2.4 Определение времени переходного процесса
Одной из задач анализа электронной схемы может быть расчёт времени переходного процесса, т.е. времени, в течение которого схема входит в установившийся режим при разовом или периодическом возмущении входным сигналом.
Под установившимся процессом понимается такое состояние схемы, при котором токи и напряжения в её ветвях либо неизменны, либо меняются периодически. Любое другое состояние схемы называется переходным. Если входное (возмущающее) воздействие исследуемой схемы периодическое (с периодом T = 2 π 
ω 0 ), то установившийся процесс будет характеризоваться периодиче-
ским изменением токов и напряжений. Условие периодичности записывается так:
где Х — вектор переменных состояния (или любых других величин).
Т.о., определение времени переходного процесса сводится к нахождению минимального значения времени t , которое бы удовлетворяло условию (40).
© А. Кудинов, 2006, ТГУ, каф.ПЭ
Это и будет время переходного процесса. Имея массив вычисленных значений Х i в заданные моменты времени t i , искать время переходного процесса будем по схеме:
Шаг 1. Зададимся погрешностью ε , положим i = 0. Шаг 2. Положим j = i .
Шаг 3. Пока t j < t i + T , увеличиваем j на единицу.
Шаг 4. Если X j − X i ≤ ε , закончить ( t i — искомое время).
Шаг 5. Положим i = i + 1 и перейдём к шагу 2.
Некоторое неудобство этой схемы заключается в том, что период Т может оказаться не кратным шагу интегрирования (особенно при автоматическом его выборе), поэтому добиться равенства t j = t i + T не удаётся. В этих случаях, в
программной реализации описанной выше схемы необходимо предусмотреть процедуру интерполяции X j пред его сравнением с X i (между шагом 3 и 4).
2.5 Гармонический анализ сигналов
Известно, что периодическую функцию f ( t ) с периодом Т точно или приближённо можно представить тригонометрической суммой
Расчеты переходных процессов в электрических сетях
Энергетика – обширная сфера деятельности, и расчеты в ней производятся разные: расчет рентабельности строительства новых станций, расчет перенапряжений, расчет оставшегося времени до конца рабочего дня в пятницу вечером. Все эти темы в одной статье не уместить, поэтому сконцентрируюсь на той, которой занимался в течение последних лет, – расчеты переходных процессов в электрических сетях. Кому интересно, что это такое и как оно происходит в современном мире, – прошу под кат.
Оглавление
- Зачем вообще что-то рассчитывать в энергетике?
- Переходные процессы – это…
- Переходные процессы и режим реального времени
- Нельзя просто так взять и рассчитать переходный процесс
- Куда и как запустить модель?
- Управление по управлению всеми управлениями
- Все уже сделано до нас
- Заключение
Зачем вообще что-то рассчитывать в энергетике?
Причины довольно стандартны для любой технической/инженерной сферы: экономия, безопасность, нормативы и прочие банальности. Несколько примеров:
- Чем точнее мы знаем, какие перенапряжения могут возникнуть, тем меньше денег можно затратить на изоляционный материал, имеющий достаточный запас прочности.
- Чем больше информации имеется о резонансных частотах в сети, тем точнее можно настроить систему управления и эффективнее справляться с воздействием внешних факторов.
- Чем детальнее изучено поведение оборудования в тех или иных режимах, тем проще соблюсти нормативы, пройти сертификацию или приёмку.
- И т. д.
- И т. п.
Впрочем, если у вас есть деньги и время для проведения экспериментов, то можно одними расчетами не ограничиваться, ведь теория – это хорошо, а теория, подкрепленная экспериментами, – еще лучше. Правда это может быть долго, дорого и не всегда возможно, ведь ставить эксперименты на работающей энергосистеме – это, выражаясь местным сленгом, сродни запуску тестов на продакшн сервере – если что-то пойдет не так, то мало не покажется.
Переходные процессы – это…
Если по-простому, переходный процесс – это когда токи и напряжения в электрической сети изменяются во времени вследствие различных событий, таких как короткие замыкания, отключения выключателей, удары молнии и проч. и проч. Переходные процессы – явления чаще всего временные. В электроэнергетике они могут длиться как нано- и микросекунды (переключение транзисторов, удары молнии), так и несколько минут или часов (межсистемные колебания, электромагнитные бури).
Рассчитать переходный процесс – значит узнать, как именно изменяются токи и напряжения.
Переходные процессы обычно плавно перетекают в установившиеся. В установившемся процессе, если опять же по-простому, величины токов и напряжений постоянны. «А как же напряжение в розетке, которое меняется 50 раз в секунду?» – спросите вы. В принципе, это тоже можно рассматривать как непрекращающийся переходный процесс, но если амплитуда, частота и фаза синусоидального сигнала постоянны, то гораздо удобнее рассматривать как установившийся. Для этого существуют свои методы, но об этом как-нибудь в другой раз.
Вот, например, напряжения на конденсаторе при подключении его к трехфазной сети 10 кВ (если что, конденсаторов на самом деле три – по одному на каждую фазу):
Где-то сейчас замигали лампочки
Вопрос: когда начинается переходный процесс?
Вопрос со звездочкой: когда заканчивается переходный процесс и начинается установившийся?
Переходные процессы и режим реального времени
Есть еще одна область применения расчетов переходных процессов – это расчеты в реальном времени. Если обычно все гонятся за уменьшением времени расчетов, то здесь, наоборот, очень важно, чтобы расчет одной секунды проходил ровно за одну секунду. Это применяется, например, для прототипирования, тестирования и отладки устройств, предназначенных для взаимодействия с реальным миром: систем управления, защиты и т.д.
Поясню на примере: система управления электростанцией знает, что для реакции на событие X электростанции понадобится две секунды, а на событие Y – три. Чтобы дебажить эту систему управления, её подключают не к реальной электростанции, а к так называемому симулятору, имитирующему поведение электростанции. Симулятор в реальном времени рассчитывает переходные процессы, которые происходили бы в электростанции, и ведет себя соответствующе: отвечает на событие X за две секунды, а на Y – за три вне зависимости от количества ядер процессора и тактовой частоты. Система управления при этом думает, что работает с реальной электростанцией.
Слева: система управления и электростанция дружно работают на благо родины.
Справа: ничего не подозревающая система управления коварно обманута и подключена к симулятору
Нельзя просто так взять и рассчитать переходный процесс
В рассчитываемой электрической сети могут иметься тысячи различных компонентов, поэтому ручной расчет переходных процессов практически неприменим к реальным задачам в электроэнергетике – все считается на компьютере. Расчеты переходных процессов в реальном времени производить вручную еще сложнее, ведь вам понадобится еще и секундомер.
В начале расчета стоит определиться, какая от него требуется информация. Например, нам нужно узнать перенапряжения, возникающие при коротком замыкании в преобразователе постоянного тока на морской ветроэлектростанции. С типом расчетов всё и так понятно из названия статьи – нужно рассчитывать переходные процессы.
Вот так схематично эта система может выглядеть
Затем нужно разработать математическую модель рассчитываемой системы: ветровой электростанции, преобразователей, кабеля и прилегающей электрической сети. Этот этап может быть довольно сложным, ведь не всегда сразу ясно, насколько детальны должны быть модели. Чем больше деталей, тем точнее результат, но тем больше времени надо потратить на расчеты. Никто не любит долго ждать, поэтому приходится искать компромисс. Часто для удовлетворительной точности требуются многие десятки дифференциальных и не очень уравнений для каждого устройства.
Как только модель системы у нас появилась, можно запустить её в солвер (об этом чуть дальше), задать начальные условия и все рассчитать. Как происходит типичный расчет:
- Интересующий период времени разбивается на отрезки с шагом интегрирования ∆t. Чем меньше шаг интегрирования, тем медленнее процесс расчета и точнее результаты. Часто используются величины ∆t от единиц до десятков микросекунд.
- Величины токов и напряжений в момент времени (t-∆t) используются для расчета величин на следующем моменте времени (t).
- Начальные условия, т. е. начальные величины токов и напряжений, находятся из предположения, что в момент времени t=0 был установившийся режим.
Куда и как запустить модель?
Основу ПО для расчета переходных процессов составляет солвер – программа, решающая систему уравнений. Особую популярность в области переходных процессов имеют солверы, основанные либо на методе узловых потенциалов, либо на методе пространства состояний. Метод пространства состояний подходит для практически любых систем дифференциальных уравнений, а в методе узловых потенциалов используются законы Ома и Кирхгофа, что делает его удобным именно для электрических систем.
Дифференциальные уравнения математических моделей нужно привести к удобоваримому для солвера виду, т. е. к превратить их в систему линейных алгебраических уравнений. Для этого применяется численное интегрирование. Часто используется метод трапеций, его и рассмотрим. Все уравнения ветровой электростанции из предыдущей главы здесь писать не буду, ограничусь одним скромным конденсатором. Ток и напряжение на нем связывает дифференциальное уравнение вида
Применим суть метода трапеций на двух последовательных моментах времени (t-∆t) и (t):
А теперь вынесем величины для момента времени (t-∆t) в отдельное слагаемое:
Тем, кому хочется попробовать свои силы самостоятельно, предлагаю разделаться таким же образом с уравнением для индуктивности.
Величины для момента времени (t-∆t) вынесены в отдельное слагаемое, т. к. известны из расчета предыдущего момента времени. Теперь вместо дифференциального у нас есть обычное линейное алгебраическое уравнение. Если подключить фантазию, то можно заметить, что финальное уравнение очень похоже на резистор, подключенный параллельно с источником тока.
Аналогичным образом уравнения других элементов приводятся к комбинациям резисторов и источников тока. А такие электрические схемы умеет решать каждый уважающий себя солвер, основанный на методе узловых потенциалов.
Легким движением руки схема превращается…
Не все элементы в электрических сетях представляются в виде резисторов и источников тока, но все в итоге представляются в виде линейных алгебраических уравнений, которые можно скормить солверу. А если не представляются в виде линейных, то можно линеаризовать, рассчитать якобиан, применить метод Ньютона, но все равно решить, пусть и с итерациями. Но не будем сильно углубляться, об этом тоже как-нибудь в другой раз.
Управление по управлению всеми управлениями
В реальных электрических сетях очень часто используются системы управления: в электроприводе, в ветровых генераторах, в преобразователях постоянного/переменного тока и т. д. Они оказывают сильное влияние на переходные процессы, поэтому их тоже приходится учитывать в расчетах.
Сложность уравнений в системах управления теоретически ограничена лишь фантазией инженеров: дискретные передаточные функции пятого порядка? Пожалуйста. Синус от логарифма? Дайте два, один гиперболический. Из-за этого солвер для систем управления часто приходится использовать отдельный, посложнее.
Впрочем, часто системы управления «однонаправлены», т. е. сигналы приходят с датчиков, проходят обработку и отправляются в управляющие устройства (типа транзисторов) без каких-либо самозацикливаний. Расчет такой системы управления относительно прост, ведь можно последовательно применять всякие алгебраические операции и горя не знать.
Два сложения, два умножения и один интеграл. Легкотня!
Все уже сделано до нас
Ну а если не хочется самому разрабатывать модели и солверы, можно воспользоваться уже существующими программными продуктами. Приведу лишь широко известные в узких кругах энергетиков программы, ибо составить исчерпывающий список – задача не из простых. У меня бэкграунд скорее энергетика, чем электронщика, поэтому некоторые популярные программы со схожим функционалом из области электроники наверняка пропустил. Если знаете что-то похожее – поделитесь в комментариях.
Показатели, определяемые по виду переходной характеристики
Показатели качества имеет смысл изучать только для работоспособных, т. е. устойчивых систем. Для сравнения качества функционирования разных систем или разных вариантов одной системы разработаны числовые показатели, характеризующие системы с той или иной точки зрения. Показатели качества линейных непрерывных систем подразделяются на две группы:
1. Показатели, характеризующие динамику переходного процесса. К ним относят показатели запасов устойчивости и быстродействия систем.
2. Показатели, характеризующие, точность системы. Чаще всего к ним относят характеристики регулярных и случайных составляющих ошибок в установившемся режиме работы системы.
Переходная характеристика – это реакция системы на единичный скачок (см. (2.20)).
Она характеризует качество переходного процесса и позволяет определить прямые показатели качества системы. Основными показателями, определяемыми по ее виду (см. рис.2.28), являются:
a). Время переходного процесса t п ( или время регулирования). Это важнейший показатель, характеризующий быстродействие системы. Для его определения на графике характеристики проводят две прямые, параллельные оси 0 t, отстоящие от установившегося значения h уст на величину 0,05 h уст в ту и другую сторону (трубка 5%). t п – это момент времени, когда переходная характеристика входит в трубку 5% и больше из нее не выходит.
b). Перерегулирование
Переходный процесс имеет апериодический или колебательный характер. Для систем радиоавтоматики он в большей степени имеет колебательный характер. Для инерционных систем уровень колебательности ограничивают, для электронных систем радиоавтоматики колебательность допускается, но ее приходится ограничивать, так как она является косвенной характеристикой запаса устойчивости системы. По переходной характеристике колебательность определяется по величине перерегулирования σ (см. формулу (2.77)).
Перерегулирование σ характеризует степень удаления системы от колебательной границы устойчивости (в случае нахождения системы на колебательной границы устойчивости в системе наблюдаются незатухающие колебания и σ = 100%). Запас устойчивости считается достаточным, если . Иногда допускается перерегулирование до 70%, а в ряде случаев не допускается вообще (для инерционных систем).
c). Число колебаний r за время переходного процесса. Этот показатель колебательности исключительно легко определяется по виду переходной характеристики. Допустимое число колебаний обычно не более ,для слабо колебательных систем – меньше одного колебания. Зная период колебаний переходной характеристики по величине r нетрудно (хотя и приближенно) определить время переходного процесса .
Таким образом, по виду переходной характеристики можно определить следующие показатели качества системы:
· Время переходного процесса tп;
· Перерегулирование ;
· Число колебаний r за время переходного процесса.
2.7.2. Показатели, определяемые по виду частотных характеристик
Косвенные методы анализа динамики линейных непрерывных систем основаны на применении частотных характеристик. Для определения показателей качества системы в замкнутом состоянии используется амплитудно – частотная характеристика системы в замкнутом состоянии и две частотные характеристики комплексного коэффициента передачи системы в разомкнутом состоянии (подробно эти характеристики описаны в разделе 2.3.3).
· Амплитудно – частотная характеристика системы в замкнутом состоянии .
· Амплитудно – фазовая характеристика (АФХ).
· Логарифмические частотные характеристики (ЛАХ).
2.7.2.1. Показатели качества, определяемые по виду амплитудно – частотной характеристики системы в замкнутом состоянии .
Передаточная функция системы в замкнутом состоянии представляется формулой (2.61)
Следовательно, комплексный коэффициент передачи системы в замкнутом состоянии имеет вид
Модуль этого комплексного коэффициента и естьамплитудно – частотная характеристика системы в замкнутом состоянии (рис. 2.29).
Если переходная характеристика системы имеет апериодический характер, то . – невозрастающая функция частоты ω, если колебательный – то функция . имеет максимум. В том случае, когда система находится на колебательной границе устойчивости (незатухающие колебания переходной характеристики постоянной амплитуды) величина этого максимума стремится к бесконечности, а функция . имеет разрыв. Таким образом, чем больше максимальное значение , тем меньше запас устойчивости системы.
Косвенной характеристикой запаса устойчивости и уровня колебательности системы служит показатель колебательности
представляющего собой отношение максимального значения амплитудно-частотной характеристики системы в замкнутом состоянии к значению этой характеристики при ω = 0. Для астатических систем A з(0)=1, для статических A з (0) = , при . Таким образом, = .
Используя рассматриваемую характеристику, быстродействие системы можно оценить по величине полосы пропускания ∆ω. Это — значение частоты ω, когда = 0,7. Чем шире полоса пропускания ∆ω, тем выше быстродействие системы.
При M >> 1 резонансная частота ωm приближается к частоте колебаний переходной характеристики, таким образом, период колебаний переходной характеристики равен . По величине показателя колебательности M можно определить число колебаний r переходного процесса и оценить время переходного процесса .
Приближенные соотношения, определяющие зависимость между параметрами систем не выше четвертого порядка приведены в табл. 2.4.
| σ | M | r | |
| Слабоколебательная система | <15% | <1,2 | <1 |
| Среднеколебательная система | 1530% | 1,21,7 | 12 |
| Сильноколебательная система | 3050% | 1,72,5 | 34 |
Итак, по виду амплитудно – частотной характеристики системы в замкнутом состоянии можно определить следующие показатели динамики системы:
· показатель колебательности M;
· полосу пропускания ∆ω;
· резонансную частоту ω m
· период колебаний переходной характеристики ;
· число колебаний r переходного процесса;
· оценить время переходного процесса .
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Длительность переходного процесса
Практически считается, что переходный процесс заканчивается за четыре постоянных времени (4 ), .
Через время равное :
| Рис 1.25 |
Свободная функция через время равное составляет 1.8% от первоначального значения, т.е. уменьшается в .
Определяемая ею переходная функция, будет составлять от установившейся величины.
Поэтому считают, что время переходного процесса равно: .
5.В цепи порядка постоянные времени различны для каждой экспоненты. Длительность переходного процесса оценивается по наибольшей постоянной времени. Для комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения постоянная времени определяется по действительной их части .
Переходный процесс в цепи первого порядка
1.Если цепь описывается уравнением первого порядка, то свободная составляющая имеет одну слагаемую экспоненту, и полное решение:
Для определения единственной постоянной интегрирования нужны только начальные значения функций .
2.Определим постоянную интегрирования в общем виде.Для этого в решение подставим начальные условия :
отсюда следует, что:
Постоянная интегрирования для любой функции в цепи первого порядка равна начальному значению ее свободной составляющей.
3.Содержание расчета переходного процесса в цепи первого порядка.
Для составления решения рассматривается ряд задач, в результате чего определяются все компоненты искомой функции.
| Рис.1.26 |
4.Для иллюстрации характера переходного процесса в цепи первого порядка рассмотрим два элементарных примера с одноконтурными схемами при постоянном и синусоидальном источниках.
Пример 1: Включение цепи на постоянное напряжение .
Конденсатор предварительно зарядим до напряжения .
| Рис. 1.27 |
Характеристическое уравнение и его корень:
Полное решение для напряжения :
Ток из дифференциальной связи :
Анализ решения: Деформация процесса в зависимости от начальных условий (рис. 1.28).
| Рис. 1.28 |
| Рис. 1.29 |
В цепи с постоянными источниками , а для — экспонента. Значит, переходная функция представляет собой кривую, которая от значения монотонно и асимптотически приближается к новому установившемуся режиму . Это обстоятельство позволяет качественно представить переходный процесс, для чего необходимо рассчитать только старый установившийся режим, начальные условия и новый установившийся режим (рис. 1.29).
Пример 2: Включение нагрузки на синусоидальное напряжение.
Характеристическое уравнение и его корень: ; .
Напряжение на индуктивности найдем из дифференциальной связи:
Анализ решения: Деформация процесса в зависимости от момента включения источника и соотношения параметров.
| Рис. 1.31 |
На синусоидальный ток нового установившегося режима накладывается свободная экспонента (рис. 1.31), начальное значение которой определяется двумя независящими друг от друга факторами. С одной стороны это начальная фаза , зависящая от момента включения. Это случайный фактор. С другой стороны это угол сдвига фаз нового установившегося режима, зависящим от соотношения параметров схемы. Теми же параметрами определяется и постоянная времени , от которой зависит скорость установления принужденного режима. В какие-то моменты максимальное значение тока может превышать амплитуду . Его называют ударным значением .
Два крайних случая (рис. 1.32).
В одном крайнем случае, когда и , постоянная интегрирования превращается в нуль, переходный процесс будет отсутствовать и сразу после включения наступит новый установившийся режим: .
На левом рисунке сохранены параметры, угол сдвига остался тем же, что и в первом варианте, где рассматривался общий случай. Изменен только момент включения.
На правом рисунке представлен вариант, приближенный к другому крайнему случаю. Соотношение параметров таково, что
угол приближен к , что затягивает затухание свободной функции вследствие увеличения постоянной времени . Момент включения подобран так, чтобы и . Тогда максимально возможное начальное значение свободной функции за полпериода практически не затухает и ударное значение тока приближается к двойному амплитудному значению. Таким образом: .
Среднестатистическое отношение наблюдается в пределах от 1,3 в низковольтовых до 1,8 в высоковольтовых цепях.
| Рис. 1.32 |
5.Далее изложенный материал иллюстрируется решением нескольких задач по расчету переходного процесса в цепи первого порядка.
Примеры решения задач в цепи
Первого порядка.
Задача 1. Цепь с постоянным источником ЭДС (рис.1.33).
| Рис. 1.33 |
Определить мгновенные значения токов, напряжение на катушке и сопротивлении .