Что такое числовой ряд в информатике

автор: admin
04.08.2023

Числовой ряд

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Рассматриваются числовые ряды двух видов

вещественные числовые ряды — изучаются в математическом анализе;
комплексные числовые ряды — изучаются в комплексном анализе;

Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.

Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.

Содержание

Определение

Пусть $\<a_i\>_<i=1>^<\infty>» width=»» height=»» /> — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность</p><div class='code-block code-block-1' style='margin: 8px 0; clear: both;'>  <script src=$

$\<s_k\>_<k=1>^<\infty>,» width=»» height=»» /></p> <p>каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности. В наиболее простом случае используются обычные частичные суммы вида</p> <p><img decoding=$

поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.

В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:

числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм;
числовой ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм:
числовой ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.

Если числовой ряд сходится, то предел последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:

$S=\sum_<i=1>^<\infty>a_i,» width=»» height=»» /></p> <h3>Операции над рядами</h3> <p>Пусть заданы сходящиеся ряды <img decoding=$

Их произведением по Коши называется ряд $\sum c_n$ , где $c_n = \sum_<k=0>^n a_k b_<n-k>» width=»» height=»» /></li> </ul> <p>Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится, если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.</p> <h3>Критерий абсолютной сходимости</h3> <p>Ряд <img decoding=$ сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся оба положительных ряда $\,b_k$ и $\,c_k.$ Где $\,a_k = b_k - c_k, \left|a_k\right| = b_k + c_k, b_k \geqslant 0, c_k \geqslant 0, \forall k.$

Доказательство. Если сходится $\sum \left|a_k\right|,$ то по признаку сравнения тем более сходятся $\,b_k$ и $\,c_k.$ Наоборот, если сходятся $\,b_k$ и $\,c_k,$ то сходится и их сумма $\sum \left|a_k\right|.$

См. также

Литература

В. А. Зорич Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I. — М .: Наука, 1981. — С. 104—114. — 544 с.

Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.

Ряды и последовательности

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Числовой ряд» в других словарях:

ряд — а (с числительными: два, три, четыре ряда), предл. в ряде и в ряду; мн. ряды; м. 1. предл.: в ряду. Совокупность однородных предметов, расположенных друг за другом, в одну линию. Ровный ряд зубов. Светящиеся ряды окошек. Сажать свёклу рядами.… … Энциклопедический словарь

РЯД (в математике) — РЯД, бесконечный ряд, выражение члены которого a1, a2. an. числа (числовой ряд) или функции (функциональный ряд). Если сумма первых n членов ряда (частная сумма): Sn= a1+ a2+ . + an при неограниченном возрастании n стремится к… … Энциклопедический словарь

РЯД — бесконечный ряд, выражение члены которого a1, a2. an. числа (числовой ряд) или функции (функциональный ряд). Если сумма первых n членов ряда (частная сумма): Sn= a1+ a2+ . + an при неограниченном возрастании n стремится к определенному… … Большой Энциклопедический словарь

РЯД — последовательность элементов (или чисел), соединённых знаками сложения, вычитания, или сложения и вычитания (знакопеременный ряд). Каждый элемент называется членом ряда. Различают Р.: числовые, степенные, тригонометрические, функциональные и др.… … Большая политехническая энциклопедия

РЯД — б е с к о н е ч н а я с у м м а, последовательность элементов (наз. ч л е н а м и д а н н о г о р я д а) нек рого линейного топологич. пространства и определенное бесконечное множество их конечных сумм (наз. ч а с т и ч н ы м и с у м м а м и р я… … Математическая энциклопедия

Ряд Фурье — Добавление членов ряда Фурье … Википедия

Числовой луч — Числовой луч луч, на котором точками обозначены натуральные числа. Расстояние между точками равно единице измерения (единичный отрезок), которая задаётся условно. Каждой точке ставится в соответствие число, начиная с числа 1. Началу луча… … Википедия

Ряд (математич.) — Ряд, бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +. + un +. или, короче, . (1) Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 + q + q 2 +. + q… … Большая советская энциклопедия

Ряд — I бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +. + un +. или, короче, Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей… … Большая советская энциклопедия

Фурье ряд — Ряд Фурье представление произвольной функции f с периодом τ в виде ряда Этот ряд может быть также переписан в виде . где Ak амплитуда k го гармонического колебания (функции cos), кру … Википедия

Числовые ряды

В программировании очень часто встречаются задачи на числовые ряды. Именно для решения подобного рода задач обычно используются рассмотренные здесь инструкции цикла. Числовой ряд — это последовательность чисел, зависящих от своих номеров. Определение этой зависимости является одной из целей данного класса задач. Если закономерность найдена, то можно, задав номер ряда, определить его значение.

Например, дан ряд 2, 4, 8, 16, 32, … .

Нетрудно определить, что значение элемента ряда с номером nравняется 2 n .

Кроме значения элемента ряда в задачах подобного типа часто требуется определить:

значение текущего элемента ряда;

значение предыдущего элемента ряда;

сумму элементов ряда;

количество элементов ряда.

В конкретной задаче на числовой ряд обычно задается условие прекращения суммирования элементов ряда, например:

значение текущего элемента ряда меньше (больше) заданного числа;

сумма элементов ряда больше заданного числа;

разность между текущим и предыдущим элементами ряда больше (меньше) заданного числа;

номер элемента ряда больше заданного числа.

При решении задач на числовые ряды рекомендуется соблюдать следующую последовательность:

1. Назначение нумерации элементов ряда. Для этого на основании анализа зависимости изменения знака и значения элемента ряда от его номера следует определить, с какого элемента начинать нумерацию. Например, в случае ряданумерацию следует начинать с первого элемента, тогда. Для ряданумерацию удобнее начинать со второго элемента ряда.

Если выбрана нумерация ряда не с первого элемента, то это необходимо учитывать при выводе информации.

2. Ряды могут быть также знакопеременными, то есть элемент ряда может быть как положительным, так и отрицательным числом. Например, . Очень часто знак элемента ряда удобно задавать через функцию mod (вычисление остатка от деления — %). В приведенном выше примере знакопеременного ряда видна следующая закономерность изменения знака: приn mod 3 = 1 (то есть если номер элемента дает при делении на 3 остаток 1) знак элемента положительный, иначе — отрицательный.

3. В результате анализа элементов ряда определяется формула для нахождения текущего элемента ряда. Этот этап является наиболее сложным.

Можно сформулировать основные принципы нахождения закономерности:

если элемент ряда представляет собой простую дробь, то сразу можно записать , гдеa— числитель,z— знаменатель;

если элемент ряда c,aилиzизменяется медленно, то это означает, что в соответствующем выражении нужно применить сложение;

если элемент ряда c,aилиzизменяется быстро, то это означает, что в соответствующем выражении следует применить либо умножение, либо возведение в степень (или то и другое).

Часто помогает разложение на множители.

Иногда в рядах применяется факториал. Например, , то есть. Такой функции в языке Паскаль нет, поэтому формулу для вычисления факториала придется писать самому.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ

Создание массива элементов числовой последовательности

При решении некоторых задач возникает необходимость использовать последовательности. Различают два вида последовательностей — числовые и функциональные.

Числовые последовательности представляют собой множества чисел. Если каждому числу п из натурального ряда чисел 1, 2, 3, . п поставлено в соответствие вещественное число х_п, то множество чисел х₍, х₂, х₃, . х_п называют числовой последовательностью. Числа х_и х₂, х₃, . х_п называют, членами последовательности, элемент х_п — общим элементом, а число п — его номером. Таким образом, числовая последовательность представляет собой множество пронумерованных элементов.

Говорят, что последовательность задана, если известен способ получения любого ее элемента.

Последовательность обозначается символом <г_п>. Например, символ <1/я>обозначает последовательность чисел

Создание числовых последовательностей

в табличном процессоре

В общем случае для создания массива элементов последовательности в табличном процессоре нужно выполнить следующие действия:

— создать массив, содержащий множество чисел натурального ряда. Каждый элемент этого массива является номером элемента создаваемой числовой последовательности;
— ввести в ячейку формулу последовательности, делая в ней адресные ссылки на ячейки, содержащие номера элементов последовательности;
— скопировать введенную формулу во все другие ячейки диапазона, в котором формируется числовая последовательность.

Для иллюстрации приведенной технологии на рис. 4.1а приведен пример создания последовательности <1 /п), а на рис. 4.1б — последовательности <п/(п +1)> для семи элементов.

Для создания наиболее часто встречающихся последовательностей, таких как арифметическая или геометрическая прогрессия, табличный процессор имеет специальный инструмент Прогрессия, который включается командой меню Правка/Заполнить/Прогрессия. Для создания последовательности с помощью этого инструмента нужно:

— ввести значение первого элемента прогрессии в ячейку рабочего листа;

Рис. 4.1. Примеры создания числовых последовательностей: а) <1/и>; б) <»/(«+1)>

— выделить диапазон ячеек для членов прогрессии;
— выполнить команду меню Правка/Заполнить/Прогрессия;
— в появившемся окне диалога Прогрессия указать тип и параметры создаваемой последовательности (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Диалоговое окно Прогрессия

Создание числовой последовательности в Matlab

Для создания числовых последовательностей в системе Matlab предназначена функция linspace. Функция linspace формирует линейный массив равноотстоящих узлов. Эта функция имеет две формы, синтаксис которых имеет вид:

linspace(a,b) — возвращает линейный массив из 100 точек, равномерно распределенных между а и Ь;

linspace(a,b,n) — генерирует п точек, равномерно распределенных в интервале от а до Ь.

В таблице 4.4 приведены примеры создания числовых последовательностей с использованием функции linspace.

Примеры создания числовых последовательностей в Matlab

Натуральный ряд чисел

Р — linspace( 1,10,10)

Р — linspace( 1,10,10); S — linspace(l,l,10); С — S./P

С — 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000

Р — linspace( 1,10,10); S — linspace(2,l 1,10); С — S./P

С — 2.0000 1.5000 1.3333 1.2500 1.2000 1.1667 1.1429 1.1250 1.1111 1.1000

Руководство по вычислению числовых рядов на C++

Числовой ряд — это бесконечная сумма чисел. Вычисление числовых рядов имеет множество практических применений в физике, математике, финансах и других отраслях. Одним из наиболее распространенных способов вычисления числовых рядов является использование языка программирования C++.

Основы

Для вычисления числовых рядов в C++ можно использовать циклы for, while или do-while. Рассмотрим, например, вычисление суммы первых n членов ряда:

В данном примере вычисляется ряд Лейбница для числа Пи. Переменная pi инициализируется нулем, затем в цикле вычисляются первые n членов ряда и добавляются к pi. Результат выводится на экран.

Примеры

Ряд Фибоначчи

Ряд Фибоначчи — это числовой ряд, в котором каждый следующий член равен сумме двух предыдущих членов. Вычисление ряда Фибоначчи в C++ можно выполнить с помощью цикла for следующим образом:

Данный пример вычисляет первые 10 членов ряда Фибоначчи и выводит их на экран.

Ряд хаоса

Ряд хаоса — это числовой ряд, который генерируется при помощи преобразования Хенон-Хейзиса. Его можно вычислить следующим образом:

В данном примере вычисляются первые n членов ряда хаоса с заданными параметрами a и b. Значения переменных x и y обновляются на каждой итерации цикла, а результат выводится на экран.

Заключение

Вычисление числовых рядов в C++ является мощным инструментом, который может быть использован во многих областях. Оно может быть выполнено с помощью циклов for, while или do-while. Примеры выше демонстрируют, как применять эти конструкции для вычисления рядов Фибоначчи и хаоса.