Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды основания которых являются квадратами

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды основания которых являются квадратами

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых являются квадратами, а каждая из боковых граней имеет периметр 6. Найдите среди них параллелепипед с наибольшим объёмом и вычислите этот объём.

Решение

Обозначим через x сторону основания прямоугольного параллелепипеда. Тогда его боковое ребро равно (6 — 2x) = 3 — x . Если V(x) – объём параллелепипеда, то
V(x) = x 2 (3 — x),
значит, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции V(x) = x 2 (3 — x) на интервале (0;3) .

Найдем критические точки функции V(x) = x 2 (3 — x) на интервале (0;3) . Для этого решим уравнение
V’(x) = (3x 2 — x 3 )‘ = 6x — 3x 2 = 3x(2 — x) = 0.
Интервалу (0;3) принадлежит единственный корень этого уравнения x = 2 . На этом интервале при x < 2 производная функции V(x) положительна, а при x > 2 – отрицательна, поэтому на промежутке (0;2) функция V(x) возрастает, а на промежутке (2;3) – убывает. Значит, x = 2 – точка максимума функции. Следовательно, V(2) = 4 – наибольшее значение объёма параллелепипеда.

Применяя неравенство Коши для трёх чисел, получим, что
V(x) = x 2 (3 — x) = 4· x· x· (3 — x)

4· ( ) 3 = 4,
причём равенство достигается, если x = 3 — x , т.е. при x = 2 . Следовательно, наибольшее значение объёма параллелепипеда равно 4.

Задачи по геометрии для самостоятельного решения 96817646 (Часть 9)

8.1. В треугольнике ABC известно, что AB = 3,8, BC = 0, 6. Найти длину стороны AC, если ее длина выражается целым числом.

8.2. Четыре дома расположены в вершинах выпуклого четырехугольника. Где нужно построить колодец, чтобы сумма расстояний от него до всех домов была наименьшая?

8.3. Доказать, что медианы треугольника меньше полусумм сторон, выходящих из той же вершины, но больше разности полупериметра и длины стороны, к которой проведена эта медиана.

8.4. В некотором поселке четыре дома: столовая, баня, клуб и почта. Расстояние между баней и клубом рано 1000м, между клубом и почтой — 500 м, между баней и столовой — 200 м , между столовой и почтой — 300м. На каком расстоянии находятся баня и почта?

8.5. а) По разные стороны от прямолинейного шоссе расположены две деревни. В каком месте на шоссе надо построить автобусную остановку, чтобы сумма расстояний от деревень до автобусной остановки была наименьшей (шириной шоссе пренебречь)? б) Где нужно построить автобусную остановку, если деревни расположены по одну сторону от шоссе?

8.6. В треугольнике ABC известно, что AB < BC < AC, а один из углов вдвое меньше другого и втрое меньше третьего. Найти угол при вершине A .

8.7. Докажите, что сумма высот треугольника меньше его периметра.

8.8. Внутри треугольника ABC с периметром P взята точка O. Доказать, что P/2 < AO + BO + CO < P.

8.9. Пусть CK — биссектриса треугольника ABC и AC > BC. Доказать, что угол AKC — тупой.

8.10. В треугольнике PQR сторона PQ не больше, чем 9, сторона PR не больше, чем 12. Площадь треугольника не меньше, чем 54. Найти его медиану, проведенную из вершины P.

8.11. В треугольнике ABC сторона AC не длиннее, чем 3, сторона BC не длиннее, чем 4, а его площадь не меньше, чем 6. Найти радиус описанной вокруг треугольника ABC окружности.

8.12. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB и AC в точках M и N соответственно. Доказать, что BN > MN.

8.13. Площадь треугольника равна 1. Доказать, что средняя по длине сторона не меньше \[2.

8.14. Диагонали четырехугольника, вписанного в окружность, пересекаются в точке E. На прямой AC взята точка M, причем ZDME = 80° , ZABD = 60°, ZCBD = 70°. Где расположена точка M: на диагонали AC или на ее продолжении?

8.15. В треугольнике ABC известны стороны: AB = 6, BC = 9, AC = 10. Биссектриса угла B пересекает сторону AC в точке M. На отрезке BM выбрана точка O так, что BO : OM = 3:1. Площадь какого из треугольников ABO, BCO или ACO будет наименьшей?

8.16. Доказать, что расстояние между любыми двумя точками, взятыми на сторонах треугольника, не больше наибольшей из его сторон.

8.17. Доказать, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая высота.

8.18. Доказать, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая медиана.

8.19. Длины двух сторон треугольника 10 и 15. Доказать, что биссектриса угла между ними не больше 12.

8.20. Доказать, что не существует двух трапеций (отличных от параллелограмма) таких, что боковые стороны каждой из них соответственно равны основаниям другой.

8.21. На биссектрисе внешнего угла C треугольника ABC взята точка M, отличная от C. Доказать, что MA + MB > CA + CB .

8.22. Среди всех треугольников с данным основанием и данной площадью Найти треугольник наименьшего периметра.

8.23. Точки M и N расположены по разные стороны от прямой l. Постройте на прямой l такую точку K, чтобы разность отрезков MK и NK была наибольшей.

8.24. Внутри угла даны точки M и N. Постройте на сторонах угла точки K и L так, чтобы периметр четырехугольника KLMN был наименьшим.

8.25. При каком значении высоты прямоугольная трапеция с острым углом 30° и периметром 6 имеет наибольшую площадь?

8.26. На сторонах прямого угла с вершиной в точке O выбраны точки A и B. Точка C лежит во внутренней области угла. Доказать, что полупериметр треугольника ABC больше OC .

8.27. Внутри квадрата выбрана произвольная точка. Доказать, что расстояние от этой точки до любой вершины меньше суммы расстояний до трех других вершин.

8.28. Пусть a,b,c — длины сторон некоторого треугольника. Доказать, что существуют положительные числа x,y,z такие, что a = x + y, b = y + z, c = x + z.

8.29. Доказать, что в выпуклом четырехугольнике сумма длин сторон меньше удвоенной суммы длин диагоналей, но больше суммы диагоналей.

8.30. Внутри острого угла выбрана точка C. Построить на сторонах угла точка A и B так, чтобы треугольник ABC имел наименьший периметр.

8.31. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник. Доказать, что если периметр треугольника ABD меньше периметра треугольника ACD , то AB < AC.

8.32. Доказать, что удвоенный периметр выпуклого пятиугольника больше суммы длин его диагоналей.

8.33. Два поселка расположены по разные стороны от реки с параллельными прямолинейными берегами. В каком месте на реке нужно построить мост, чтобы путь от одного поселка до другого был наименьший?

8.34. Существует ли треугольник, у которого две высоты больше 1м, а площадь меньше 1см?

8.35. В треугольнике ABC на наибольшей стороне BC, равной b, выбирается точка M. Найти наименьшее расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BAM и ACM.

8.36. Доказать, что в параллелограмме против большего угла лежит большая сторона.

8.37. Две высоты треугольника равны 12 и 20. Доказать, что третья высота меньше 30.

8.38. Две высоты треугольника равны 10 и 6. Доказать, что третья высота меньше 15.

8.39. Доказать, что биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведенных из той же вершины.

8.40. Доказать, что в любом треугольнике со сторонами a, b, c выполняется неравенство a2 + b2 > c2/2 .

8.41. Пусть m1 и m2 — медианы, проведенные к сторонам а и b треугольника со сторонами a,b,c. Доказать, что ml + m2 > 9c2/2 .

8.42. Пусть a,b,c — стороны произвольного треугольника. Доказать, что a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac).

8.43. Пусть h1,h2,h3 — высоты треугольника, r — радиус вписанной окружности. Доказать, что h1 + h2 + h3 ^ 9r.

8.44. Пусть h1 и h2 — высоты треугольника, r — радиус вписанной окружности. Доказать, что -1 < < 1.

8.45. Все биссектрисы треугольника меньше 1. Доказать, что площадь треугольника меньше 1.

8.46. Биссектриса угла при основании BC равнобедренного треугольника ABC пересекает боковую сторону AC в точке K. Доказать, что BK < 2CK.

8.47. Известно, что в треугольнике ABC угол A равен 60°. Доказать, что AB + AC ^ 2BC.

8.48. Доказать, что площадь четырехугольника ABCD не превосходит (AB • CD + AD • BC)/2.

8.49. В выпуклом четырехугольнике ABCD точка E — пересечение диагоналей. Известно, что площадь каждого из треугольников ABE и CDE равна 1, площадь всего четырехугольника не превосходит 4, AD = 3. Найти сторону BC.

8.50. Пусть M и N — середины сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD и MN = (AB + CD)/2. Доказать, что ABCD — трапеция или параллелограмм.

8.51. В четырехугольнике ABCD диагональ AC делит другую диагональ пополам и BC + CD = AB + AD. Доказать, что ABCD — параллелограмм.

8.52. Возможен ли треугольник со сторонами 7 и 2, если известно, что высота, опущенная на третью сторону этого треугольника, является средним геометрическим двух других высот?

8.53. На плоскости дана прямая l и две точки A и B по одну сторону от нее. На прямой l выбрана точка M, сумма расстояний от которой до точек A и B наименьшая, и точка N , для которой расстояния от A и B равны. Доказать, что точки A, B,M, N лежат на одной окружности.

8.54. Через точку пересечения двух окружностей проведите прямую, на которой окружности высекают хорды, сумма которых наибольшая. (Центры окружностей расположены по разные стороны от их общей хорды.)

8.55. На сторонах прямого угла с вершиной O лежат концы отрезка AB длины a. При каком положении отрезка площадь треугольника будет наибольшей?

8.56. Доказать, что из всех четырехугольников с данной площадью наименьший периметр имеет квадрат.

8.57. Середины высот треугольника лежат на одной прямой. Наибольшая сторона треугольника AB = 10. Какое максимальное значение может принимать площадь треугольника?

8.58. Площадь треугольника ABC равна 10. Какое наименьшее значение может принимать радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что середины высот этого треугольника лежат на одной прямой?

8.59. В треугольнике ABC со стороной AC = 8 проведена биссектриса BL. Известно, что площади треугольников ABL и BLC относятся, как 3:1. Найти биссектрису BL, при которой высота, опущенная из вершины B на основание AC будет наибольшей.

8.60. В треугольнике KLM с основанием KM = 6 проведена медиана LP. Известно, что расстояния от точки P до боковых сторон KL и LM относятся, как 1:2. Найти медиану LP, при которой площадь треугольника KLM будет наибольшей.

8.61. В треугольник с периметром 2р вписана окружность. К этой окружности проведена касательная, параллельная стороне треугольника. Найти наибольшую возможную длину отрезка этой касательной, заключенной внутри треугольника.

8.62. На окружности, описанной около треугольника ABC, Найти точку M такую, что расстояние между ее проекциями на прямые AC и BC максимально.

8.63. На прямой, содержащей сторону AB остроугольного треугольника ABC, постройте такую точку M, что расстояние между ее проекциями на прямые AC и BC минимально. Чему равно это расстояние?

8.64. Около данного треугольника опишите равносторонний треугольник наибольшего периметра.

8.65. Даны угол XAY и точка O внутри него. Проведите через точку O прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей площади.

8.66. На плоскости даны прямая и две точки P и Q, лежащие по одну сторону от нее. Найти на прямой l такую точку M, что расстояние между основаниями высот треугольника PQM, опущенных на стороны PM и QM наименьшее.

8.67. От данного угла отрезком данной длины отрежьте треугольник наибольшего периметра.

8.68. Пусть точка C — середина дуги AB, а D — любая другая точка этой дуги. Доказать, что AC + BC > AD + BD .

8.69. Через данную точку проведите прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшего периметра.

8.70. Доказать, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая биссектриса.

8.2. Стереометрия

Группа А

8.71. Дан куб с ребром 1. Доказать, что сумма расстояний от произвольной точки до его вершин не меньше 4л/3.

8.72. Доказать, что сумма двух плоских углов трехгранного угла больше третьего.

8.73. Доказать, что плоский угол выпуклого четырехгранного угла меньше суммы трех остальных.

8.74. В каких пределах может меняться плоский угол трехгранного угла, если два других плоских угла соответственно равны а) 70° и 100° ; б) 130° и 150° ?

8.75. Доказать, что площадь одной грани тетраэдра меньше суммы площадей трех остальных граней.

8.76. Найти длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба между его противоположными вершинами.

8.77. Найти длину кратчайшего пути по поверхности единичного правильного тетраэдра между серединами противоположных ребер.

8.78. Радиус основания конуса и образующая равны соответственно 2/3 и 2. Найти длину кратчайшего замкнутого пути, пересекающего все образующие конуса и проходящего через конец одной из них, принадлежащий основанию.

8.79. Радиус основания и высота цилиндра равны r и h. Найти длину кратчайшего пути по боковой поверхности цилиндра между диаметрально противоположными точками разных оснований.

8.80. Ребро правильного октаэдра равно a. Найти кратчайший путь по поверхности октаэдра между серединами двух его параллельных ребер.

8.81. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых являются квадратами, а каждая из боковых граней имеет периметр 6. Найти среди них параллелепипед большего объема. Вычислите этот объем.

8.82. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объем каждого из которых равен 4, а основания являются квадратами. Найти среди них параллелепипед с наименьшим периметром боковой грани. Вычислите этот периметр.

8.83. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объем каждого из которых равен 1/2, а одна из боковых граней является квадратом. Найти среди них параллелепипед с наименьшим периметром основания. Вычислите этот периметр.

8.84. Найти высоту и радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в сферу радиуса R.

8.85. Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в конус, высота которого равна 27, а радиус основания 9.

8.86. Найти наибольший объем конуса с образующей, равной a.

8.87. Найти радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в конус, радиус основания которого равен 3.

8.88. Вокруг сферы радиуса r описан конус. Найти наименьшее значение объема конуса и отношение его высоты к радиусу сферы в этом случае.

8.89. Конус описан около куба так, что четыре вершины куба лежат в плоскости основания конуса, а четыре другие вершины — на его боковой

поверхности. Какой наименьший объем может иметь такой конус, если ребро куба равно a ?

8.90. Около шара объема V описана треугольная пирамида. Какой наименьший объем может быть у этой пирамиды?

8.91. В конусе расположены два единичных шара, центры которых находятся на оси симметрии конуса. Один из шаров касается боковой поверхности конуса, а другой — основания конуса и первого шара. Найти угол между образующей конуса и основанием, при котором объем конуса наименьший.

8.92. В конусе расположены два единичных шара, касающиеся основания конуса в точках, симметричных относительно центра основания. Каждый из шаров касается боковой поверхности конуса и другого шара. Найти угол между образующей конуса и основанием, при котором объем конуса наименьший.

8.93. В правильной четырехугольной пирамиде расположены два шара радиуса r, касающиеся основания пирамиды в точках, принадлежащих отрезку, соединяющему середины противоположных сторон основания. Каждый из шаров касается боковой грани пирамиды и другого шара. Найти высоту пирамиды, при которой объем пирамиды наименьший.

8.94. Периметр равнобедренного треугольника равен P. Каковы должны быть длины его сторон, чтобы объем фигуры, полученной вращением этого треугольника вокруг основания, был наибольшим?

8.95. Ребро AB тетраэдра ABCD является диагональю основания четырехугольной пирамиды, ребро CD параллельно другой диагонали этого основания, и концы его лежат на боковых ребрах пирамиды. Найти наименьший объем пирамиды, если объем тетраэдра равен V .

8.96. Через вершину конуса проведено сечение наибольшей площади. Оказалось, что площадь сечения в два раза больше площади осевого сечения конуса. Найти угол при вершине осевого сечения конуса.

8.97. Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ служит квадрат. Найти наибольший возможный угол между прямой BD\ и плоскостью BDC\.

8.98. Все плоские углы трехгранного угла прямые. Доказать, что любое его сечение, не проходящее через вершину, есть остроугольный треугольник.

8.99. Доказать, что сумма углов пространственного четырехугольника не превосходит 360°.

8.100. Существует ли треугольная пирамида, высоты которой равны 1, 2, 3 и 6?

8.101. Верно ли, что у любого трехгранного угла есть сечение, являющееся правильным треугольником?

8.102. Пусть a,b,c — стороны параллелепипеда, d — одна из его диагоналей. Доказать, что a2 + b2 + c2 ^ d2/3.

8.103. В пространстве рассматриваются два отрезка AB и CD, не лежащие в одной плоскости. Пусть M и K — середины этих отрезков. Доказать, что MK < (AD + BC)/2.

8.104. Ребро правильного тетраэдра равно a. Через вершину тетраэдра проведено сечение, являющееся треугольником. Доказать, что 2a < P ^ 3а.

8.105. В тетраэдре ABCD все плоские углы при вершине A равны 60° . Доказать, что AB + AC + AD ^ BC + CD + DB .

8.106. Можно ли в кубе вырезать отверстие, сквозь которое пройдет куб того же размера?

8.107. На какое наименьшее количество непересекающихся трехгранных углов можно разбить пространство?

8.108. Сфера радиуса 2 пересечена плоскостью, удаленной от центра на расстояние, равное 1. Найти длину кратчайшего пути по поверхности сферы между двумя наиболее удаленными точками сечения.

8.109. Сторона основания BCA правильной пирамиды PABC равна a , боковое ребро равно b . На каком расстоянии от прямой BC следует провести сечение пирамиды, параллельное BC и AP , чтобы площадь его была наибольшей?

8.110. В основании пирамиды NKLM лежит правильный треугольник KLM со стороной a, KN = b. Высота пирамиды, опущенная из вершины N, проходит через середину ребра LM. Пирамиду пересекает плоскость в, параллельная ребрам KNи LM. На каком расстоянии должна находиться плоскость в, чтобы площадь сечения пирамиды этой плоскостью была наибольшей?

8.111. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD, в котором угол BAD равен 60°. Известно, что SA = SC, SD = SB = AB . В каком отношении должна делить ребро CD точка E, чтобы площадь треугольника SBE была наименьшая из возможных?

8.112. Все ребра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равны a. Найти наименьшую длину отрезков, с концами на диагоналях BC\^ И CA1, параллельных плоскости ABB\^.

8.113. Сторона основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды PABCD равна a, а боковые ребра равны 2а. Найти наименьшую длину отрезков, с концами на ребрах AD И PC, параллельных плоскости PAB .

8.114. Все ребра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равны a . Найти наименьшую длину отрезков, с концами на прямых AB1 И BC , перпендикулярных прямой AC1.

8.115. Высота правильной четырехугольной пирамиды вдвое больше диагонали основания, объем пирамиды равен V. Рассматриваются всевозможные правильные четырехугольные призмы, вписанные в пирамиду так, что их боковые ребра параллельны диагонали основания пирамиды, одна боковая грань принадлежит этому основанию, а вершины противоположной боковой грани лежат на боковой поверхности пирамиды. Найти наибольшее значение объема рассматриваемых пирамид.

8.116. Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна а. Точки E и F — середины ребер BB1 и CC1 соответственно. Рассматриваются треугольники, вершинами которых служат точки пересечения плоскостей, параллельных основаниям куба с прямыми AC1, CE и DF. Найти наименьшее значение площади этих треугольников.

8.117. В правильную четырехугольную пирамиду с ребром основания а и высотой h вписана правильная четырехугольная призма так, что ее нижнее основание лежит внутри основания пирамиды, а вершины верхнего — на боковых ребрах пирамиды. Найти наибольшую площадь боковой поверхности таких призм.

8.118. Образующая конуса имеет фиксированную длину и составляет с высотой угол а. В конус вписана правильная шестиугольная призма с равными ребрами (одно основание призмы лежит внутри основания конуса, а вершины другого основания лежат на боковой поверхности конуса). При каком значении а площадь боковой поверхности призмы будет наибольшей?

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды основания которых являются квадратами

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды основания которых являются квадратами

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых являются квадратами, а каждая из боковых граней имеет периметр 6. Найдите среди них параллелепипед с наибольшим объёмом и вычислите этот объём.

Решение

Обозначим через x сторону основания прямоугольного параллелепипеда. Тогда его боковое ребро равно (6 — 2x) = 3 — x . Если V(x) – объём параллелепипеда, то
V(x) = x 2 (3 — x),
значит, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции V(x) = x 2 (3 — x) на интервале (0;3) .

Найдем критические точки функции V(x) = x 2 (3 — x) на интервале (0;3) . Для этого решим уравнение
V’(x) = (3x 2 — x 3 )‘ = 6x — 3x 2 = 3x(2 — x) = 0.
Интервалу (0;3) принадлежит единственный корень этого уравнения x = 2 . На этом интервале при x < 2 производная функции V(x) положительна, а при x > 2 – отрицательна, поэтому на промежутке (0;2) функция V(x) возрастает, а на промежутке (2;3) – убывает. Значит, x = 2 – точка максимума функции. Следовательно, V(2) = 4 – наибольшее значение объёма параллелепипеда.

Применяя неравенство Коши для трёх чисел, получим, что
V(x) = x 2 (3 — x) = 4· x· x· (3 — x)

4· ( ) 3 = 4,
причём равенство достигается, если x = 3 — x , т.е. при x = 2 . Следовательно, наибольшее значение объёма параллелепипеда равно 4.

10 класс. Алгебра. Производная. Применение производной в задачах на экстремум и при исследовании тригонометрических функций.

1. Задача 1 на прямоугольный параллелепипед

Рас­смат­ри­ва­ют­ся все­воз­мож­ные пря­мо­уголь­ные па­рал­ле­ле­пи­пе­ды, ос­но­ва­ния ко­то­рых квад­ра­ты, а каж­дая из бо­ко­вых гра­ней имеет пе­ри­метр . Найти среди них па­рал­ле­ле­пи­пед с наи­боль­шим объ­е­мом и вы­чис­лить его объем.

Нам важны три из­ме­ре­ния этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Так как в ос­но­ва­нии лежит квад­рат, то его сто­ро­ны обо­зна­чим через , тре­тье из­ме­ре­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да обо­зна­чим через (см. рис. 1).

Объем лю­бо­го пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да – это про­из­ве­де­ние трех его из­ме­ре­ний. Надо найти такой па­рал­ле­ле­пи­пед, чтобы его объем был мак­си­маль­ным (смот­рим пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед фор­му­лы), то есть

. Между и есть связь. Ска­за­но, что или . За­ме­тим, что ,

.

Мы бы могли ре­шить эту за­да­чу, если бы функ­ция за­ви­се­ла от одной пе­ре­мен­ной, а она за­ви­сит от двух пе­ре­мен­ных и . Одну из них можно вы­ра­зить через связь . От­сю­да . Под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние в функ­цию: . Те­перь за­да­чу можно све­сти к ти­по­вой за­да­че: найти на от­рез­ке .

1) Най­дем про­из­вод­ную

– кри­ти­че­ские точки.

До­ста­точ­но срав­нить зна­че­ние функ­ции на кон­цах от­рез­ка и в тех кри­ти­че­ских точ­ках, ко­то­рые по­па­да­ют на дан­ный от­ре­зок. Про­де­мон­стри­ру­ем, что точка — точка мак­си­му­ма. Для этого про­ана­ли­зи­ру­ем знак про­из­вод­ной (см. рис.2).

Най­дем зна­че­ние функ­ции в точ­ках:

Если , тогда . Най­дем объем .

Итак, мы ис­ка­ли такой пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед, в ос­но­ва­нии ко­то­ро­го лежит квад­рат, и пе­ри­метр бо­ко­вой грани равен 6. Нужно было среди всех таких па­рал­ле­ле­пи­пе­дов найти тот па­рал­ле­ле­пи­пед, ко­то­рый имеет наи­боль­ший объем. Мы свели за­да­чу к ал­геб­ра­и­че­ской, то есть к за­да­че по на­хож­де­нию наи­боль­ше­го зна­че­ния функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке. По­лу­чи­ли ответ: па­рал­ле­ле­пи­пед имеет из­ме­ре­ния . А наи­боль­ший объем .

2. Задача 2 на прямоугольный параллелепипед

Рас­смат­ри­ва­ют­ся все­воз­мож­ные пря­мо­уголь­ные па­рал­ле­ле­пи­пе­ды, объем каж­до­го из ко­то­рых равен , а ос­но­ва­ни­я­ми яв­ля­ют­ся квад­ра­ты. Найти среди них па­рал­ле­ле­пи­пед с наи­мень­шим пе­ри­мет­ром бо­ко­вой грани и вы­чис­лить этот пе­ри­метр.

Так как в ос­но­ва­нии па­рал­ле­ле­пи­пе­да – квад­рат, то одна его сто­ро­на равна и вто­рая – , бо­ко­вое ребро – (см. рис.3). Из­вест­но, что объем этих па­рал­ле­ле­пи­пе­дов —. Надо найти па­рал­ле­ле­пи­пед с наи­мень­шим пе­ри­мет­ром бо­ко­вой грани. Пе­ри­метр бо­ко­вой грани равен . Этот пе­ри­метр дол­жен быть наи­мень­шим: . Итак, нужно ми­ни­ми­зи­ро­вать дан­ную функ­цию, ко­то­рая за­ви­сит от двух пе­ре­мен­ных и . Эти пе­ре­мен­ные свя­за­ны гео­мет­ри­че­ской за­ви­си­мо­стью . Вы­ра­зим , тогда .

Най­дем про­из­вод­ную .

, от­сю­да и — кри­ти­че­ские точки.

Най­дем ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства про­из­вод­ной и по­смот­рим яв­ля­ет­ся ли точка точ­кой ми­ни­му­ма (см. рис.4).

Таким об­ра­зом, точка яв­ля­ет­ся точ­кой ми­ни­му­ма. На­пом­ним, мы долж­ны найти такую точку, при ко­то­рой пе­ри­метр будет наи­мень­шим. Вы­яс­ни­ли, что на всем про­ме­жут­ке зна­че­ние функ­ции в точке яв­ля­ет­ся наи­мень­шим, так как на про­ме­жут­ке функ­ция убы­ва­ет, а на про­ме­жут­ке – воз­рас­та­ет. Точка экс­тре­му­ма на про­ме­жут­ке — един­ствен­ная.

Най­дем . И, на­ко­нец, най­дем .

Итак, тре­бо­ва­лось найти такой па­рал­ле­ле­пи­пед, у ко­то­ро­го наи­мень­ший пе­ри­метр бо­ко­вой грани и вы­чис­лить этот пе­ри­метр. Па­рал­ле­ле­пи­пед нашли, он имеет из­ме­ре­ния . Наи­мень­шее зна­че­ние пе­ри­мет­ра бо­ко­вой грани равно .

3. Итог урока "Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед, формулы"

Итак, мы рас­смот­ре­ли сте­рео­мет­ри­че­ские за­да­чи на экс­тре­мум, ко­то­рые ре­ша­ют­ся с по­мо­щью про­из­вод­ной. Ре­ши­ли две вза­им­но об­рат­ные за­да­чи на пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед с ис­поль­зо­ва­ни­ем фор­мул и бо­ко­вых сто­рон па­рал­ле­ле­пи­пе­да. В пер­вой за­да­че нужно было найти мак­си­маль­ное зна­че­ние объ­е­ма, а во вто­рой – наи­мень­шее зна­че­ние пе­ри­мет­ра в пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де. Эти за­да­чи, как и в пла­ни­мет­рии, ре­ша­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: со­став­ля­ет­ся нуж­ная функ­ция, она ока­зы­ва­ет­ся функ­ци­ей двух пе­ре­мен­ных, вы­пи­сы­ва­ют­ся гео­мет­ри­че­ские связи, они поз­во­ля­ют вы­ра­зить одну пе­ре­мен­ную через дру­гую и по­лу­чить функ­цию толь­ко от одной пе­ре­мен­ной. Даль­ше при­ме­няя про­из­вод­ную, можно успеш­но ре­шить за­да­чу.

2. Конспект для ученика по теме «Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед»

Здравствуйте! Сегодня потренируем навыки по теме: «Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед».

Примеры с решением

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых квадраты, а каждая из боковых граней имеет периметр 6. Найти среди них параллелепипед с наибольшим объемом и вычислить его объем.

Напомним, прямоугольным называется параллелепипед, у которого в основании лежит прямоугольник, и боковые ребра перпендикулярны к плоскости основания.

Нам важны три измерения этого параллелепипеда. Так как в основании лежит квадрат,

то его стороны обозначим через , третье измерение параллелепипеда обозначим через (см. рис. 1).

Рис. 1. Прямоугольный параллелепипед и его измерения.

Объем любого прямоугольного параллелепипеда – это произведение трех его измерений. Надо найти такой параллелепипед, чтобы его объем был максимальным (смотрим прямоугольный параллелепипед формулы), то есть

Между и есть связь. Сказано, что

Мы бы могли решить эту задачу, если бы функция

зависела от одной переменной, а она зависит от двух переменных и . Одну из них можно выразить через связь

Подставим полученное выражение в функцию:

Теперь задачу можно свести к типовой задаче: найти на отрезке .

1) Найдем производную

Достаточно сравнить значение функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые попадают на данный отрезок. Продемонстрируем, что точка — точка максимума. Для этого проанализируем знак производной (см. рис.2).

Рис. 2. Интервалы знакопостоянства производной.

Найдем значение функции в точках:

Итак, мы искали такой прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат, и периметр боковой грани равен 6. Нужно было среди всех таких параллелепипедов найти тот параллелепипед, который имеет наибольший объем. Мы свели задачу к алгебраической, то есть к задаче по нахождению наибольшего значения функции на заданном отрезке.

Получили ответ: параллелепипед имеет измерения . А наибольший объем .

Примеры для самостоятельного решения

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объем каждого из которых равен , а основаниями являются квадраты. Найти среди них параллелепипед с наименьшим периметром боковой грани и вычислить этот периметр.

Рис. 3. Прямоугольный параллелепипед и его боковые грани и измерения.

Закрытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32 л. При каких размерах на его изготовление пойдет наименьшее количество материала.

Диагональ боковой грани правильной четырехугольной призмы равна d. При какой длине бокового ребра объем призмы будет наибольшим?

Периметр осевого сечения цилиндра равен p см. Какова должна быть высота цилиндра, чтобы его объем бы наибольшим?

Домашнее задание

1. Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объем 343 м 3 . При каких размерах на его изготовление пойдет наименьшее количество материала.

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды основания которых являются квадратами

1. Прямой параллелепипед – боковые грани фигуры перпендикулярны ее основаниям и являются прямоугольниками.
2. Прямой параллелепипед может быть прямоугольным – основаниями являются прямоугольники.
3. Наклонный параллелепипед – боковые грани не перпендикулярны основаниям. – все грани фигуры являются равными квадратами.
4. Если все грани параллелепипеда – это одинаковые ромбы, он называется ромбоэдром.

d 2 = a 2 + b 2 + c 2

Скажи сначало тест а то так не понятно

Угол AON=углуNOB=1/2 AOB=45
уголKON=углуNOP=1/2 AON=22,5
уголKOP=уголKON+уголNOP=22,5+22,5=45

В Краснодарском крае известно 206 основных месторождений нерудных и рудных полезных ископаемых. Среди них выделяются месторождения: а) цветных камней; б) ртути; в) горнотехнического, агрохимического сырья и минеральных солей (формовочные материалы, карбонаты для химической промышленности, йод, гипс и ангидрит); г) строительных материалов (цементное сырье, строительные камни, песчано-гравийные материалы, керамзитовое сырье, строительные и облицовочные камни, морская ракушка).
Промышленность строительных материалов в Краснодарском крае производит: а) вяжущие вещества, включая цемент, строительную известь и гипс; б) строительную керамику; в) санитарную керамику; г) искусственные каменные материалы и изделия; д) стекло и стеклоизделия. Кроме того, осуществляется обработка природных каменных материалов и естественных облицовочных материалов. Из отраслей пищевой промышленности в пределах Краснодарского края нерудное минеральное сырье используют сахарные заводы. Химическая промышленность ориентирована в основном на производство кальцинированной соды по аммиачно-хлоридному методу. При этом используется поваренная соль и известняк.

S=(a+b/2)×h
S= (21+17/2)×7

Тестовый материал для переводного экзамена по математике (10 класс)

Найдите значение производной функции y = в точке = 0.

На рисунке изображен график функции y = f ( x ). Укажите множество значений функции.

На рисунке изображен график производной функции y = f ( x ), определенной на интервале (- 5; 7). Найдите точку экстремума функции f ( x ) на отрезке [- 1 ; 4 ].

Материальная точка движется прямолинейно по закону x( t ) = (где х – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 4 с.

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 74 до 98 делится на 3?

Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.

На рисунке изображен график функции y = f ( x ) и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите f ‘( ).

При оформлении заданий этой части (В1–В6) запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение.

Найдите 7 если = 0,2.

Решите уравнение 2 .

Найдите наименьшее значение функции y = 40 на отрезке [0; ].

Найдите область определения функции .

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

При оформлении заданий этой части (С1 – С4) запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение.

Найдите точку максимума функции y = .

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ ].

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра АВ = 20 , SC = 29. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер АS и ВС.

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых являются квадратами, а каждая из боковых граней имеет периметр 6 см. Найдите среди них параллелепипед с наибольшим объемом и вычислите этот объем.

Ответом к заданиям А1 – А9 должно быть некоторое число или числа, записанные через запятую. Единицы измерений писать не нужно.

Найдите значение выражения 4 tg .

Найдите наименьшее значение функции y = 3

Найдите значение производной функции y = ( в точке = 0.

На рисунке изображен график функции y = f ( x ). Найдите сумму точек максимума функции.

На рисунке изображен график производной функции y = f ( x ), определенной на интервале (- 5; 7). Найдите точку экстремума функции f ( x ) на отрезке [- 2; 4 ].

Материальная точка движется прямолинейно по закону x( t ) = (где х – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 1 с.

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 36 до 55 делится на 5?

Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.

На рисунке изображен график функции y = f ( x ) и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите f ‘( ).

При оформлении заданий этой части (В1–В6) запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение.

Найдите 22 если = 0,8.

Решите уравнение 2

Найдите наибольшее значение функции y = 48 на отрезке [0; ].

Найдите область определения функции .

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

При оформлении заданий этой части (С1 – С4) запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение.

Найдите точку максимума функции y = .

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ ].

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра АВ = 24 , SC = 25. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер АS и ВС.

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, у которых одна из боковых граней является квадратом, а периметр нижнего основания равен 12 см. Найдите среди них параллелепипед с наибольшим объемом и вычислите этот объем.

Курс повышения квалификации

Система работы учителя математики по подготовке учащихся основной школы к математическим конкурсам и олимпиадам в рамках обновленного ФГОС ООО

• Сейчас обучается 82 человека из 37 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Педагогическая деятельность по проектированию и реализации образовательного процесса в общеобразовательных организациях (предмет "Математика и информатика")

• Сейчас обучается 31 человек из 21 региона

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в сфере начального общего образования

• Сейчас обучается 113 человек из 36 регионов

Математические задачи: примеры и контрпримеры, конструкции

Краткое описание документа:

На выполнение экзаменационной работы отводится 3 часа (180 мин). Работа состоит из трех частей и содержит 19 заданий.

Часть 1 содержит 9 заданий обязательного уровня по материалу курса «Математика» 10 класса. К заданиям первой части надо дать краткий ответ.

Часть 2 содержит 6 более сложных заданий. К заданиям второй части надо записать решение.

Часть 3 содержит 4 самых сложных задания. К заданиям третьей части надо записать обоснованное решение.

Работа составлена в двух вариантах. Ключи прилагаются.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 321 656 материалов в базе

Другие материалы

• Математика
• 6 класс
• Презентации

• 12.01.2016
• 717
• 0

• Алгебра
• 9 класс
• Конспекты

• 12.01.2016
• 1158
• 21

• Математика
• 6 класс
• Презентации

• 12.01.2016
• 2316
• 145

• Математика
• 1 класс
• Презентации

• 12.01.2016
• 554
• 0

• Математика
• 6 класс
• Конспекты

• 12.01.2016
• 946
• 6

• Алгебра
• Геометрия
• 9 класс
• Другие методич. материалы

• 12.01.2016
• 552
• 3

• Математика
• 6 класс
• Рабочие программы

• 12.01.2016
• 951
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
• Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
• Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
• Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
• Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
• Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
• Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
• Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
• Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
• Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
• Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
• Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
• Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

• 12.01.2016 1001
• DOCX 63.8 кбайт
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Бурцева Евгения Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 6 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 8130
• Всего материалов: 5

40%

32 минуты

Методика воспитания гибкости у детей дошкольного возраста

26 минут

Особенности психологического консультирования семей

36 минут

Психологические механизмы личностных расстройств

• 

• 

• 

Подарочные сертификаты

• Курсы «Инфоурок»
• Онлайн-занятия с репетиторами на IU.RU

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.