Какие из перечисленных групп являются циклическими
Выясните, является ли циклической группа обратимых элементов кольца Zn при: n = 15.
На форуме я видел утверждение о том, что всякая группа из 15 элементов является циклической, помогите, пожалуйста, проверить цикличность заданной группы.
задан 26 Фев ’21 19:58
Одно к другому не имеет отношения. Группа обратимых элементов для Z15 равна прямому произведению U(Z5)xU(Z3). Это будет Z4xZ2 — группа не циклическая.
Здравствуйте
Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Циклическая группа — Cyclic group
В теории групп ветвь абстрактной алгебры , циклическая группа или моногенная группа — это группа, которая порождается одним элементом. То есть, это набор из обратимых элементов с одной ассоциативной бинарной операцией , и она содержит элемент г таким образом, что каждый другой элемент группы может быть получен путем многократного применения операции группы для г или его обратного. Каждый элемент может быть записан как степень g в мультипликативной записи или как кратное g в аддитивной записи. Этот элемент g называется генератором группы.
Каждая бесконечная циклическая группа изоморфна к аддитивной группе из Z , в целых числах . Каждая конечная циклическая группа порядка n изоморфна аддитивной группе Z / n Z , целым числам по модулю n . Каждая циклическая группа является абелевой группой (что означает, что ее групповая операция коммутативна ), и каждая конечно порожденная абелева группа является прямым произведением циклических групп.
Каждая циклическая группа простого порядка — это простая группа , которую нельзя разбить на более мелкие группы. В классификации конечных простых групп один из трех бесконечных классов состоит из циклических групп простого порядка. Таким образом, циклические группы простого порядка входят в число строительных блоков, из которых могут быть построены все группы.
СОДЕРЖАНИЕ
Определение и обозначения
Для любого элемента г в любой группе G , можно образовать подгруппу всех целых степеней ⟨ г ⟩ = , называемая циклической подгруппой в g . Порядок из г является количество элементов в ⟨ г ⟩; то есть порядок элемента равен порядку его циклической подгруппы.
Циклическая группа представляет собой группу , которая равна одной из своих циклических подгрупп: G = ⟨ г ⟩ для некоторого элемента г , называемый генератором .
Для конечной циклической группы G порядка n имеем G = , где e — единичный элемент, а g i = g j, если i ≡ j ( mod n ); в частности, g n = g 0 = e и g −1 = g n −1 . Абстрактная группа определяется умножением этого часто обозначается С п , и мы говорим , что G является изоморфной стандартной циклической группы C п . Такая группа также изоморфна Z / n Z , группе целых чисел по модулю n с операцией сложения, которая является стандартной циклической группой в аддитивной записи. При изоморфизме χ, определяемом формулой χ ( g i ) = i, единичный элемент e соответствует 0, произведения соответствуют суммам, а степени соответствуют кратным числам.
Например, набор комплексных корней шестой степени из единицы
образует группу при умножении. Это является циклическим, так как оно порождается примитивным корнем , то есть G = ⟨ г ⟩ = с г 6 = 1. При изменении букв, это изоморфна (конструктивно такой же , как) стандарт , циклическая группа порядка 6, определяется как C 6 = ⟨ г ⟩ = с умножением г J · г k = g j + k (mod 6) , так что g 6 = g 0 = e. Эти группы также изоморфны Z / 6 Z = с операцией сложения по модулю 6, где z k и g k соответствуют k . Например, 1 + 2 ≡ 3 (mod 6) соответствует z 1 · z 2 = z 3 , а 2 + 5 ≡ 1 (mod 6) соответствует z 2 · z 5 = z 7 = z 1 и т. Д. . Любой элемент генерирует свою собственную циклическую подгруппу, такие как ⟨ г 2 ⟩ = порядка 3, изоморфно C 3 и Z / 3 Z ; и ⟨ г 5 ⟩ = = О , так что г 5 имеет порядок 6 и является альтернативой генератора из G . z знак равно 1 2 + 3 2 я знак равно е 2 π я / 6 : > + > > i = e ^ :>
Вместо факторных обозначений Z / n Z , Z / ( n ) или Z / n некоторые авторы обозначают конечную циклическую группу как Z n , но это противоречит обозначениям теории чисел , где Z p обозначает p -адическую группу. числовое кольцо или локализация на простом идеале .
С другой стороны, в бесконечной циклической группы G = ⟨ г ⟩ , полномочия г к дают различные элементы для всех целых к , таким образом , что G = , а G изоморфна стандартной группе C = C ∞ и Z , аддитивной группе целых чисел. Примером может служить первая группа фризов . Здесь нет конечных циклов, и название «циклический» может вводить в заблуждение.
Чтобы избежать этой путаницы, Бурбаки ввел термин моногенная группа для группы с одним образующим и ограничил «циклическую группу», чтобы обозначать конечную моногенную группу, избегая термина «бесконечная циклическая группа».
Примеры
Целочисленное и модульное сложение
Набор целых чисел Z с помощью операции сложения образует группу. Это бесконечная циклическая группа , потому что все целые числа могут быть записаны путем многократного добавления или вычитания единственного числа 1. В этой группе 1 и -1 являются единственными образующими. Каждая бесконечная циклическая группа изоморфна Z .
Для любого натурального п , множество целых чисел по модулю п , опять — таки с операцией сложения, образует конечная циклическая группа, обозначаемый Z / н Z . Модульное целое число i является генератором этой группы, если i является взаимно простым с n , потому что эти элементы могут генерировать все другие элементы группы посредством сложения целых чисел. (Число таких образующих равно φ ( n ), где φ — функция Эйлера ). Каждая конечная циклическая группа G изоморфна Z / n Z , где n = | G | это порядок группы.
Операции сложения целых и модульных целых чисел, используемые для определения циклических групп, являются операциями сложения коммутативных колец , также обозначаемых Z и Z / n Z или Z / ( n ). Если р является простым , то Z / р Z представляет собой конечное поле , и обычно обозначается Р р или GF ( р ) для поля Галуа.
Модульное умножение
Для каждого положительного целого числа n набор целых чисел по модулю n , взаимно простых с n , записывается как ( Z / n Z ) × ; он образует группу при операции умножения. Эта группа не всегда циклическая, но такова, когда n равно 1, 2, 4, степени нечетного простого числа или удвоенной степени нечетного простого числа (последовательность A033948 в OEIS ). Это мультипликативная группа единиц кольца Z / n Z ; их есть φ ( n ), где снова φ — функция Эйлера . Например, ( Z / 6 Z ) × = , а поскольку 6 дважды нечетное простое число, это циклическая группа. Напротив, ( Z / 8 Z ) × = является 4-группой Клейна и не является циклической. Когда ( Z / n Z ) × является циклическим, его образующие называются первообразными корнями по модулю n .
Для простого числа p группа ( Z / p Z ) × всегда циклическая, состоящая из ненулевых элементов конечного поля порядка p . В более общем смысле, каждая конечная подгруппа мультипликативной группы любого поля является циклической.
Вращательные симметрии
Множество вращательных симметрий одного многоугольника образует конечную циклическую группу. Если есть какие — п различных способов перемещения многоугольника к себе путем поворотом ( в том числе вращения нуля) , то эта группа симметрии изоморфна Z / п Z . В трех или более высоких измерениях существуют другие конечные группы симметрии, которые являются циклическими , но не все вращаются вокруг оси, а вместо этого являются вращательными отражениями .
Группа всех вращений окружности S 1 ( круговая группа , также обозначаемая S 1 ) не является циклической, потому что не существует единственного вращения, целые степени которого генерируют все вращения. В самом деле, бесконечная циклическая группа С ∞ является счетным , в то время как S — не является. Группа вращений рациональными углами является счетным, но до сих пор не циклическая.
Теория Галуа
П — й корень из единицы является комплексным числом , чей п й степень равна 1, корень из полинома х п — 1. Множество всех п — й корней формы единства циклической группы порядка п относительно умножения. Например, многочлен z 3 — 1 множится как ( z — 1) ( z — ω ) ( z — ω 2 ) , где ω = e 2 πi / 3 ; множество = образует циклическую группу при умножении. Группа Галуа из расширения поля из рациональных чисел , порожденные п — й корней из форм в другую группу, изоморфна мультипликативной группе ( Z / п Z ) × порядка ф ( п ) , который является циклическим для некоторых , но не все n (см. выше).
Расширение поля называется циклическим расширением, если его группа Галуа циклическая. Для полей нулевой характеристики такие расширения являются предметом теории Куммера и тесно связаны с разрешимостью в радикалах . Для расширения конечных полей характеристики p его группа Галуа всегда конечна и циклическая, порожденная степенью отображения Фробениуса . И наоборот, учитывая конечное поле F и конечная циклическая группа G , существует конечное расширение поля F , группа Галуа которого G .
Подгруппы
Все подгруппы и фактор-группы циклических групп циклические. В частности, все подгруппы Z имеют вид ⟨ м ⟩ = м Z , с т положительное целое число. Все эти подгруппы отличаются друг от друга, и , кроме тривиальной группы = 0 Z , все они изоморфны к Z . Решетка подгрупп в Z изоморфно двойной решетки натуральных чисел упорядоченных по делимости . Таким образом, так как простое число р не имеет нетривиальных делителей, р Z максимальная собственная подгруппа, фактор — группа Z / р Z является простым ; на самом деле циклическая группа проста тогда и только тогда, когда ее порядок простой.
Все фактор-группы Z / n Z конечны, за исключением Z / 0 Z = Z / . Для каждого положительного делителя d числа n фактор-группа Z / n Z имеет ровно одну подгруппу порядка d , порожденную классом вычетов числа n / d . Других подгрупп нет.
Дополнительные свойства
Каждая циклическая группа абелева . То есть его групповая операция коммутативна : gh = hg (для всех g и h в G ). Это ясно для групп целочисленного и модульного сложения, поскольку r + s ≡ s + r (mod n ) , и это следует для всех циклических групп, поскольку все они изоморфны этим стандартным группам. Для конечной циклической группы порядка п , г п есть единичный элемент для любого элемента г . Это снова следует из использования изоморфизма к модульному сложению, поскольку kn ≡ 0 (mod n ) для любого целого числа k . (Это также верно для общей группы порядка n в силу теоремы Лагранжа .)
Для простого мощности р к , группа Z / р к Z называется первичной циклической группой . Основная теорема абелевых групп состояний , что каждая конечно порожденная абелева группа является прямым произведением конечного числа первичных циклических и бесконечных циклических групп.
Поскольку циклическая группа абелева, каждый из ее классов сопряженности состоит из одного элемента. Следовательно, циклическая группа порядка n имеет n классов сопряженности.
Если d является делителем из п , то число элементов в Z / п Z , которые имеют порядок д является φ ( d ), а число элементов, порядок делит d точно d . Если G конечная группа , в которой, для каждого п > 0 , G содержит не более п элементов порядка разделительные п , то G должен быть циклическими. Порядок элемента m в Z / n Z равен n / gcd ( n , m ).
Если п и т являются взаимно простыми , то прямое произведение двух циклических групп Z / п Z и Z / м Z изоморфна циклической группой Z / нм Z , а также и обратное утверждение: это одна форма теоремы китайского остатка . Например, Z / 12 Z изоморфно прямому произведению Z / 3 Z × Z / 4 Z при изоморфизме ( k mod 12) → ( k mod 3, k mod 4); но он не изоморфен Z / 6 Z × Z / 2 Z , в котором каждый элемент имеет порядок не выше 6.
Если р является простым числом , то любая группа с р элементами изоморфна простой группой Z / р Z . Число n называется циклическим числом, если Z / n Z — единственная группа порядка n , что верно именно тогда, когда gcd ( n , φ ( n )) = 1 . Циклические числа включают в себя все простые числа, но некоторые из них составные, например 15. Однако все циклические числа нечетные, кроме 2. Циклические числа:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 131, 133, 137, 139, 141, 143, . (последовательность A003277 в OEIS )
Определение сразу следует , что циклические группы имеют группу представление C ∞ = ⟨ х | ⟩ И С п = ⟨ х | х п ⟩ для конечного п .
Связанные объекты
Представления
Теория представлений циклической группы является критическим базовым случаем теории представлений более общих конечных групп. В сложном случае представление циклической группы распадается на прямую сумму линейных характеров, что делает прозрачной связь между теорией характеров и теорией представлений. В случае положительной характеристики неразложимые представления циклической группы образуют модель и индуктивную основу теории представлений групп с циклическими силовскими подгруппами и, в более общем смысле, теории представлений блоков циклического дефекта.
График цикла
Цикл график иллюстрирует различные циклы в группе , и особенно полезно при визуализации структуры малых конечных групп . Граф циклов для циклической группы — это просто круговой граф , в котором порядок групп равен количеству узлов. Один генератор определяет группу как направленный путь на графике, а обратный генератор определяет обратный путь. Тривиальные пути (идентичность) можно нарисовать в виде цикла, но обычно они подавляются. Z 2 иногда рисуется с двумя изогнутыми краями как мультиграф .
Циклическая группа Z n с порядком n соответствует одному циклу, изображенному на графике просто как n- сторонний многоугольник с элементами в вершинах.
| Элемент | Порождаемая группа или подгруппа | Порядок |
| 1 | $<<\mathbb |
1 |
| 2 | $<<\mathbb |
12, ген. |
| 3 | $<<\mathbb |
3 |
| 4 | $<<\mathbb |
6 |
| 5 | $<<\mathbb |
4 |
| 6 | $<<\mathbb |
12, ген. |
| 7 | $<<\mathbb |
12, ген. |
| 8 | $<<\mathbb |
4 |
| 9 | $<<\mathbb |
3 |
| 10 | $<<\mathbb |
6 |
| 11 | $<<\mathbb |
12, ген. |
| 12 | $<<\mathbb |
2 |
Таблица 16.1 — Элементы группы $<<\mathbb
16.3.4. Группа $\mathbb_n^*$ Zn*
Функция Эйлера $\varphi(n)$ определяется как количество натуральных чисел, взаимно простых с $n$ на отрезке от 1 до $n-1$ .
Если $n=p$ – простое число, то
Если $n$ – составное число и
разложено на простые множители $p_i$ , то
с операцией умножения $\ast$ по $<\operatorname
Если $n$ – составное (не простое) число, то группа $<<\mathbb
Из того, что $<<\mathbb
При возведении в степень, если $\gcd(a,n) = 1$ , выполняется
Пример. В таблице [tab:Zn-sample] приведена нециклическая группа $<<\mathbb
верхний индекс обозначает порядок подгруппы, нижний индекс нумерует различные подгруппы одного порядка.
| Элемент | Порождаемая циклическая подгруппа | Порядок |
| 1 | $<<\mathbb |
1 |
| 2 | $<<\mathbb |
6 |
| 4 | $<<\mathbb |
3 |
| 5 | $<<\mathbb |
6 |
| 8 | $<<\mathbb |
2 |
| 10 | $<<\mathbb |
6 |
| 11 | $<<\mathbb |
6 |
| 13 | $<<\mathbb |
2 |
| 16 | $<<\mathbb |
3 |
| 17 | $<<\mathbb |
6 |
| 19 | $<<\mathbb |
6 |
| 20 | $<<\mathbb |
2 |
Таблица 16.2 — Циклические подгруппы нециклической группы $<<\mathbb
16.3.5. Конечные поля
Полем называется множество $<<\mathbb
- заданы две бинарные операции, условно называемые операциями умножения « $\cdot$ » и сложения « $+$ »;
- выполняются аксиомы группы для операции «сложения»: 1. замкнутость:
(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c);$$
a \cdot 1 = 1 \cdot a = a;$$
a + b = b + a, \\ \forall a, b \in <<\mathbb
a \cdot b = b \cdot a; \\ \end
a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c). $$
Примеры бесконечных полей (с бесконечным числом элементов): поле рациональных чисел $<\mathbb>$ , поле вещественных чисел $<\mathbb
В криптографии рассматриваются конечные поля (с конечным числом элементов), называемые также полями Галуа.
Число элементов в любом конечном поле равно $p^n$ , где $p$ – простое число и $n$ – натуральное число. Обозначения поля Галуа: $<<\mathbb
Приведём примеры конечных полей.
Двоичное поле $<<\mathbb
-
Как множество из двух чисел «0» и «1» с определёнными на нём операциями «сложение» и «умножение» как сложение и умножение чисел по модулю 2. Нейтральным элементом по сложению будет «0», по умножению – «1»:
Все перечисленные выше варианты множеств изоморфны друг другу. Поэтому в дальнейшем под конечным полем $<<\mathbb
Конечное поле $<<\mathbb
Операция сложения элементов в таком поле традиционно задаётся как операция сложения коэффициентов при одинаковых степенях в базовом поле $<<\mathbb
многочлена $m(x)$ . Количество элементов в поле равно $p^n$ .
Многочлен $g(x)$ называется примитивным элементом (генератором) поля, если его степени порождают все ненулевые элементы, то есть $<<\mathbb
Пример. В таблице [tab:irreducible-gf2] приведены примеры многочленов над полем $<<\mathbb
Какие из перечисленных групп являются циклическими
Например, если G = , то G циклическая. В этом случае можно заметить, что G устроена также, как и группа с операцией сложения по модулю 6 (говоря формально, G изоморфна ей). Изоморфизм строится, если в соответствие g поставить 1 из второй группы.
Содержание
Свойства
- G абелева; то есть групповая операция коммутативна: ab = ba. Это верно, поскольку (a + b) mod n = (b + a) mod n.
- Если n < ∞ , то g n = e =e> , поскольку n mod n = 0.
- Если же n = ∞ , то существуют только два порождающих элемента: 1 и -1 (в обозначениях ( Z , + ) ,+)> ).
- Каждая подгруппа G циклична.
- Gn изоморфна Z / n Z /n\mathbb > (факторгруппа Z > по n Z > ), поскольку Z / n Z /n\mathbb > = > , 1 + n Z > , 2 + n Z > , …, n — 1 + n Z > > ≅ с сложением по модулю n.
Если p — простое число, то группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа).
Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа Z p n _
>> , где p — простое число, или Z > .
Z n _ > также являются коммутативными кольцами (по сложению и умножению). Если p — простое число, то Z p _
> — конечное поле, также обозначаемое Fp или GF(p). Каждое конечное поле с p элементами изоморфно Fp.
Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).
Примеры
нейтральный элемент группы, а остальные элементы располагаются по кругу в порядке возрастания степени образующего элемента.
Порядок элемента группы. Циклические группы
Пусть 
– группа, 
– ее единичный элемент, 
.
Определение. Порядком элемента 
группы называется наименьшее натуральное число 
, такое, что 
. Если 
для любого натурального числа 
, то называют элементом бесконечного порядка.
Примеры
5.1. В мультипликативной группе комплексных чисел 
1) порядок 
равен , так как 
;
2) порядок 
равен 
, так как 
, 
;
3) порядок 
равен 3, так как 
, 
, 
;
4) порядок 
равен 
, так как 
, 
, 
, 
;
5) порядок 
равен , так как 
, 
, 
,
;
6) число – элемент бесконечного порядка, так как 
при 
.
5.2. В мультипликативной группе невырожденных квадратных матриц второго порядка с действительными элементами
1) порядок матрицы 
равен , так как 
, 
= 
;
2) порядок матрицы 
равен , так как 
, 
, 
,
;
3) матрица 
– элемент бесконечного порядка, так как 
,
, 
, можно доказать методом математической индукции 
при 
.
Циклические группы
Определение. Мультипликативная группа 
называется циклической, если основное множество группы состоит из степеней какого-либо одного элемента группы; этот элемент называется образующим элементом группы.
, где 
– образующий элемент.
Определение. Аддитивная группа 
называется циклической, если ее основное множество состоит из кратных какого-либо одного элемента группы; этот элемент называется образующим элементом группы.
, где – образующий элемент группы.
Теорема 1. Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой. Все конечные циклические группы порядка 
изоморфны между собой.
Теорема 2. Любая подгруппа циклической группы есть циклическая группа.
Примеры
5.4. 
– аддитивная группа целых чисел.
или
следовательно, 
– циклическая группа с образующим элементом 
или 
.
5.5. Аддитивная группа 
является циклической с образующим элементом 
или 
. Этот результат следует из примера 5.3.
5.6. Выясните, является ли мультипликативная группа корней 6-ой степени из 1 циклической. Если да, то найдите все ее образующие элементы.
, где 
– единичный элемент. Найдем порядок каждого элемента группы, для чего используем таблицу Кэли задачи 1.10.
, порядок 
равен ;
, 
, 
, 
, 
, 
, порядок 
равен 6, видим, что множество 
состоит из степеней элемента 
, следовательно, группа 
– циклическая, с образующим элементом ;
, 
, 
, порядок 
равен 
;
, 
, порядок 
равен 
;
, 
, 
, порядок 
равен ;
, 
, 
, 
, 
, 
, порядок 
равен 
. Видим, что элемент 
также является образующим элементом данной группы.
Вывод: группа является циклической, с образующим элементом или .
5.7. Найдите порядок каждого элемента симметрической группы 3-ей степени. Выясните, какие циклические подгруппы данной группы они порождают.
Дана группа 
, где 
, 
– единичный элемент данной группы.
При решении используем результаты примера 2.7:
, порядок равен . Единичная подгруппа 
– циклическая;
, 
, порядок 
равен . Кроме того, подгруппа 
является циклической, с образующим элементом ;
, 
, 
, порядок 
равен , а подгруппа 
является циклической, с образующим элементом ;
, 
, порядок 
равен , подгруппа 
– циклическая, с образующим элементом ;
, 
, 
, порядок 
равен . Видим, что элемент еще один образующий элемент подгруппы 
;
, 
, порядок 
равен , подгруппа 
– циклическая, с образующим элементом .
Вывод: группа 
циклической не является, но все подгруппы этой группы, кроме самой группы, циклические. Подгруппа имеет два образующих элемента и .
5.8. Докажите, что множество 
, состоящее из матриц 
, 
, 
, 
, является подгруппой мультипликативной группы невырожденных квадратных матриц 2-го порядка с действительными элементами. Является ли эта группа абелевой? Является ли она циклической? Каковы ее образующие элементы?
.
Составим таблицу умножения для матриц из множества
| × |  |
 |
 |
 |
| |
|
 |
 |
|
| |
|
|
|
|
| |
 |
|
|
|
| |
|
|
|
|
Из таблицы видим, что умножение – алгебраическая операция в 
, операция умножение – коммутативна, так как таблица симметрична относительно главной диагонали, в алгебре 
, 
, 
, 
. По критерию подгруппы, алгебра — подгруппа мультипликативной группы невырожденных матриц с действительными элементами, причем абелева.
Найдем порядок каждого элемента подгруппы
, следовательно, порядок равен ;
, 
, порядок равен 
;
, 
, 
, 
, порядок 
равен , кроме того подгруппа – циклическая, так как множество G состоит из степеней матрицы , т.е. матрица является образующим элементом подгруппы ;
, 
, 
, 
, порядок равен 4, матрица 
– образующий элемент подгруппы 
.
Изоморфизм групп
Пусть даны группы и 
.
Определение. Группы и 
называются изоморфными, если существует отображение j множества на множество 
, удовлетворяющее условиям:
1) 
— инъективное отображение множества на множество , т.е.
если 
, то 
;
2) , 
.
Обозначают 
.
Примеры
6.1. Докажем, что аддитивная группа целых чисел изоморфна аддитивной группе четных чисел.
и 
– данные группы. 
.
Зададим отображение 
множества 
на множество 
формулой: 
, 
:
1) — инъективное отображение, так как для любых 
и 
, 
и если 
, то 
, т.е. 
;
2) 
.
По определению, — изоморфизм группы на группу 
, следовательно, 
.
6.2. Докажите, что аддитивная группа четных чисел изоморфна мультипликативной группе целых степеней числа .
Даны группы , , где 
, 
.
Зададим отображение 
множества 
на множество формулой 
, 
:
1) отображение — инъективное, так как 
, , 
и если 
, то , 
, и 
;
2) 
.
По определению, 
.
6.3. Докажите, что аддитивная группа действительных чисел изоморфна мультипликативной группе положительных действительных чисел.
и 
– данные группы.
Зададим отображение множества 
на множество 
формулой 
, 
:
1. отображение — инъективное, так как 
, 
и если 
, то 
, то есть 
;
2. 
.
По определению, 
.
6.4. Докажите, что мультипликативная группа матриц вида 
, 
изоморфна аддитивной группе действительных чисел.
Пусть , где 
, – данные группы.
Зададим отображение множества 
на множество 
формулой: 
, 
:
1. — инъективное отображение, так как 
, 
, если 
, то 
;
2. 
, 
.
По определению, 
— изоморфизм группы на группу 
, следовательно, 
.
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Циклические группы
Рассмотрим мультипликативную группу всех целых степеней двойки (2Z, •), где 2Z= . Аналогом этой группы на аддитивном языке является аддитивная группа четных целых чисел (2Z, +), 2Z = . Дадим общее определение групп, частными примерами которых являются данные группы.
Определение 1.8. Мультипликативная группа (G, •) (аддитивная группа (G, +)) называется циклической, если она состоит из всех целых степеней (соответственно, всех целых кратных) одного элемента а е G, т.е. G = (соответственно, G — ). Обозначение: (а), читается: циклическая группа, порожденная элементом а.
- 1. Примером мультипликативной бесконечной циклической группы может служить группа всех целых степеней некоторого фиксированного целого числа а Ф ±1, она обозначается а г . Таким образом, а г — . Вспомним, что комплексные числа ек, к = 1, . п — 1, изображаются точками единичной окружности, которые делят ее на п равных частей.
- 3. Характерным примером аддитивной бесконечной циклической группы является аддитивная группа целых чисел Z, она порождается числом 1, т.е. Z = (1). Геометрически она изображается в виде целых точек числовой прямой. По существу так же изображается мультипликативная группа 2 7 — = (2), в общем случае a z = (а), где целое число а Ф ±1 (см. рис. 1.3). Это сходство изображений мы обсудим в параграфе 1.6.
- 4. Выберем в произвольной мультипликативной группе G некоторый элемент а. Тогда все целые степени этого элемента образуют циклическую подгруппу (а) = , то суще-
ствует целое число гс0, такое что — = п0 —. Но тогда т = n0kb,
откуда т :Ъ — пришли к противоречию.
Б. Докажем, что два произвольных рациональных числа —
и — принадлежат циклической подгруппе (—), где т есть наи- d т/
меньшее общее кратное чисел b и d. В самом деле, пусть т-Ьи
, а аи 1 /1 с cv 1 /1
и m = av, u, v е Z,тогда — = — = аи—е(—)и — = — = cv— е ( —).
b Ьи т т/ a dv т т/
Теорема 1.3. Порядок циклической группы равен порядку порождающего элемента этой группы, т.е. |(а)| = |а|.
Доказательство. 1. Пусть |а| = «>. Докажем, что все натуральные степени элемента а различны. Предположим противное: пусть а к = а т и 0 т
к = е. Но это противоречит тому, что | а =°°. Таким образом, все натуральные степени элемента а различны, откуда следует бесконечность группы (а). Следовательно, | (а)| = °° = |а |.
2. Пусть | а | = п. Докажем, что (а) = . Из определения циклической группы вытекает включение с (а). Докажем обратное включение. Произвольный элемент циклической группы (а) имеет вид а т , где те Z. Разделим шнапс остатком: m-nq + r, где 0 п = е, то а т = а п я +г = а п ч ? а г = а г е . Отсюда (а) с .
2.6Циклические группы.
Множество элементов из группы G называется порождающим, если G получается замыканием этого множества относительно групповой операции.
Группа, порожденная одним элементом, называется циклической.
Следствие 2.10. Любая группа содержит циклическую подгруппу.
Доказательство. Пусть a –элемент группы G. Множество является циклической подгруппой.
Порядок циклической подгруппы, порожденной элементом a, называется порядком элемента.
Свойство 2.14. Если элемент a имеет порядок n, то a n =e.
Доказательство. Рассмотрим последовательность . Поскольку число членов в последовательности бесконечно, а для степеней элемента a существует конечное число возможностей, то в последовательности встретятся одинаковые члены. Пусть , где k<j и k первый повторяющийся член. Тогда , и значит, член k—j+1 повторяется. Следовательно, j=1 (иначе ). Таким образом, последовательность состоит из повторяющихся наборов вида и в ней k—1 различных элементов. Следовательно, k=n+1. Так как , то .
Порядок любого элемента является делителем порядка группы, следовательно, a | G | =e для любого элемента группы.
Следствие 2.11. Порядок группы делится без остатка на порядок любого элемента группы.
Доказательство очевидно.
Теорема 2.10 (о циклических группах)
Для любого натурального n существует циклическая группа порядка n.
Циклические группы одинаковых порядков изоморфны между собой.
Циклическая группа бесконечного порядка изоморфна группе целых чисел.
Любая подгруппа циклической группы циклическая.
Для каждого делителя m числа n (и только для них) в циклической группе n-го порядка существует единственная подгруппа порядка m.
Доказательство. Множество комплексных корней степени n из 1 относительно операции умножения образует циклическую группу порядка n. Тем самым первое утверждение доказано.
Пусть циклическая группа G порядка n порождена элементом a, а циклическая группа H, того же порядка, порождена элементом b. Соответствие взаимно однозначное и сохраняет операцию. Второе утверждение доказано
Циклическая группа бесконечного порядка, порожденная элементом a, состоит из элементов . Соответствие является взаимно однозначным и сохраняет операцию. Таким образом, третье утверждение доказано.
Пусть H – подгруппа циклической группы G, порожденной элементом a. Элементы H являются степенью a. Выберем в H элемент, который является наименьшей по абсолютной величине ненулевой степенью a. Пусть это элемент . Покажем, что этот элемент является порождающим в подгруппе H. Возьмем произвольный элемент из H. Произведение содержится в H при любом r. Выберем r равным частному от деления k на j, тогда k—rj есть остаток от деления k на j и, значит, меньше j. Поскольку в H нет элементов, которые являются не нулевой степенью a, меньше чем j, то k—rj=0, и . Четвертое утверждение доказано.
Пусть циклическая группа G порядка n порождена элементом a. Подгруппа, порожденная элементом , имеет порядок m. Рассмотрим подгруппу H порядка m. Выберем в H элемент, который является наименьшей по абсолютной величине ненулевой степенью a. Пусть это элемент . Покажем, что j=n/m. Элемент принадлежит H. Следовательно, отличное от нуля число вида rj—nv по абсолютной величине не меньше j, что возможно только если n делится на j без остатка. Подгруппа, порожденная , имеет порядок n/j=m, следовательно, j=n/m. Поскольку порождающий элемент подгруппы определяется однозначно по ее порядку, то пятое утверждение доказано.