Доказать что скользящая симметрия имеет единственную инвариантную прямую

§26 Признаки движений.

Теорема 26.1: Движение первого рода, имеющее инвариантные точки, является поворотом.

Доказательство: (методом «от противного»)

Допустим, что такое движение не является поворотом, тогда на основании следствия (2) оно является переносом, а перенос инвариантных точек не имеет, а значит, получили противоречие с условием. Что и требовалось доказать.

Теорема 26.2: Движение первого рода, не имеющее инвариантных точек, является переносом.

Доказательство: (аналогично (26.1)).

Теорема 26.3: Движение второго рода, имеющее хотя бы одну инвариантную точку, является осевой симметрией.

Теорема 26.4: Движение второго рода, не имеющее инвариантных точек, является скользящей симметрией.

§27 Гомотетия и ее свойства.

Определение 27.1: Гомотетией с центром в точке S и коэффициентом называется такое преобразование плоскости на себя, при котором , что .

1) Способы задания:

Из определения (27.1) следует, что однозначно определяется заданием и , или и .

3) Выясним, как изменяется расстояние между точками в гомотетии:

, , ,

Вывод: в гомотетии расстояние между любыми двумя точками изменяется на одно и то же число, равное .

4) Взаимное расположение прямых.

Доказательство: (методом координат)

Вывод: — прямая, т.е. прямая в гомотетии переходит в прямую ( и они параллельны).

5) Инвариантные точки:

Гомотетия имеет единственную инвариантную точку- центр гомотетии.

§28 Подобие.

Определение 28.1: Подобие – такое преобразование плоскости, при котором расстояние между любыми двумя точками изменяется в .

Теорема 28.1: Любое подобие можно представить в виде композиции гомотетии с тем же коэффициентом и движения.

(по свойству гомотетии §27)

(определение 28.1)

Следствие 1: В подобии прямая, луч, отрезок переходят соответственно в прямую, луч, отрезок.

Следствие 2: В подобии угол переходит в равный ему угол.

Следствие 3: Подобие однозначно определяется заданием двух ортонормированных реперов , , таких, что | .

Следствие 4: Подобие однозначно определяется двумя подобными треугольниками (или тремя парами соответствующих точек, таких, что , , ).

Определение 28.2: Подобие, представимое композицией гомотетии и движением первого рода, называется подобием первого рода , а движением второго рода- подобием второго рода .

Из определения 28.2 и свойств движения следует теорема 28.2:

Теорема 28.2: Подобие первого рода равно композиции гомотетии и поворота с общим центром

Теорема 28.3: Подобие второго рода равно композиции гомотетии и осевой симметрии

Теорема 28.4: Множество подобий плоскости образует группу

На основании идеи Феликса Клейна, предметом изучения евклидовой геометрии является множество свойств, сохраняющихся при образовании групп подобия. Такие свойства, как равенство углов, понятие подобия треугольников, подобия фигур, равенства фигур, понятие биссектрисы, медианы, высоты треугольника являются понятиями евклидовой геометрии.

Направление практического использования подобия: в задачах на доказательство подобия; в которых рассматриваются подобные фигуры; в задачах на нахождение угла между прямыми.

Композиции перемещений плоскости

Некоторые наиболее сложные задачи на построение решаются методом последовательного применения нескольких перемещений плоскости, которое называется композицией перемещений, поэтому мы в этом параграфе рассмотрим некоторые сведения, относящиеся к вопросу о композиции перемещений.

Определение 4.11. Композицией двух преобразований называется результат последовательного выполнения этих преобразований.

Определив композиции перемещений плоскости, мы можем рассмотреть еще одно перемещение плоскости — скользящая симметрия.

Скользящая симметрия

Определение 4.12. Скользящей, или переносной, симметрией называется композиция осевой симметрии и параллельного переноса, вектор которого параллелен оси симметрии.

Скользящую симметрию с осью d и вектором а обозначают так: S$, или сокращенно d₅. Параллельный перенос на нулевой вектор есть тождественное преобразование, поэтому, если а = б, то S° = Sj. Осевая симметрия — частный случай скользящей симметрии.

Рассмотрим свойства скользящей симметрии.

• 1. Композиция осевой симметрии и параллельного переноса обладает переместительным свойством.
• 2. Скользящая симметрия неподвижных точек не имеет.
• 3. Ось d — единственная неподвижная прямая скользящей симметрии.
• 4. Скользящая симметрия — перемещение II рода.

Укажем некоторые наиболее важные свойства композиции перемещений плоскости.

Теорема 4.3. Всякое перемещение плоскости есть композиция не более трех осевых симметрий.

Теорема 4.4. Композиция двух осевых симметрий, оси которых параллельны, есть параллельный перенос. Вектор переноса перпендикулярен осям и направлен от первой оси ко второй, а его модуль равен удвоенному расстоянию между осями.

Теорема 4.5. Композиция двух осевых симметрий, оси которых пересекаются, есть поворот вокруг точки пересечения осей. Угол поворота равен удвоенному углу от первой оси до второй.

Теорема 4.6. Композиция трех осевых симметрий есть осевая симметрия тогда и только тогда, когда оси данных симметрий имеют единственную точку или параллельны между собой.

Теорема 4.7. Композиция трех осевых симметрий, оси которых не параллельны и не имеют общей точки, есть скользящая симметрия.

Теорема 4.8 (Шаля). Всякое перемещение плоскости —либо поворот, либо параллельный перенос, либо осевая симметрия, либо скользящая симметрия.

Теорема 4.9. Композиция В^А_а двух поворотов А_а и Вр есть или поворот С_а+р, если а + (3 2я.

Теорема 4.10. Два перемещения обладают переместительным свойством тогда и только тогда, когда одно перемещение посредством другого преобразуется в себя.

Теорема 4.11. На плоскости переместительным свойством обладают:

• 1) две осевые симметрии с перпендикулярными осями;
• 2) осевая и центральная симметрии, если ось проходит через центр;
• 3) осевая симметрия и параллельный перенос, если вектор параллелен оси;
• 4) осевая и скользящая симметрии, если их оси совпадают;
• 5) два параллельных переноса;
• 6) параллельный перенос и скользящая симметрия, если вектор параллелен оси;
• 7) два поворота с общим центром(в частности, центральная симметрия и поворот с общим центром).
• 8) две скользящие симметрии с общей осью.

Приведем таблицу (табл. 4.2), которая содержит ответ на вопрос, что представляет собой композиция тех или иных перемещений плоскости.

Доказать что скользящая симметрия имеет единственную инвариантную прямую

Движения плоскости. Простейшие виды движений плоскости. Параллельный перенос (вектор). Скользящее отражение , страница 5

В §1.1 обсуждались виды движений, которые мы условно называли «простейшими». Они качественно отличаются, причем по разным признакам. Например, поворот имеет неподвижную точку, а параллельный перенос не имеет.

ВОПРОС : Существуют ли еще какие-нибудь «простейшие» движения, несводимые к ранее перечисленным ?

Оказывается, в природе вообще нет других типов движений, т.е. любое движение (хотя бы и полученное сложной композицией) будет равносильно одному из ранее названных «простейшими». Сейчас мы это строго докажем.

Теорема Шаля. Всякое движение первого рода сводится либо к тождественному преобразованию, либо к параллельному переносу, либо к повороту.

Доказательство. Ранее мы выяснили, что всякое движение задается парой конгруэнтных треугольников. Движение первого рода сохраняет ориентацию фигур, а, значит, определяется парой равных треугольников. Помня об этом, достаточно следить при отображении лишь за парой соответственных сторон образа и прообраза, например, А₁В₁ и А₂В₂ (Рис.13).

Тривиальный случай (совпадение этих отрезков) означал бы тождественное преобразование.

Если бы выполнялось , то отрезки задавали бы параллельный перенос плоскости. Пусть . Покажем, что отрезки можно совместить поворотом. Т.к. при повороте точки и ее образ лежат на общей окружности с центром О, то этот центр должен принадлежать серединному перпендикуляру l₁ к отрезку А₁А₂. С другой стороны, этот центр принадлежит к серединному перпендикуляру l₂, к отрезку В₁В₂. Если = 0, то это искомый центр поворота (Рис.13, а).

Случай l₁ || l₂ соответствует параллельному переносу (Рис.13, б).

Если же прямые l₁ и l₂ совпадают, то на пересечении l₁ и А₁В₁ найдется снова центр поворота (Рис.13, в). Таким образом, два равных отрезка (а, значит, и два равных треугольника) удастся совместить «за один этап» (параллельный перенос либо поворот вокруг подходящего центра). Ч.т.д.

Пример. Пусть известно, что некоторое движение сохраняет ориентацию фигур и имеет ровно одну неподвижную точку. Что можно о нем сказать? Ответ следует из теоремы Шаля: речь идет о движении первого рода, но не о параллельном переносе (у которого нет неподвижных точек) и не о тождественном преобразовании (у которого их бесконечно много). Значит, это движение – поворот.

Теорема. Всякое движение второго рода сводится к скользящему отражению.

Доказательство. Движение второго рода будет задано парой конгруэнтных

треугольников с разной ориентацией . Продемонстрируем на чертеже, как для них восстановить ось скользящего отражения (Рис.14).

Анализ. При скользящем отражении точка А₁ сначала зеркально отразится в А₃, затем перенесется параллельно оси l. Эта искомая ось рассекает пополам отрезок А₁А₂ , а также и С₁С₂ .

Построение. Ось l проведем через середины А₀ и С₀ отрезков А₁А₂ и С₁С₂ .

Построив ось скользящего отражения, мы тем самым доказали теорему.

Пример. Если некоторое движение второго рода не имеет неподвижных точек, то оно является скользящим отражением. Если же имеет хоть одну неподвижную точку, то является осевой симметрией.

Можно говорить, что мы провели полную классификацию движений. Отразим эти результаты в таблице 1, обращая особое внимание на наличие неподвижных точек отображения (это понадобится в дальнейших рассуждениях). Кроме того, бывают ситуации, когда неподвижных точек может не быть, но найдется какая-нибудь прямая, точки которой отобразились в точки этой же прямой. Такую прямую будем называть инвариантной (неизменной). Например, прямая может параллельно переноситься вдоль себя, сохраняя свое положение на плоскости. Образное сравнение: молекулы воды переместились, но русло реки сохранилось (оно инвариантно). Другой пример: при повороте на угол 180 0 вокруг своей точки прямая переходит в себя, то есть остается инвариантной.

Таблица 1 систематизирует всевозможные движения плоскости. Любое другое движение при внимательном рассмотрении совпадет с одним из указанных.

Скользящая симметрия.

Пусть f: М ® М ‘ – скользящая симметрия, заданная в прямоугольной декартовой системе координат O .

Мы выбрали прямоугольную декартову систему координат O так, чтобы прямая d была осью абсцисс. При этом

Если вектор , то неподвижных точек нет.

Скользящая симметрия будет обладать свойствами, общими для параллельного переноса и для осевой симметрии, например:

1. Неподвижных точек нет.

2. Неподвижная прямая одна, это прямая d.

3. Всякая прямая, параллельная прямой d имеет образ, параллельный d.

4. Середина О отрезка ММ ‘ принадлежит d.

Рассмотренные выше примеры показывают, что множество D всех движений плоскости не пустое. Ясно, что D является подмножеством множества всех преобразований плоскости W, где W есть группа относительно операции умножения.

Теорема 3. Множество D есть группа относительно операции умножения.

Доказательство. Нам достаточно показать, что множество D есть подгруппа относительно группы W.

1. Пусть f₁, f₂ Î D и А, В – произвольные точки плоскости.

2. Пусть f – произвольное движение. Так как f – преобразование плоскости, то для него существует обратное преобразование f –1 , причем

где е – тождественное преобразование плоскости.

Покажем, что преобразование f –1 является движением. Действительно. Если

С другой стороны

то преобразование f –1 является движением.

Теорема доказана. ▄

Определение 13. Две фигуры F и F¢ на плоскости называются конгруэнтными, если они D – эквивалентны, то есть

В дальнейшее конгруэнтные фигуры будем обозначать:

§3. Свойства движений.

Определение 14. Пусть мы имеем три различные точки А, В, С, лежащие на одной прямой. Будем говорить, что точка В лежит между точками А и С, если

В дальнейшем будем обозначать: (А С).

Как известно, точки называют коллинерными если они лежат на одной прямой.

Лемма. Для коллинеарности трех точек необходимо и достаточно, чтобы одна из них лежала между двумя другими.

Доказательство. Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то, очевидно, возможны следующие случаи взаимного расположения трех точек: (А С), (В С), (С А), (С В), (А В), (В А).

С другой стороны, если три точки Х, У, Z не лежат на одной прямой, то выполняется неравенство треугольника:

но тогда точка Y не лежит между точками Х и Z.

Свойство 1. Движение плоскости f сохраняет отношение «лежать между» для трех точек прямой.

Действительно. Пусть (А С) и f: .

Свойство 2. Движение плоскости отображает прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок.

Это свойство вытекает непосредственно из предыдущей леммы, свойства 1 и следующего задания отрезка, луча и прямой:

(A, B) = [A, B) È [B, А).

Следствие. Точки, не лежащие на одной прямой, движение отображает в точки, также не лежащие на одной прямой.

Свойство 3. Движение плоскости отображает полуплоскость в полуплоскость.

Доказательство. Пусть прямая (АВ) определяет полуплоскости a и a¢. Тогда прямая (A¢B¢) = f(AB) разбивает плоскость на две полуплоскости b и b¢. Наша задача показать, что образы любых двух точек, принадлежащих одной полуплоскости, также принадлежат одной полуплоскости и, наоборот, образы любых двух точек, не принадлежащих одной полуплоскости, также не принадлежат одной полуплоскости.

Пусть точка СÎ a¢, а точка D Îa, тогда [DС]Ç(АВ) =

и (D С). С другой стороны. Для их образов имеем

Следовательно, точки D¢ и С¢ принадлежат различным полуплоскостям b и b¢.

Если теперь предположить, что точки С и D принадлежат одной полуплоскости, например a, а их образы С¢ и D¢ принадлежат различным полуплоскостям, то в силу того, что обратное движение отобразит точки С¢ и D¢ в точки С и D, принадлежащие разным полуплоскостям, получим противоречие с условием, так как точки С и D принадлежат одной полуплоскости.

Свойство 4. Движение плоскости f отображает угол в угол.

Доказательство. Пусть мы имеем угол ÐАОВ. Тогда

Свойство 5. Движение плоскости сохраняет простое отношение трех точек прямой.

Доказательство. Пусть точка С делит отрезок [AB] в отношении l :

С другой стороны имеем

Так как движение сохраняет |l| и отношение «лежать между», то движение сохраняет простое отношение трех точек.

Доказать что скользящая симметрия имеет единственную инвариантную прямую

Пусть  — вектор пространства. Рассмотрим отображение пространства на себя, при котором образом любой точки  M  пространства является такая точка  M ′ , что вектор  ′ равен вектору : ′  = (рис. 23).

Можно доказать, что точка M имеет при данном отображении единственный образ — точку М ′ , а для точки М ′ существует единственный прообраз — точка М .

Таким образом, получаем биективное отображение пространства на себя, т. е. преобразование пространства, которое называют параллельным переносом на вектор .

Определение. Параллельным переносом на вектор называется такое преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку M ′ , что выполняется векторное равенство: ′  = .

Иногда параллельный перенос называют коротко переносом. При этом вектор называют вектором переноса. Если при переносе на вектор точка М отображается на точку M ′ , то пишут: М ′  = ( М ) или ( M )  = M ′ .

Из определения следует, что параллельный перенос задаётся либо вектором, либо парой соответствующих точек ( М, М ′ ) .

Если при переносе на вектор точка М отображается на точку M ′ , то ′  = (рис. 24). Тогда  = – . Значит, точка М ′ отображается на точку M переносом на вектор – , т. е. преобразование, обратное переносу на вектор , есть перенос на вектор – .

Перенос на нулевой вектор />является тождественным преобразованием: />( М ) = М для любой точки М пространства.

5.2. Параллельный перенос в координатах

Пусть в прямоугольной системе координат Охyz задан вектор />( a ; b ; с ) . Найдём зависимость между координатами точки М ( x ; y ; z ) и её образа M ′ ( х ′ ; y ′ ; z ′ ) при переносе на вектор />.

Так как M ′  = ( М ) , то ′  =   (рис. 25). Вектор ′ имеет координаты: ′ ( x ′ – x ; y ′ – y ; z ′ – z ). Тогда векторное равенство ′  = равносильно системе трёх равенств x ′ – х  = a, y ′ – у  = b, z ′ – z  = с, откуда

(1)

Соотношения (1) называются формулами параллельного переноса пространства на вектор ( a ; b ; c ) .

Докажем, что параллельный перенос пространства есть движение . Пусть: A ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) и C ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) — данные точки; A ′ ( ; ; ), C ′ ( ; ; ) — их образы при переносе на вектор ( a ; b ; с ). На основании (1) имеем

 = x 1  + a,  = y 1  + b,  = z 1  + c,
 = x 2  + a,  = y 2  + b,  = z 2  + c . (2)

Расстояние между точками А  и C равно

.

Найдём расстояние между точками А ′ и C ′ .

Учитывая (2), получаем

| A ′ C ′ |  = =
=  = | AC| .

Таким образом, при параллельном переносе расстояние между точками сохраняется. Значит, параллельный перенос есть движение.

5.3. Свойства параллельного переноса

Можно доказать, что параллельный перенос отображает :

— прямую на параллельную ей прямую либо на себя;

— луч на сонаправленный с ним луч;

— вектор на равный ему вектор (на себя);

— плоскость на параллельную ей плоскость либо на себя.

Докажем, например, что параллельный перенос отображает плоскость на параллельную ей плоскость или на себя.

Действительно, параллельный перенос — движение, поэтому он отображает плоскость α на некоторую плоскость α′ . Докажем, что α′  ||  α или α′ совпадает с α .

На плоскости α выберем две пересекающиеся прямые a и b ; a  ∩  b  = O.

Так как любое преобразование отображает пересечение фигур на пересечение их образов и прямые a и b пересекаются в точке O, то пересекаются и прямые a ′ и b ′ в такой точке O ′ , что O ′  = ( О ). Тогда либо плоскости α и α′ совпадают, либо по признаку параллельности плоскостей эти плоскости параллельны, что и требовалось доказать. ▼

Рассмотрим вопрос о неподвижных точках, неподвижных прямых и неподвижных плоскостях при параллельном переносе.

Неподвижных точек параллельный перенос на ненулевой вектор не имеет.

Неподвижной прямой при параллельном переносе на ненулевой вектор является любая прямая, параллельная вектору ; на каждой из этих прямых индуцируется параллельный перенос на вектор .

Неподвижной плоскостью при параллельном переносе на ненулевой вектор является любая плоскость, параллельная вектору ; на каждой из этих плоскостей индуцируется параллельный перенос на вектор .

Параллельный перенос, отображая любой вектор на себя, не меняет ориентацию пространства, следовательно, является движением первого рода.

Рассмотрим композицию двух переносов, заданных векторами и . Её обычно обозначают не   ∘  , а  + .

Пусть М — любая точка пространства. Перенос на вектор  точку М отображает на такую точку М ′ , что ′  =  (рис. 27). Последующий перенос на вектор точку М ′ отображает на такую точку M ″ , что ″  = . По правилу сложения векторов имеем ″  = ′ + ″   =   + . Это означает, что (  + )( M )  =  M ″ , т. e. перенoc на вектор (  + ) точку М отображает на точку М ″ .

Таким образом, композиция переносов на векторы и есть перенос на вектор  + .

Так как  +  =  + , то композиция переносов обладает свойством коммутативности: (  + )( M )  = (  + )( М ).

5 .4. Скользящая симметрия

Среди преобразований пространства важное место занимает «скользящая симметрия», представляющая собой композицию симметрии S α относительно плоскости α и параллельного переноса на вектор , который параллелен этой плоскости (рис. 28).

Отметим ряд характерных свойств скользящей симметрии:

— скользящая симметрия является движением (как композиция двух движений);

— скользящая симметрия не имеет неподвижных точек;

— любая прямая плоскости α , параллельная вектору переноса, является неподвижной прямой скользящей симметрии; на каждой из них индуцируется параллельный перенос;

— неподвижной плоскостью скользящей симметрии является не только плоскость симметрии α (на ней индуцируется параллельный перенос на вектор ) , а также любая плоскость, перпендикулярная плоскости α и параллельная вектору переноса (на каждой из таких плоскостей индуцируется скользящая симметрия, осью которой является прямая пересечения этой плоскости с плоскостью α , а вектором переноса — вектор );

— скользящая симметрия меняет ориентацию тетраэдра (значит, и ориентацию пространства), т. е. является движением второго рода;

— преобразованием, обратным скользящей симметрии, заданной плоскостью α и вектором />, является скользящая симметрия, заданная той же плоскостью α и вектором – />.

Попробуйте доказать самостоятельно, что композиция двух центральных симметрий есть параллельный перенос, причём Z B  ∘  Z A  = 2 . Наоборот, любой параллельный перенос может быть разложен (неоднозначно) в композицию двух центральных симметрий.

Классификация движений второго рода.

при условии, что х = х¢, y = y¢ получаем следующие уравнения для нахождения координат неподвижных точек движения второго рода:

Определитель этой системы при любом a равен нулю, и не все коэффициенты при х и у равны нулю, поэтому любое движение второго рода либо имеет прямую инвариантных точек, либо не имеет ни одной инвариантной точки. Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.

1) Движение g — имеет прямую инвариантных точек. Пусть h — какой-нибудь луч этой прямой. Т.к. h = g(h), то по лемме 2 g — либо тождественное преобразование, либо осевая симметрия. Но тождественное преобразование является движением первого рода, поэтому g — осевая симметрия.

2 ) Движение g не имеет инвариантных точек.

Выберем ортонормированный репер (О, Е₁, Е₂) так, чтобы точки О и Е₁ лежали на инвариантной прямой ℓ. Пусть О₁ = g(О), О₂ = g(О₁). Если точка О₁ имеет координаты (а, о), то О₂ имеет координаты (2а, 0). Предположим, что аналитическое выражение движения g в репере (О, Е₁, Е₂) имеет вид (2).

с₁ = а, с₂ = 0, cosa = 1, sina = 0.

Следовательно, мы имеем формулы скользящей симметрии относительно прямой ℓ. При этом, g = sf, где f – параллельный перенос на ненулевой вектор , а s – симметрия от прямой ℓ. В самом деле, преобразование S и f в репере (О, Е₁, Е₂) определяются по формулам:

поэтому отображение sf определяется формулами (3), т.е. совпадают с g. Ясно, что скользящая симметрия не имеет инвариантных точек и имеет только одну инвариантную прямую.

Итак, существуют четыре типа движений, которые представим в виде таблицы.

Название движения	Инвариант-ные точки	Инвариантные прямые
I. Движение первого рода
1. Поворот на угол a а) Поворот на угол a¹0 и a ¹ ±p	Центр поворота	Нет
б)тождественное преобразование (a = 0)	Любая точка плоскости	Любая прямая плоскости
в)центральная симметрия (a = ±p)	Центр симметрии	Любая прямая, проходящая через центр симметрии
2. Параллельный перенос на вектор а)параллельный перенос на вектор ¹ 0	Нет	Любая прямая, параллельная вектору
б)тождественное преобразование ( = )	Любая точка плоскости	Любая прямая плоскости
II. Движение второго рода.
3. Осевая симметрия	Все точки оси	Ось симметрии и любая прямая, перпендикулярная к ней.
4.Скользящая симметрия	Нет	Одна прямая

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями: