда пределы справа и слева не являются равными, т.е.: lim x → x 0 — 0 f ( x ) ≠ lim x → x 0 + 0 f ( x ) . Точка х 0 здесь – точка скачка функции.

Задана кусочно-непрерывная функция f ( x ) = x + 4 , x < — 1 , x 2 + 2 , — 1 ≤ x < 1 2 x , x ≥ 1 . Необходимо изучить заданную функцию на предмет непрерывности, обозначить вид точек разрыва, составить чертеж.

Решение

Разрывы данной функции могут быть лишь в точке х 0 = — 1 или в точке х 0 = 1 .

Определим пределы справа и слева от этих точек и значение заданной функции в этих точках:

• слева от точки х 0 = — 1 заданная функция есть f ( x ) = x + 4 , тогда в силу непрерывности линейной функции: lim x → — 1 — 0 f ( x ) = lim x → — 1 — 0 ( x + 4 ) = — 1 + 4 = 3 ;
• непосредственно в точке х 0 = — 1 функция принимает вид: f ( x ) = x 2 + 2 , тогда: f ( — 1 ) = ( — 1 ) 2 + 2 = 3 ;
• на промежутке ( — 1 ; 1 ) заданная функция есть: f ( x ) = x 2 + 2 . Опираясь на свойство непрерывности квадратичной функции, имеем: lim x → — 1 + 0 f ( x ) = lim x → — 1 + 0 ( x 2 + 2 ) = ( — 1 ) 2 + 2 = 3 lim x → 1 — 0 f ( x ) = lim x → 1 — 0 ( x 2 + 2 ) = ( 1 ) 2 + 2 = 3
• в точке х 0 = — 1 функция имеет вид: f ( x ) = 2 x и f ( 1 ) = 2 · 1 = 2 .
• справа от точки х 0 заданная функция есть f ( x ) = 2 x . В силу непрерывности линейной функции: lim x → 1 + 0 f ( x ) = lim x → 1 + 0 ( 2 x ) = 2 · 1 = 2

Ответ: в конечном счете мы получили:

• lim x → — 1 — 0 f ( x ) = lim x → — 1 + 0 f ( x ) = f ( — 1 ) = 3 — это означает, что в точке х 0 = — 1 заданная кусочная функция непрерывна;
• lim x → — 1 — 0 f ( x ) = 3 , lim x → 1 + 0 f ( x ) = 2 — таким образом, в точке х 0 = 1 определён неустранимый разрыв первого рода (скачок).

Нам остается только подготовить чертеж данного задания.

Разрыв второго рода (бесконечный разрыв)

Функция имеет разрыв второго рода в точке х 0 , когда какой-либо из пределов слева lim x → x 0 — 0 f ( x ) или справа lim x → x 0 + 0 f ( x ) не существует или бесконечен.

Задана функция f ( x ) = 1 x . Необходимо исследовать заданную функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, подготовить чертеж.

Решение

Запишем область определения функции: x ∈ ( — ∞ ; 0 ) ∪ ( 0 ; + ∞ ) .

Найдем пределы справа и слева от точки х 0 = 0 .

Зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 слева. К примеру:

— 8 ; — 4 ; — 2 ; — 1 ; — 1 2 ; — 1 4 ; . . . ; — 1 1024 ; . . .

Ей соответствует последовательность значений функции:

f ( — 8 ) ; f ( — 4 ) ; f ( — 2 ) ; f ( — 1 ) ; f — 1 2 ; f — 1 4 ; . . . ; f — 1 1024 ; . . . = = — 1 8 ; — 1 4 ; — 1 2 ; — 1 ; — 2 ; — 4 ; . . . ; — 1024 ; . . .

Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой отрицательной, тогда lim x → 0 — 0 f ( x ) = lim x → 0 — 0 1 x = — ∞ .

Тепереь зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 справа. К примеру: 8 ; 4 ; 2 ; 1 ; 1 2 ; 1 4 ; . . . ; 1 1024 ; . . . , и ей соответствует последовательность значений функции:

f ( 8 ) ; f ( 4 ) ; f ( 2 ) ; f ( 1 ) ; f 1 2 ; f 1 4 ; . . . ; f 1 1024 ; . . . = = 1 8 ; 1 4 ; 1 2 ; 1 ; 2 ; 4 ; . . . ; 1024 ; . . .

Эта последовательность — бесконечно большая положительная, а значит lim x → 0 + 0 f ( x ) = lim x → 0 + 0 1 x = + ∞ .