Сумма цифр которого равна их произведению

Как найти 99 натуральных чисел, сумма которых равна их произведению?

Если 99 разделить на 33, то получим число 3. Такие числа как: 1 четверка, 3 тройки, 95 единиц удовлетворяют данному условию задачи. Проверить это достаточно легко:

Есть еще один вариант решения этой задачи. Вот такой:

Оба этих решения являются правильными, так как они соответствуют условиям этой задачи.

Приведите пример натурального числа, сумма цифр которого равна произведению

Формулировка задачи: Приведите пример трёхзначного/четырехзначного натурального числа, кратного N, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).

Для решения таких задач нужно знать основные признаки делимости чисел. Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.

Приведите пример трёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.

Сразу же отметим, что в числе не может быть цифры 0, так как при наличии хотя бы одного 0, произведение автоматически станет равно 0, а сумма будет равна 0 только в одном случае: если все слагаемые равны 0.

Трехзначное число делится на 4, если число, составленное из 2 последних цифр, делится нацело на 4. Найдем всевозможные двухзначные числа, которые делятся на 4 и в которых отсутствует 0:

12, 16, 24, 28, 32, 36,

44, 48, 52, 56, 64, 68,

72, 76, 84, 88, 92, 96

Кроме того, мы знаем, что максимальная сумма цифр трехзначного числа равна 27 (9 + 9 + 9). Поэтому из приведенного списка можно вычеркнуть числа, произведение цифр которых больше 27. Остались числа:

12, 16, 24, 28, 32, 36,

Попробуем подобрать первую цифру для этих чисел таким образом, чтобы сумма цифр трехзначного числа была равна их произведению. При этом не забываем, что произведение всех 3 цифр не должно превышать 27. Для удобства начнем с конца:

• Для 92 первой цифрой может быть только 1, иначе произведение цифр превысит 27. Но произведение 1 ⋅ 9 ⋅ 2 = 18 больше суммы 1 + 9 + 2 = 12
• Для 72 первой цифрой может быть только 1, иначе произведение превысит 27. Но произведение 1 ⋅ 7 ⋅ 2 = 14 больше суммы 1 + 7 + 2 = 10
• Для 64 первой цифрой может быть только 1, иначе произведение цифр превысит 27. Но произведение 1 ⋅ 6 ⋅ 4 = 24 больше суммы 1 + 6 + 4 = 11
• Для 52 первой цифрой может быть 1 или 2, иначе произведение цифр превысит 27. Если первая цифра равна 1, произведение равно 1 ⋅ 5 ⋅ 2 = 10, а сумма равна 1 + 5 + 2 = 8. Произведение больше суммы, причем произведение растет быстрее суммы, значит цифру 2 можно и не проверять.
• Для 44 первой цифрой может быть только 1. Но произведение 1 ⋅ 4 ⋅ 4 = 16 больше суммы 1 + 4 + 4 = 9
• Для 36 первой цифрой может быть только 1. Но произведение 1 ⋅ 3 ⋅ 6 = 18 больше суммы 1 + 3 + 6 = 10
• Для 32 первой цифрой может быть 1, 2, 3 или 4. Если первая цифра равна 1, произведение равно 1 ⋅ 3 ⋅ 2 = 6, а сумма равна 1 + 3 + 2 = 6. Произведение и сумма равны, поэтому число 132 можно указать в качестве ответа. Так как произведение растет быстрее суммы, большие цифры можно не проверять.
• Для 28 первой цифрой может быть только 1. Но произведение 1 ⋅ 2 ⋅ 8 = 16 больше суммы 1 + 2 + 8 = 11
• Для 24 первой цифрой может быть 1, 2 или 3. Если первая цифра равна 1, произведение равно 1 ⋅ 2 ⋅ 4 = 8, а сумма равна 1 + 2 + 4 = 7. Произведение больше суммы, причем произведение растет быстрее суммы, значит цифру 2 можно и не проверять.
• Для 16 первой цифрой может быть 1, 2, 3 или 4. Если первая цифра равна 1, произведение равно 1 ⋅ 1 ⋅ 6 = 6, а сумма равна 1 + 1 + 6 = 8. Сумма больше произведения, поэтому проверяем дальше. Если первая цифра равна 2, произведение равно 2 ⋅ 1 ⋅ 6 = 12, а сумма равна 2 + 1 + 6 = 9. Произведение больше суммы, значит другие цифры можно и не проверять.
• Для 12 первой цифрой может быть любая (кроме 0). Если первая цифра равна 1, произведение равно 1 ⋅ 1 ⋅ 2 = 2, а сумма равна 1 + 1 + 2 = 4. Сумма больше произведения, поэтому проверяем дальше. Если первая цифра равна 2, произведение равно 2 ⋅ 1 ⋅ 2 = 4, а сумма равна 2 + 1 + 2 = 5. Сумма больше произведения, поэтому проверяем дальше. Если первая цифра равна 3, произведение равно 3 ⋅ 1 ⋅ 2 = 6, а сумма равна 3 + 1 + 2 = 6. Произведение и сумма равны, поэтому число 312 можно указать в качестве ответа. Так как произведение растет быстрее суммы, другие цифры можно не проверять.

Ответ: 132 или 312

Поделитесь статьей с одноклассниками «Приведите пример натурального числа, сумма цифр которого равна произведению – как решать».

ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №051A2A

В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKD.

Решение задачи:

Рассмотрим треугольники ABC и ACD.
Сторона AC — общая для этих треугольников.
AB=CD и BC=AD (по свойству параллелограмма).
Следовательно, рассматриваемые треугольники равны (по третьему признаку). А значит равны и их площади, и равны эти площади половине площади параллелограмма.
Рассмотрим треугольник ACD.
Как только что выяснили, площадь этого треугольника равна половине площади параллелограмма.
Отрезок DK — является медианой (по третьему свойству параллелограмма), и соответственно делит этот треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. равных по площади ( свойство медианы).
Следовательно площадь AKD равна половине площади треугольника ACD.
S AKD =S ACD /2=S ABCD /4.
ч.т.д.

Присоединяйтесь к нам.

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице ‘Про нас’

Другие задачи из этого раздела

Задача №239EF1

Периметр треугольника равен 54, одна из сторон равна 15, а радиус вписанной в него окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

Задача №14B877

Катеты прямоугольного треугольника равны 35 и 120. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Задача №656C84

Площадь прямоугольного треугольника равна 968&#8730 3 /3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Задача №210C80

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 44°, 71° и 65°.

Задача №4DCFDB

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22√ 2 . Найдите диагональ этого квадрата.