Где находится на числовой окружности точка — пи / 12?
Где находится на числовой окружности точка — пи / 12.
Находится в IV четверти.
Если нужно в градусы, чтоб легче определить было, то — π / 12 * 180° / π = — 15°.
Диаметр окружности равен 12 см?
Диаметр окружности равен 12 см.
Какое расстояние может быть от центра этой окружности до точки, чтобы эта точка находилась внутри окружности?
Найдите все числа, которым соотвествуют отмеченные на числовой окружности точки?
Найдите все числа, которым соотвествуют отмеченные на числовой окружности точки.
Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует данному числу : 3пи?
Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует данному числу : 3пи.
На числовой окружности отмечена точка соответствующая числу минус 35 пи деленное на 4?
На числовой окружности отмечена точка соответствующая числу минус 35 пи деленное на 4.
Начертите окружность с центром в точке О и радиусом 3 см 5 мм?
Начертите окружность с центром в точке О и радиусом 3 см 5 мм.
Проведите прямую, которая пересекает окружность в точках М и К.
На каком расстояние от центра окружности находятся эти точки?
Отметь красным цветом точки которые находятся на окружности с центром в точке О?
Отметь красным цветом точки которые находятся на окружности с центром в точке О.
Подскажите где на окружности находятся точки [0 ; 2pi]?
Подскажите где на окружности находятся точки [0 ; 2pi].
Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу : 7П / 2 ; — 3П / 2 ; 9П?
Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу : 7П / 2 ; — 3П / 2 ; 9П.
Отметьте в тетради точку о?
Отметьте в тетради точку о.
Постройте окружность с центром в этой точке.
Измерь радиус окружности.
Чему равен диаметр.
Объясните пожалусто как диаметр находить))).
Точка пи / 12 где находиться на тригонометрической окружности?
Точка пи / 12 где находиться на тригонометрической окружности.
На этой странице находится ответ на вопрос Где находится на числовой окружности точка — пи / 12?, из категории Математика, соответствующий программе для 10 — 11 классов. Чтобы посмотреть другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов подберите похожие вопросы и ответы в категории Математика. Ответ, полностью соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе. Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не только просмотреть, но и прокомментировать.
Как обозначать числа с пи на числовой окружности?
Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать ! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.
Обозначаем числа \(2π\), \(π\), \(\frac<π><2>\), \(-\frac<π><2>\), \(\frac<3π><2>\)
Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен \(1\). Значит, длина окружности равняется \(2π\) (вычислили по формуле \(l=2πR\)). С учетом этого отметим \(2π\) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от \(0\) по числовой окружности расстояние равно \(2π\) в положительном направлении, а так как длина окружности \(2π\), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу \(2π\) и \(0\) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.
Теперь обозначим на числовой окружности число \(π\). \(π\) – это половина от \(2π\). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от \(0\) в положительном направлении половину окружности.
Отметим точку \(\frac<π><2>\) . \(\frac<π><2>\) – это половина от \(π\), следовательно чтобы отметить это число, нужно от \(0\) пройти в положительном направлении расстояние равное половине \(π\), то есть четверть окружности.
Обозначим на окружности точки \(-\) \(\frac<π><2>\) . Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.
Нанесем \(-π\). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.
Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число \(\frac<3π><2>\) . Для этого дробь \(\frac<3><2>\) переведем в смешанный вид \(\frac<3><2>\) \(=1\) \(\frac<1><2>\) , т.е. \(\frac<3π><2>\) \(=π+\) \(\frac<π><2>\) . Значит, нужно от \(0\) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.
Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки \(-2π\),\(-\) \(\frac<3π><2>\) .
Обозначаем числа \(\frac<π><4>\), \(\frac<π><3>\), \(\frac<π><6>\)
Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями \(x\) и \(y\). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки \(\frac<π><4>\) , \(\frac<π><3>\) и \(\frac<π><6>\) .
\(\frac<π><4>\) – это половина от \(\frac<π><2>\) (то есть, \(\frac<π><4>\) \(=\) \(\frac<π><2>\) \(:2)\) , поэтому расстояние \(\frac<π><4>\) – это половина четверти окружности.
\(\frac<π><4>\) – это треть от \(π\) (иначе говоря, \(\frac<π><3>\) \(=π:3\)), поэтому расстояние \(\frac<π><3>\) – это треть от полукруга.
\(\frac<π><6>\) – это половина \(\frac<π><3>\) (ведь \(\frac<π><6>\) \(=\) \(\frac<π><3>\) \(:2\)) поэтому расстояние \(\frac<π><6>\) – это половина от расстояния \(\frac<π><3>\) .
Вот так они расположены друг относительно друга:
Замечание: Расположение точек со значением \(0\), \(\frac<π><2>\) ,\(π\), \(\frac<3π><2>\) , \(\frac<π><4>\) , \(\frac<π><3>\) , \(\frac<π><6>\) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.
Разные расстояние на окружности наглядно:
Обозначаем числа \(\frac<7π><6>\), \(-\frac<4π><3>\), \(\frac<7π><4>\)
Обозначим на окружности точку \(\frac<7π><6>\) , для этого выполним следующие преобразования: \(\frac<7π><6>\) \(=\) \(\frac<6π + π><6>\) \(=\) \(\frac<6π><6>\) \(+\) \(\frac<π><6>\) \(=π+\) \(\frac<π><6>\) . Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние \(π\), а потом еще \(\frac<π><6>\) .
Отметим на окружности точку \(-\) \(\frac<4π><3>\) . Преобразовываем: \(-\) \(\frac<4π><3>\) \(=-\) \(\frac<3π><3>\) \(-\) \(\frac<π><3>\) \(=-π-\) \(\frac<π><3>\) . Значит надо от \(0\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(π\) и еще \(\frac<π><3>\) .
Нанесем точку \(\frac<7π><4>\) , для этого преобразуем \(\frac<7π><4>\) \(=\) \(\frac<8π-π><4>\) \(=\) \(\frac<8π><4>\) \(-\) \(\frac<π><4>\) \(=2π-\) \(\frac<π><4>\) . Значит, чтобы поставить точку со значением \(\frac<7π><4>\) , надо от точки со значением \(2π\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(\frac<π><4>\) .
Обозначаем числа \(10π\), \(-3π\), \(\frac<7π><2>\) ,\(\frac<16π><3>\), \(-\frac<21π><2>\), \(-\frac<29π><6>\)
Запишем \(10π\) в виде \(5 \cdot 2π\). Вспоминаем, что \(2π\) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку \(10π\), нужно от нуля пройти расстояние равное \(5\) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке \(0\), просто сделаем пять оборотов.
Из этого примера можно сделать вывод:
Числам с разницей в \(2πn\), где \(n∈Z\) (то есть \(n\) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.
То есть, чтобы поставить число со значением больше \(2π\) (или меньше \(-2π\)), надо выделить из него целое четное количество \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».
Точке, которой соответствует \(0\), также соответствуют все четные количества \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).
Теперь нанесем на окружность \(-3π\). \(-3π=-π-2π\), значит \(-3π\) и \(–π\) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в \(-2π\)).
Кстати, там же будут находиться все нечетные \(π\).
Точке, которой соответствует \(π\), также соответствуют все нечетные количества \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).
Сейчас обозначим число \(\frac<7π><2>\) . Как обычно, преобразовываем: \(\frac<7π><2>\) \(=\) \(\frac<6π><2>\) \(+\) \(\frac<π><2>\) \(=3π+\) \(\frac<π><2>\) \(=2π+π+\) \(\frac<π><2>\) . Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа \(\frac<7π><2>\) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное \(π+\) \(\frac<π><2>\) (т.е. половину окружности и еще четверть).
Отметим \(\frac<16π><3>\) . Вновь преобразования: \(\frac<16π><3>\) \(=\) \(\frac<15π + π><3>\) \(=\) \(\frac<15π><3>\) \(+\) \(\frac<π><3>\) \(=5π+\) \(\frac<π><3>\) \(=4π+π+\) \(\frac<π><3>\) . Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное \(π+\) \(\frac<π><3>\) – и мы найдем место точки \(\frac<16π><3>\) .
Нанесем на окружность число \(-\) \(\frac<21π><2>\) .
\(-\) \(\frac<21π><2>\) \(= -\) \(\frac<20π><2>\) \(-\) \(\frac<π><2>\) \(=-10π-\) \(\frac<π><2>\) . Значит, место \(-\) \(\frac<21π><2>\) совпадает с местом числа \(-\) \(\frac<π><2>\) .
Обозначим \(-\) \(\frac<29π><6>\) .
\(-\) \(\frac<29π><6>\) \(=-\) \(\frac<30π><6>\) \(+\) \(\frac<π><6>\) \(=-5π+\) \(\frac<π><6>\) \(=-4π-π+\) \(\frac<π><6>\) . Для обозначение \(-\) \(\frac<29π><6>\) , на числовой окружности надо от точки со значением \(–π\) пройти в положительную сторону \(\frac<π><6>\) .
Пи делить на 12 где на окружности
Точка пи / 12 где находиться на тригонометрической окружности?
Математика | 10 — 11 классы
Точка пи / 12 где находиться на тригонометрической окружности.
π / 12 = 180 / 12 = 15°
пояснение на картинке.
Диаметр окружности равен 12 см?
Диаметр окружности равен 12 см.
Какое расстояние может быть от центра этой окружности до точки, чтобы эта точка находилась внутри окружности?
Число 3п \ соответствует точке тригонометрической окружности с ординатой ?
Число 3п \ соответствует точке тригонометрической окружности с ординатой ?
Начертите окружность с центром в точке О и радиусом 3 см 5 мм?
Начертите окружность с центром в точке О и радиусом 3 см 5 мм.
Проведите прямую, которая пересекает окружность в точках М и К.
На каком расстояние от центра окружности находятся эти точки?
Начерти окружность с центром О и радиус 3 см 5 мм?
Начерти окружность с центром О и радиус 3 см 5 мм.
Проведите прямую, которая пересекает окружность в точках М и К, На каком расстоянии от центра окружности находятся эти точки?
Отметь красным цветом точки которые находятся на окружности с центром в точке О?
Отметь красным цветом точки которые находятся на окружности с центром в точке О.
Подскажите где на окружности находятся точки [0 ; 2pi]?
Подскажите где на окружности находятся точки [0 ; 2pi].
Вася сказал, что окружность это геометрическая фигура все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, а Валя сказала что такая фигура — не обязательно окружность?
Вася сказал, что окружность это геометрическая фигура все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, а Валя сказала что такая фигура — не обязательно окружность.
Кто из них прав?
Где находится на числовой окружности точка — пи / 12?
Где находится на числовой окружности точка — пи / 12.
Отметьте в тетради точку о?
Отметьте в тетради точку о.
Постройте окружность с центром в этой точке.
Измерь радиус окружности.
Чему равен диаметр.
Объясните пожалусто как диаметр находить))).
Нарисуй две окружности радиусом 3 см, чтобы они пересекались?
Нарисуй две окружности радиусом 3 см, чтобы они пересекались.
Отметь точки, которые принадлежат обеим окружностям.
Отметь точку, которая находится внутри обеих окружностей.
Сколько таких точек?
На этой странице сайта размещен вопрос Точка пи / 12 где находиться на тригонометрической окружности? из категории Математика с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 10 — 11 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.
За первый час : 4 целых 3 / 4 = 19 / 4 км за 2 часа путь = 19 / 4 + 7 / 8 = 38 / 8 + 7 / 8 = 45 / 8 км = 6 целых 5 / 8 км.
1. НОД(1170 ; 660) = 3 2. НОК(1170 ; 660) = 2 во 2 степени умножить на 3 во второй степени умножить на 5 * 13 * 53 = 124020 3. НОД(665 ; 228) = .
2, 4 × 2500000 = 6000000 см = 60 км 1 км = 100000 см.
6 + 8 + 10 = 24см периметр треугольника24 : 4 = 6см 1 сторона квадрата6 * 6 = 36см площадь квадрата.
Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.
Вот что мы видим на этом рисунке:
А теперь подробно о тригонометрическом круге:
Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.
Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.
Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.
Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .
Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .
Всё это легко увидеть на нашем рисунке.
Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :
Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:
Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).
Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.
Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.
Легко заметить, что
Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:
где — целое число. То же самое можно записать в радианах:
Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,
Деление круга на равные части
Статья содержит два калькулятора, рассчитывающие параметры деления круга на равные по площади части радиусами и параллельными хордами
Ниже представлены два калькулятора, рассчитывающие параметры разделения круга на равные части. Сначала — традиционный калькулятор, который делит круг на равные части радиусами (примерно так, как режут пиццу или торт), под ним — нетрадиционный калькулятор, который делит круг на равные по площади части параллельными хордами. Оба калькулятора визуализируют результат рисунком. Методы расчета с формулами для обоих калькуляторов приведены ниже, под калькуляторами.
Деление круга на равные по площади части радиусами
Деление круга на равные по площади части параллельными хордами
Деление круга на равные части радиусами
Традиционный и очень простой метод деления круга — по факту, нарезка равных секторов. Метод и формулы очень просты:
- Определяем угловой размер каждого сектора в радианах, путем деления 360 градусов на нужное число секторов.
- Определяем размер дуги сектора, перемножая радиус на угол в радианах
- Определяем размер хорды по теореме косинусов (хорда является основанием равнобедренного треугольника с боковыми сторонами R и противолежащим углом альфа.
Собственно и всё — мы получили все характеристики для N равных секторов
Деление круга на равные части параллельными хордами
Этот способ более любопытен, чем предыдущий. Для простоты будем рассматривать верхнюю половину круга, так как с нижней все будет симметрично.
Задача состоит в определении x-вой координаты точек, через которые нужно проводить хорды (на рисунке это точки x1 и x2). Выведем для начала формулу площади куска, отсекаемого хордой слева.
Верхнюю полуокружность можно представить графиком функции y=f(x), где x — это координата вдоль оси абсцисс, а y — это функция, численно равная y координате соответствующей точки верхней полуокружности.
По теореме Пифагора получаем следующую функцию
Чтобы получить площадь фигуры, отсекаемой хордой слева, надо проинтегрировать эту функцию от -R до x. Первообразная функции равна:
Осталось определиться с константой. Нам надо, чтобы в точке с координатами -R площадь была равна нулю. Подставив -R вместо x в формулу выше, получаем
Итак, полное выражение
Теперь рассмотрим нахождение координат крайней левой точки. Нам известна площадь, которую она должна отсечь (напоминаю, речь идет о полуокружности)
Таким образом мы можем приравнять
Что дает нам такое финальное уравнение
Данное уравнение является трансцендентным, а поэтому находить координату первой точки придется численным методом, например, методом бисекции или методом Ньютона. Калькулятор использует метод Ньютона.
Вторая и последующие точки находится аналогично, путем изменения размера отсекаемой площади. Для второй точки это будет , для третьей и так далее.
Зная координаты точек, несложно рассчитать все остальные параметры, в частности, длину хорды.
Пи делить на 12 где на окружности
Где находится на числовой окружности точка — пи / 12?
Где находится на числовой окружности точка — пи / 12.
Находится в IV четверти.
Если нужно в градусы, чтоб легче определить было, то — π / 12 * 180° / π = — 15°.
Диаметр окружности равен 12 см?
Диаметр окружности равен 12 см.
Какое расстояние может быть от центра этой окружности до точки, чтобы эта точка находилась внутри окружности?
Найдите все числа, которым соотвествуют отмеченные на числовой окружности точки?
Найдите все числа, которым соотвествуют отмеченные на числовой окружности точки.
Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует данному числу : 3пи?
Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует данному числу : 3пи.
На числовой окружности отмечена точка соответствующая числу минус 35 пи деленное на 4?
На числовой окружности отмечена точка соответствующая числу минус 35 пи деленное на 4.
Начертите окружность с центром в точке О и радиусом 3 см 5 мм?
Начертите окружность с центром в точке О и радиусом 3 см 5 мм.
Проведите прямую, которая пересекает окружность в точках М и К.
На каком расстояние от центра окружности находятся эти точки?
Отметь красным цветом точки которые находятся на окружности с центром в точке О?
Отметь красным цветом точки которые находятся на окружности с центром в точке О.
Подскажите где на окружности находятся точки [0 ; 2pi]?
Подскажите где на окружности находятся точки [0 ; 2pi].
Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу : 7П / 2 ; — 3П / 2 ; 9П?
Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу : 7П / 2 ; — 3П / 2 ; 9П.
Отметьте в тетради точку о?
Отметьте в тетради точку о.
Постройте окружность с центром в этой точке.
Измерь радиус окружности.
Чему равен диаметр.
Объясните пожалусто как диаметр находить))).
Точка пи / 12 где находиться на тригонометрической окружности?
Точка пи / 12 где находиться на тригонометрической окружности.
На этой странице находится ответ на вопрос Где находится на числовой окружности точка — пи / 12?, из категории Математика, соответствующий программе для 10 — 11 классов. Чтобы посмотреть другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов подберите похожие вопросы и ответы в категории Математика. Ответ, полностью соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе. Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не только просмотреть, но и прокомментировать.
Пи делить на 12 на окружности
Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать ! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.
Обозначаем числа \(2π\), \(π\), \(\frac \), \(-\frac \), \(\frac \)
Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен \(1\). Значит, длина окружности равняется \(2π\) (вычислили по формуле \(l=2πR\)). С учетом этого отметим \(2π\) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от \(0\) по числовой окружности расстояние равно \(2π\) в положительном направлении, а так как длина окружности \(2π\), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу \(2π\) и \(0\) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.
Теперь обозначим на числовой окружности число \(π\). \(π\) – это половина от \(2π\). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от \(0\) в положительном направлении половину окружности.
Отметим точку \(\frac \) . \(\frac \) – это половина от \(π\), следовательно чтобы отметить это число, нужно от \(0\) пройти в положительном направлении расстояние равное половине \(π\), то есть четверть окружности.
Обозначим на окружности точки \(-\) \(\frac \) . Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.
Нанесем \(-π\). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.
Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число \(\frac \) . Для этого дробь \(\frac \) переведем в смешанный вид \(\frac \) \(=1\) \(\frac \) , т.е. \(\frac \) \(=π+\) \(\frac \) . Значит, нужно от \(0\) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.
Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки \(-2π\),\(-\) \(\frac \) .
Обозначаем числа \(\frac \), \(\frac \), \(\frac \)
Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями \(x\) и \(y\). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки \(\frac \) , \(\frac \) и \(\frac \) .
\(\frac \) – это половина от \(\frac \) (то есть, \(\frac \) \(=\) \(\frac \) \(:2)\) , поэтому расстояние \(\frac \) – это половина четверти окружности.
\(\frac \) – это треть от \(π\) (иначе говоря, \(\frac \) \(=π:3\)), поэтому расстояние \(\frac \) – это треть от полукруга.
\(\frac \) – это половина \(\frac \) (ведь \(\frac \) \(=\) \(\frac \) \(:2\)) поэтому расстояние \(\frac \) – это половина от расстояния \(\frac \) .
Вот так они расположены друг относительно друга:
Замечание: Расположение точек со значением \(0\), \(\frac \) ,\(π\), \(\frac \) , \(\frac \) , \(\frac \) , \(\frac \) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.
Разные расстояние на окружности наглядно:
Обозначаем числа \(\frac \), \(-\frac \), \(\frac \)
Обозначим на окружности точку \(\frac \) , для этого выполним следующие преобразования: \(\frac \) \(=\) \(\frac \) \(=\) \(\frac \) \(+\) \(\frac \) \(=π+\) \(\frac \) . Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние \(π\), а потом еще \(\frac \) .
Отметим на окружности точку \(-\) \(\frac \) . Преобразовываем: \(-\) \(\frac \) \(=-\) \(\frac \) \(-\) \(\frac \) \(=-π-\) \(\frac \) . Значит надо от \(0\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(π\) и еще \(\frac \) .
Нанесем точку \(\frac \) , для этого преобразуем \(\frac \) \(=\) \(\frac \) \(=\) \(\frac \) \(-\) \(\frac \) \(=2π-\) \(\frac \) . Значит, чтобы поставить точку со значением \(\frac \) , надо от точки со значением \(2π\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(\frac \) .
Обозначаем числа \(10π\), \(-3π\), \(\frac \) ,\(\frac \), \(-\frac \), \(-\frac \)
Запишем \(10π\) в виде \(5 \cdot 2π\). Вспоминаем, что \(2π\) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку \(10π\), нужно от нуля пройти расстояние равное \(5\) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке \(0\), просто сделаем пять оборотов.
Из этого примера можно сделать вывод:
Числам с разницей в \(2πn\), где \(n∈Z\) (то есть \(n\) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.
То есть, чтобы поставить число со значением больше \(2π\) (или меньше \(-2π\)), надо выделить из него целое четное количество \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».
Точке, которой соответствует \(0\), также соответствуют все четные количества \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).
Теперь нанесем на окружность \(-3π\). \(-3π=-π-2π\), значит \(-3π\) и \(–π\) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в \(-2π\)).
Кстати, там же будут находиться все нечетные \(π\).
Точке, которой соответствует \(π\), также соответствуют все нечетные количества \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).
Сейчас обозначим число \(\frac \) . Как обычно, преобразовываем: \(\frac \) \(=\) \(\frac \) \(+\) \(\frac \) \(=3π+\) \(\frac \) \(=2π+π+\) \(\frac \) . Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа \(\frac \) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное \(π+\) \(\frac \) (т.е. половину окружности и еще четверть).
Отметим \(\frac \) . Вновь преобразования: \(\frac \) \(=\) \(\frac \) \(=\) \(\frac \) \(+\) \(\frac \) \(=5π+\) \(\frac \) \(=4π+π+\) \(\frac \) . Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное \(π+\) \(\frac \) – и мы найдем место точки \(\frac \) .
Нанесем на окружность число \(-\) \(\frac \) .
\(-\) \(\frac \) \(= -\) \(\frac \) \(-\) \(\frac \) \(=-10π-\) \(\frac \) . Значит, место \(-\) \(\frac \) совпадает с местом числа \(-\) \(\frac \) .
Обозначим \(-\) \(\frac \) .
\(-\) \(\frac \) \(=-\) \(\frac \) \(+\) \(\frac \) \(=-5π+\) \(\frac \) \(=-4π-π+\) \(\frac \) . Для обозначение \(-\) \(\frac \) , на числовой окружности надо от точки со значением \(–π\) пройти в положительную сторону \(\frac \) .
Точка пи / 12 где находиться на тригонометрической окружности?
Математика | 10 — 11 классы
Точка пи / 12 где находиться на тригонометрической окружности.
π / 12 = 180 / 12 = 15°
пояснение на картинке.
Диаметр окружности равен 12 см?
Диаметр окружности равен 12 см.
Какое расстояние может быть от центра этой окружности до точки, чтобы эта точка находилась внутри окружности?
Число 3п \ соответствует точке тригонометрической окружности с ординатой ?
Число 3п \ соответствует точке тригонометрической окружности с ординатой ?
Начертите окружность с центром в точке О и радиусом 3 см 5 мм?
Начертите окружность с центром в точке О и радиусом 3 см 5 мм.
Проведите прямую, которая пересекает окружность в точках М и К.
На каком расстояние от центра окружности находятся эти точки?
Начерти окружность с центром О и радиус 3 см 5 мм?
Начерти окружность с центром О и радиус 3 см 5 мм.
Проведите прямую, которая пересекает окружность в точках М и К, На каком расстоянии от центра окружности находятся эти точки?
Отметь красным цветом точки которые находятся на окружности с центром в точке О?
Отметь красным цветом точки которые находятся на окружности с центром в точке О.
Подскажите где на окружности находятся точки [0 ; 2pi]?
Подскажите где на окружности находятся точки [0 ; 2pi].
Вася сказал, что окружность это геометрическая фигура все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, а Валя сказала что такая фигура — не обязательно окружность?
Вася сказал, что окружность это геометрическая фигура все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, а Валя сказала что такая фигура — не обязательно окружность.
Кто из них прав?
Где находится на числовой окружности точка — пи / 12?
Где находится на числовой окружности точка — пи / 12.
Отметьте в тетради точку о?
Отметьте в тетради точку о.
Постройте окружность с центром в этой точке.
Измерь радиус окружности.
Чему равен диаметр.
Объясните пожалусто как диаметр находить))).
Нарисуй две окружности радиусом 3 см, чтобы они пересекались?
Нарисуй две окружности радиусом 3 см, чтобы они пересекались.
Отметь точки, которые принадлежат обеим окружностям.
Отметь точку, которая находится внутри обеих окружностей.
Сколько таких точек?
На этой странице сайта размещен вопрос Точка пи / 12 где находиться на тригонометрической окружности? из категории Математика с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 10 — 11 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.
56•60 = 3360 секунд 56 я умножаю на 60 секунд вот тебе ответ 3360.
(1 00 + 80 : 5) : 2 = 58 ((100 — 80) * 5) : 2 = 50.
Делители числа 12 это числа : 12, 6, 4, 3, 2, 1. Эти точки и нужно изобразить на координатном луче.
Единичная окружность
О чем эта статья:
10 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Единичная окружность в тригонометрии
Все процессы тригонометрии изучают на единичной окружности. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение.
Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице.
Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.
Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.
Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.
Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией.
В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности.
Угол поворота — это угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA.
Величины углов поворота не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании. Вот и все объяснение полезности единичной тригонометрической окружности.
Все углы, которые принадлежат одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:
- Если угол находится в первом квадранте, все тригонометрические функции имеют положительные значения.
- Для угла во втором квадранте все функции, за исключением sin и cos, отрицательны.
- В третьем квадранте значения всех функций, кроме tg и ctg, меньше нуля.
- В четвертом квадранте все функции, за исключением cos и sec, имеют отрицательные значения.
Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так:
Радиан — одна из мер для определения величины угла.
Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса.
Число радиан для полной окружности — 360 градусов.
Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза.
Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.
Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:
- 2π радиан = 360°
- 1 радиан = (360/2π) градусов
- 1 радиан = (180/π) градусов
- 360° = 2π радиан
- 1° = (2π/360) радиан
- 1° = (π/180) радиан
Кстати, определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии дается через координаты точек на единичной окружности. Эти определения дают возможность раскрыть свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Уравнение единичной окружности
При помощи этого уравнения, вместе с определениями синуса и косинуса, можно записать основное тригонометрическое тождество:
Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Деление круга на равные части
Статья содержит два калькулятора, рассчитывающие параметры деления круга на равные по площади части радиусами и параллельными хордами
Ниже представлены два калькулятора, рассчитывающие параметры разделения круга на равные части. Сначала — традиционный калькулятор, который делит круг на равные части радиусами (примерно так, как режут пиццу или торт), под ним — нетрадиционный калькулятор, который делит круг на равные по площади части параллельными хордами. Оба калькулятора визуализируют результат рисунком. Методы расчета с формулами для обоих калькуляторов приведены ниже, под калькуляторами.
Деление круга на равные по площади части радиусами
Деление круга на равные по площади части параллельными хордами
Деление круга на равные части радиусами
Традиционный и очень простой метод деления круга — по факту, нарезка равных секторов. Метод и формулы очень просты:
- Определяем угловой размер каждого сектора в радианах, путем деления 360 градусов на нужное число секторов.
- Определяем размер дуги сектора, перемножая радиус на угол в радианах
- Определяем размер хорды по теореме косинусов (хорда является основанием равнобедренного треугольника с боковыми сторонами R и противолежащим углом альфа.
Собственно и всё — мы получили все характеристики для N равных секторов
Деление круга на равные части параллельными хордами
Этот способ более любопытен, чем предыдущий. Для простоты будем рассматривать верхнюю половину круга, так как с нижней все будет симметрично.
Задача состоит в определении x-вой координаты точек, через которые нужно проводить хорды (на рисунке это точки x1 и x2). Выведем для начала формулу площади куска, отсекаемого хордой слева.
Верхнюю полуокружность можно представить графиком функции y=f(x), где x — это координата вдоль оси абсцисс, а y — это функция, численно равная y координате соответствующей точки верхней полуокружности.
По теореме Пифагора получаем следующую функцию
Чтобы получить площадь фигуры, отсекаемой хордой слева, надо проинтегрировать эту функцию от -R до x. Первообразная функции равна:
Осталось определиться с константой. Нам надо, чтобы в точке с координатами -R площадь была равна нулю. Подставив -R вместо x в формулу выше, получаем
Итак, полное выражение
Теперь рассмотрим нахождение координат крайней левой точки. Нам известна площадь, которую она должна отсечь (напоминаю, речь идет о полуокружности)
Таким образом мы можем приравнять
Что дает нам такое финальное уравнение
Данное уравнение является трансцендентным, а поэтому находить координату первой точки придется численным методом, например, методом бисекции или методом Ньютона. Калькулятор использует метод Ньютона.
Вторая и последующие точки находится аналогично, путем изменения размера отсекаемой площади. Для второй точки это будет , для третьей и так далее.
Зная координаты точек, несложно рассчитать все остальные параметры, в частности, длину хорды.
Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.
Вот что мы видим на этом рисунке:
А теперь подробно о тригонометрическом круге:
Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.
Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.
Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.
Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .
Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .
Всё это легко увидеть на нашем рисунке.
Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :
Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:
Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).
Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.
Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.
Легко заметить, что
Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:
где — целое число. То же самое можно записать в радианах:
Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,
Как обозначать числа с пи на числовой окружности?
Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать ! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.
Обозначаем числа \(2π\), \(π\), \(\frac \), \(-\frac \), \(\frac \)
Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен \(1\). Значит, длина окружности равняется \(2π\) (вычислили по формуле \(l=2πR\)). С учетом этого отметим \(2π\) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от \(0\) по числовой окружности расстояние равно \(2π\) в положительном направлении, а так как длина окружности \(2π\), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу \(2π\) и \(0\) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.
Теперь обозначим на числовой окружности число \(π\). \(π\) – это половина от \(2π\). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от \(0\) в положительном направлении половину окружности.
Отметим точку \(\frac \) . \(\frac \) – это половина от \(π\), следовательно чтобы отметить это число, нужно от \(0\) пройти в положительном направлении расстояние равное половине \(π\), то есть четверть окружности.
Обозначим на окружности точки \(-\) \(\frac \) . Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.
Нанесем \(-π\). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.
Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число \(\frac \) . Для этого дробь \(\frac \) переведем в смешанный вид \(\frac \) \(=1\) \(\frac \) , т.е. \(\frac \) \(=π+\) \(\frac \) . Значит, нужно от \(0\) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.
Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки \(-2π\),\(-\) \(\frac \) .
Обозначаем числа \(\frac \), \(\frac \), \(\frac \)
Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями \(x\) и \(y\). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки \(\frac \) , \(\frac \) и \(\frac \) .
\(\frac \) – это половина от \(\frac \) (то есть, \(\frac \) \(=\) \(\frac \) \(:2)\) , поэтому расстояние \(\frac \) – это половина четверти окружности.
\(\frac \) – это треть от \(π\) (иначе говоря, \(\frac \) \(=π:3\)), поэтому расстояние \(\frac \) – это треть от полукруга.
\(\frac \) – это половина \(\frac \) (ведь \(\frac \) \(=\) \(\frac \) \(:2\)) поэтому расстояние \(\frac \) – это половина от расстояния \(\frac \) .
Вот так они расположены друг относительно друга:
Замечание: Расположение точек со значением \(0\), \(\frac \) ,\(π\), \(\frac \) , \(\frac \) , \(\frac \) , \(\frac \) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.
Разные расстояние на окружности наглядно:
Обозначаем числа \(\frac \), \(-\frac \), \(\frac \)
Обозначим на окружности точку \(\frac \) , для этого выполним следующие преобразования: \(\frac \) \(=\) \(\frac \) \(=\) \(\frac \) \(+\) \(\frac \) \(=π+\) \(\frac \) . Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние \(π\), а потом еще \(\frac \) .
Отметим на окружности точку \(-\) \(\frac \) . Преобразовываем: \(-\) \(\frac \) \(=-\) \(\frac \) \(-\) \(\frac \) \(=-π-\) \(\frac \) . Значит надо от \(0\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(π\) и еще \(\frac \) .
Нанесем точку \(\frac \) , для этого преобразуем \(\frac \) \(=\) \(\frac \) \(=\) \(\frac \) \(-\) \(\frac \) \(=2π-\) \(\frac \) . Значит, чтобы поставить точку со значением \(\frac \) , надо от точки со значением \(2π\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(\frac \) .
Обозначаем числа \(10π\), \(-3π\), \(\frac \) ,\(\frac \), \(-\frac \), \(-\frac \)
Запишем \(10π\) в виде \(5 \cdot 2π\). Вспоминаем, что \(2π\) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку \(10π\), нужно от нуля пройти расстояние равное \(5\) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке \(0\), просто сделаем пять оборотов.
Из этого примера можно сделать вывод:
Числам с разницей в \(2πn\), где \(n∈Z\) (то есть \(n\) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.
То есть, чтобы поставить число со значением больше \(2π\) (или меньше \(-2π\)), надо выделить из него целое четное количество \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».
Точке, которой соответствует \(0\), также соответствуют все четные количества \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).
Теперь нанесем на окружность \(-3π\). \(-3π=-π-2π\), значит \(-3π\) и \(–π\) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в \(-2π\)).
Кстати, там же будут находиться все нечетные \(π\).
Точке, которой соответствует \(π\), также соответствуют все нечетные количества \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).
Сейчас обозначим число \(\frac \) . Как обычно, преобразовываем: \(\frac \) \(=\) \(\frac \) \(+\) \(\frac \) \(=3π+\) \(\frac \) \(=2π+π+\) \(\frac \) . Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа \(\frac \) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное \(π+\) \(\frac \) (т.е. половину окружности и еще четверть).
Отметим \(\frac \) . Вновь преобразования: \(\frac \) \(=\) \(\frac \) \(=\) \(\frac \) \(+\) \(\frac \) \(=5π+\) \(\frac \) \(=4π+π+\) \(\frac \) . Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное \(π+\) \(\frac \) – и мы найдем место точки \(\frac \) .
Нанесем на окружность число \(-\) \(\frac \) .
\(-\) \(\frac \) \(= -\) \(\frac \) \(-\) \(\frac \) \(=-10π-\) \(\frac \) . Значит, место \(-\) \(\frac \) совпадает с местом числа \(-\) \(\frac \) .
Обозначим \(-\) \(\frac \) .
\(-\) \(\frac \) \(=-\) \(\frac \) \(+\) \(\frac \) \(=-5π+\) \(\frac \) \(=-4π-π+\) \(\frac \) . Для обозначение \(-\) \(\frac \) , на числовой окружности надо от точки со значением \(–π\) пройти в положительную сторону \(\frac \) .
Единичная числовая окружность на координатной плоскости
Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., — спроектирован с использованием тригонометрии.
Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.
Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.
п.2. Числовая окружность
Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.
 |
Числовая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0). Точка с координатами (1;0) является началом отсчета , ей соответствует угол, равный 0. Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным ; по часовой стрелке – отрицательным . |
| Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90°, –120°, –180°. |  |
п.3. Градусная и радианная мера угла
Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).
В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.
 |
Найдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°. Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr. Длина дуги AB: \(l_=\frac =\frac =\frac .\) Тогда радианная мера угла: $$ \angle AOB=\frac =\frac =\frac $$ |
| 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 270° | 360° |
| \(\frac \) | \(\frac \) | \(\frac \) | \(\frac \) | \(\frac \) | \(\frac \) | \(\frac \) | \(\pi\) | \(\frac \) | \(2\pi\) |
п.4. Свойства точки на числовой окружности
Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)
 |
Каждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t). При t=0, M(0)=A. При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу ⌒ AM=t. Точка M — искомая. При t<0 двигаемся по окружности по часовой стрелке, описывая дугу ⌒ AM=t. Точка M — искомая. |
| Отметим на числовой окружности точки, соответствующие \(\frac ,\ \frac ,\ \frac ,\ \frac ,\ \pi\), а также \(-\frac ,\ -\frac ,\ -\frac ,\ -\frac ,\ -\pi\) Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности. |
 |
| Отметим на числовой окружности точки, соответствующие \(\frac ,\ \frac ,\ \frac \), и \(-\frac \). Все четыре точки совпадают, т.к. \begin M\left(\frac \right)=M\left(\frac +2\pi k\right)\\ \frac -2\pi=-\frac \\ \frac +2\pi=\frac \\ \frac +4\pi=\frac \end п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружностиКаждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.
п.6. ПримерыПример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: \begin BE=30^ =\frac .\\ EC=60^ =\frac .\\ AE=EC+CD=90^ +30^ =120^ =\frac .\\ ED=EC+CD=60^ +90^ =150^ =\frac . \end Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: \(-\frac ;\ \frac ;\ \frac ;\ \frac \). Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: \(-\frac ;\ 5\pi;\ \frac ;\ \frac \). Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.
\(\frac\pi2\lt 2\lt \pi \Rightarrow \) угол 2 радиана находится во 2-й четверти Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек \((k\in\mathbb )\), запишите количество полученных базовых точек.
Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам. | ||||||||||||||||||||||||
