Как определить является ли функция линейной

Как определить является ли функция линейной?

Линейную функцию всегда можно определить по степени переменной.

В линейной функции переменная х будет всегда в первой степени.

График линейной функции — прямая.

Уравнение линейной функции у=kх+b, где k-коэффициент, определяющий угол наклона прямой к оси OX.

k и b — некоторые числа, x — переменная.

График линейной функции, описываемый уравнением у=kх+b, всегда будет пересекаться с осью OY в точке с координатами (0;b)

Если угловые коэффициенты k двух прямых совпадают, то эти прямые пройдут параллельно.

Если угловые коэффициенты двух прямых разные, то эти прямые обязательно будут иметь точку пересечения.

Линейная функция — определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим уравнение с двумя неизвестными

где и —заданные числа. Этому уравнению удовлетворяет бесконечное множество пар чисел и .

удовлетворяют следующие пары:

Для того чтобы найти пару чисел, удовлетворяющих уравнению , нужно придать произвольное числовое значение и подставить в уравнение , тогда получит определенное числовое значение. Например, если . Очевидно, что пара чисел и удовлетворяет уравнению. Так же и в случае уравнения (1) можно придать произвольное числовое значение и получить для соответствующее числовое значение.

Так как в данном уравнении alt=»Линейная функция — определение и вычисление с примерами решения» />может принимать любое числовое значение, то его называют переменной величиной. Поскольку выбор этого числового значения ничем не ограничен, то alt=»Линейная функция — определение и вычисление с примерами решения» />называют независимой переменной величиной или аргументом.

Для получаются также различные значения, но уже в зависимости от выбранного значения ; поэтому называют зависимым переменным или функцией.

Функцию , определяемую уравнением (1), называют линейной функцией.

Пример:

Вычислить значения линейной функции, определяемой уравнением , при следующих значениях независимого переменного: .

Решение:

Если ; если ; если .

Покажем, что если принять пару чисел и , удовлетворяющих уравнению (1), за абсциссу и ординату точки, то геометрическим местом этих точек будет прямая линия (рис. 14).

В самом деле, рассмотрим точку и точки и , координаты которых удовлетворяют уравнению (1), т. е. . Обозначим проекции точек , и на ось через , и , тогда , Проведем из точки прямую, параллельную оси . При этом получим

Предположим, что точки и , не лежат на родной прямой. Соединяя точку с точками , и , получим два прямоугольных треугольника и , из которых имеем:

Но так как и удовлетворяют уравнению (1), то

Выражения и являются отношениями противоположных катетов к прилежащим для углов и . Следовательно, и — а поэтому и так как углы острые. Это значит, что точки и лежат на одной прямой. Но мы предположили, что эти точки не лежат на одной прямой. Таким образом, мы пришли к противоречию, а это и доказывает, что точки и лежат на одной прямой. Обозначим угол через . Этот угол образован прямой с положительным направлением оси .

Так как и — произвольные точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), то можно сделать следующее заключение: любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (1), лежит на прямой, отсекающей на оси отрезок и образующей с положительным направлением оси угол такой, что .

Число называется начальной ординатой, число — угловым коэффициентом прямой.

Предыдущие рассуждения позволяют сделать вывод: линейная функция определяет на плоскости прямую, у которой начальная ордината равна , а угловой коэффициент .

Например, линейная функция определяет на координатной плоскости прямую, отсекающую на оси отрезок —4 и наклоненную к оси под углом в 60°, так как .

Если имеем определенную прямую, отсекающую на оси отрезок и наклоненную к оси под углом тангенс которого равен , то, взяв произвольную абсциссу, найдем на указанной прямой только одну точку, имеющую эту абсциссу, т. е. по заданному найдется только одна точка, а следовательно, и одно значение .

Очевидно, имеет место и такое предложение: Всякой прямой, отсекающей на оси отрезок и наклоненной к оси под углом, тангенс которого равен числу , соответствует линейная функция .

Координаты любой, точки, лежащей на указанной прямой, удовлетворяют уравнению (1), поэтому уравнение называют уравнением прямой.

Таким образом, всякая линейная функция является уравнением некоторой прямой.

Отметим частные случаи.

1. Пусть , т. е. линейная функция определяется уравнением

Прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат. Здесь пропорционален , т. е. если увеличить (уменьшить) в несколько раз, то и увеличится (уменьшится) во столько же раз.

2. Пусть , т. е. , откуда . Линейная функция определяется уравнением

Этому уравнению соответствует прямая, параллельная оси и отстоящая от нее на расстояние .

На основании всего сказанного в этом параграфе легко решаются следующие задачи.

Пример:

Даны точки и . Нужно узнать, лежат ли эти точки на прямой, уравнение которой имеет вид

Решение:

Если точка лежит на прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Поэтому для решения задачи подставим координаты точки в уравнение, получим . Это тождество, следовательно, точка лежит на прямой. Подставляя координаты точки , получаем . Отсюда видно, что точка не лежит на прямой.

Пример:

Построить прямую, уравнение которой

Решение:

Чтобы построить прямую, надо знать, например, две ее точки. Поэтому дадим произвольное значение, например , и найдем из уравнения значение . Значит, точка лежит на прямой. Это первая точка. Теперь дадим какое-нибудь другое значение, например , и вычислим у из уравнения . Получим. Точка лежит на прямой. Это вторая точка. Строим точки и (рис. 15) и проводим через них прямую, это и есть искомая прямая.

Основное свойство линейной функции

Рассмотрим линейную функцию . Найдем значение этой функции при :

Здесь первое и второе значения различны, они отличаются друг от друга на величину Величину разности , на которую изменяется при переходе от к , назовем приращением независимого переменного . Эту величину часто будем обозначать через , так что . Найдем, насколько изменилось значение при изменении , на . Для этого вычтем из значение :

т. е. приращение линейной функции пропорционально приращению независимого переменного.

Это и есть основное свойство линейной функции.

Заметим, что , может быть больше, а может быть и меньше, чем . Поэтому может быть как положительным, так и отрицательным числом, иначе говоря, приращение независимого переменного может быть любого знака. То же самое относится и к приращению функции, т. е. к величине.

Пример:

Найдем приращение функции , если приращение независимого переменного .

Решение:

По основному свойству . Приращение этой же функции , если , будет равно . В этом случае приращения независимого переменного и функции отрицательны, т. е. в этом случае и независимое переменное и функция не увеличиваются, а уменьшаются.

Пример:

Найдем приращение функции при изменении на . Решение:

Задачи на прямую

Пример:

Найти угол между двумя прямыми, заданными уравнениями

Решение:

При пересечении прямых образуются четыре попарно равных угла. Найдя один из них, легко найти и другие. На рис. 16 прямые обозначены соответственно (1) и (2).

Угол является внешним по отношению к треугольнику , поэтому он равен сумме двух внутренних углов треугольника, с ним не смежных, т. е. откуда Но углы и , непосредственно неизвестны, а известны их тангенсы. Поэтому напишем

Пример:

Найти угол между прямыми, заданными уравнениями . Здесь ;

Решение:

Применяя формулу (1), получим:

Если же будем считать, что то

Получены два ответа: сначала найден острый угол между заданными прямыми, а затем — тупой.

Если заданы две параллельные прямые, то углы и , равны, как соответственные, следовательно, тангенсы их тоже равны

Таким образом, мы приходим к выводу: если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.

Если прямые перпендикулярны, то угол между ними равен 90°, т. е. . Но тангенс прямого угла не существует, поэтому формула (1) не должна давать ответа, а это может быть только в том случае, когда знаменатель равен нулю (на нуль делить нельзя):

Это и есть условие перпендикулярности двух прямых. Это условие удобно запомнить в следующей формулировке: если две прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Пример:

Найдем угол между прямыми, заданными уравнениями Здесь угловые коэффициенты (первый равен 3, а второй ) обратны по величине и противоположны по знаку.

Решение:

Следовательно, рассматриваемые прямые перпендикулярны.

Пример:

Даны две точки: , где , (т. е. эти точки не лежат на одной прямой, параллельной оси ). Написать уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение:

Искомая прямая не параллельна оси , поэтому ее уравнение можно написать в виде . Значит, для решения задачи надо определить числа и . Так как прямая проходит через точки , и , то координаты этих точек должны удовлетворять уравнению , т. е.

В уравнениях и все числа, кроме и , известны, поэтому эти уравнения можно рассматривать как систему уравнений относительно и .

Решая систему, находим:

Подставляя найденные выражения в уравнение , получим

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки, не расположенные на прямой, параллельной оси . Полученному уравнению можно придать форму, удобную для запоминания, а именно:

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через данную точку и образующей с осью угол .

Решение:

Прежде всего найдем угловой коэффициент искомой прямой: он равен тангенсу угла . Обозначим . Значит, уравнение прямой можно написать в виде , где пока число неизвестно.

Так как прямая должна проходить через точку , то координаты точки удовлетворяют этому уравнению, т. е.

Находим отсюда неизвестное , получим . Подставляя найденное в уравнение , будем иметь

Это и есть уравнение прямой, проходящей через точку в заданном направлении.

Если в уравнении (4) менять направление, не меняя точку , то получим уравнение всех прямых, проходящих через заданную точку. Уравнение , в котором переменное, а и не меняются, называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку .

Пример:

Напишем уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с осью угол 45°.

Решение:

Так как , то угловой коэффициент равен 1; . Уравнение прямой запишется в виде

Общее уравнение прямой. Неявная линейная функция

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными

Решим его относительно :

т. е. мы получили линейную функцию, где ,

Уравнения (1) и (2) равносильны, поэтому пара чисел и , удовлетворяющих уравнению (2), будет удовлетворять и уравнению (1). Так как уравнению (2) соответствует некоторая прямая, то эта же прямая будет соответствовать и уравнению (1).

Координаты любой точки, лежащей на этой прямой, удовлетворяют уравнению (1), поэтому будем называть его также уравнением прямой. Рассмотрим особо случай, когда , так как на нуль делить нельзя. Уравнение (1) примет вид или , откуда . Поэтому, каков бы ни был всегда равен . Это имеет место для прямой, параллельной оси ; в самом деле, на ней можно найти точку с любой ординатой, но все точки этой прямой имеют одну и ту же абсциссу. Таким образом, любому уравнению первой степени соответствует некоторая прямая. Придавая в уравнении (1) коэффициентам А, В и С различные значения, можно получить любое уравнение первой степени. Поэтому уравнение (1) называют общим уравнением прямой.

Из уравнения (1) (если ) можно определить , т. е. получить линейную функцию; поэтому говорят, что уравнение (1) определяет неявно линейную функцию или что уравнение (1) есть неявная линейная функция.

Система двух уравнений первой степени

Напомним, что две прямые, расположенные на плоскости, могут или пересекаться, или быть параллельными (т. е. не пересекаться), или сливаться (в этом случае можно сказать, что они пересекаются в каждой своей точке). Рассмотрим систему двух уравнений

Каждое из этих уравнений является уравнением прямой. Решить систему — это значит найти значения и , которые удовлетворяют и первому и второму уравнениям. Но так как и определяют точку, то следовательно, решить систему—это значит найти точку, лежащую и на первой и на второй прямых, т. е. найти точку пересечения прямых.

Пример:

Найдем точку пересечения двух прямых:

Решение:

Решая эту систему, получим: т. е. прямые пересекаются в точке (1, 2) (рис. 17).

Пример:

Найдем точку пересечения двух прямых:

Решение:

Решая эту систему, получим: Последнее равенство нелепо, значит, прямые не пересекаются, т. е. они параллельны.

Пример:

Найдем точку пересечения данных прямых

Решение:

Решая эту систему, получим:

Полученное равенство всегда справедливо, т. е. справедливо при любом значении . Это значит, что две прямые пересекаются в каждой своей точке, что может быть только тогда, когда они сливаются.

Заметим, что два уравнения, рассматриваемые в этом примере, являются равносильными, поэтому они и представляют одну и ту же прямую.

Примеры применения линейной функции

Линейная функция встречается в формулировках многих физических законов и технических задач. Приведем примеры.

Пример:

Если точка движется равномерно по прямой, то ее расстояние от выбранной точки (от начала координат) выражается при помощи уравнения , где — начальное расстояние, —скорость, — время; это, как мы уже знаем, есть линейная функция.

Пример:

Закон Ома записывается в виде , где — напряжение, — сопротивление и —ток. Если не изменяется, то является линейной функцией тока .

Пример:

Если стоимость провоза единицы товара по железной дороге равна руб. за километр, то стоимость провоза единиц товара на км равна

Если же стоимость товара на месте равна руб., то после перевозки за него надо заплатить

Здесь — линейная функция .

Линейная функция встречается в различных областях, но, где бы она ни встречалась, ее всегда можно рассматривать как уравнение прямой. Этим обстоятельством часто пользуются при решении задач.

Пример:

Два города А и В, расстояние между которыми равно 300 км, находятся на одной железнодорожной магистрали. На этой же магистрали между городами А к В надо выбрать пункт С, в котором предполагается устроить склад нефти для снабжения указанных городов. Надо выбрать пункт С так, чтобы общая стоимость перевозок нефти для снабжения города А и города В была наименьшей. Известно, что город А потребляет 400 т нефти, а город В —200 т. Перевозка одной тонны нефти на один километр обходится в руб.

Решение:

Обозначим расстояние от А до предполагаемого пункта С через . Тогда расстояние от города В до С равно 300 — . Стоимость перевозки одной тонны нефти из С в А равна руб., а перевозки 400 т—400 руб. Аналогично перевозка нефти из С в В будет стоить руб. Стоимость всех перевозок, которую обозначим через , будет выражаться так:

Это линейная функция. Если примем за абсциссу, а за ординату точки, то полученная линейная функция опредеяет уравнение некоторой прямой. Угловой коэффициент ее равен , т. е. положителен, следовательно, эта прямая образует с осью острый угол и поэтому с увеличением независимого переменного поднимается вверх. По смыслу задачи величина заключена между 0 и 300, т. е. . При величина у принимает значение 60000а, а при — значение 120000а. Ясно, что 60 000а есть наименьшее из возможных значений, 120 000а— наибольшее.

Так как пункт С надо выбрать так, чтобы стоимость была наименьшей, то его следует расположить в городе А; если же этого сделать нельзя по каким-либо соображениям, то, чем ближе расположить его к А, тем выгодней.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

График линейной функции, его свойства и формулы

Ножки стула похожи на параллельные прямые на графике, а линии паутины — на перекрещенные. Эти ассоциации пригодятся нам, чтобы разобраться с линейной функцией. Поехали!

· Обновлено 28 октября 2022

Понятие функции

Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.

Понятие линейной функции

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;

если х = 2, то у = -1;

если х = 4, то у = 0 и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

х	0	2	4
y	-2	-1	0

Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.

Функция	Коэффициент k	Коэффициент b
y = 2x + 8	k = 2	b = 8
y = −x + 3	k = −1	b = 3
y = 1/8x − 1	k = 1/8	b = −1
y = 0,2x	k = 0,2	b = 0

Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;

b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;

b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;

b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.

Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.

График функции пересекает оси координат:

ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);

ось ординат OY — в точке (0; b).

x = −b/k — является нулем функции.

Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.

Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.

Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k < 0.

При k > 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).

При k < 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−b/k; +∞) и положительные значения на промежутке (−∞; −b/k).

Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением OX. Поэтому k называют угловым коэффициентом.

Если k > 0, то этот угол острый, если k < 0 — тупой, если k = 0, то прямая совпадает с осью OX.

Есть два частных случая линейной функции:

Если b = 0, то уравнение примет вид y = kx. Такая функция называется прямой пропорциональностью. График — прямая, которая проходит через начало координат.

• Если k = 0, то уравнение примет вид y = b. График — прямая, которая параллельна оси OX и проходит через точку (0; b).

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;

если k < 0, то график наклонен влево.

Коэффициент b отвечает за сдвиг графика вдоль оси OY:

если b > 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;

если b < 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вниз вдоль оси OY.

Начертим три графика функции:

y = 2x + 3;

y = 1/2x + 3;

y = x + 3.

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь рассмотрим графики функций:

y = −2x + 3;

y = −1/2x + 3;

y = −x + 3.

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Рассмотрим графики функций:

y = 2x + 3;

y = 2x;

y = 2x − 2.

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

график функции y = 2x + 3 (b = 3) пересекает ось OY в точке (0; 3);

график функции y = 2x (b = 0) пересекает ось OY в точке начала координат (0; 0);

график функции y = 2x — 2 (b = -2) пересекает ось OY в точке (0; -2).

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k < 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

Если k > 0 и b < 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

Если k < 0 и b < 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

Если k = 0, то функция y = kx + b преобразуется в функцию y = b. В этом случае ординаты всех точек графика функции равны b. А график выглядит так:

Если b = 0, то график функции y = kx проходит через начало координат. Так выглядит график прямой пропорциональности:

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ параллелен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ перпендикулярен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁k₂ = −1 или k₁ = −1/k₂.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Математика

Движение с постоянной скоростью (или равномерное движение) по определению – это движение, при котором с изменением времени на одну и ту же величину, пройденный путь также изменяется одинаково (Рис. 1).

Рис. 1. График изменения пути при равномерном движении

Такие функции, как , у которых одинаковые изменения аргумента приводят к одинаковым изменениям значения функции (Рис. 2), называются линейными функциями.

Рис. 2. Одинаковые изменения аргумента приводят к одинаковым изменениям значениям функции

Правильнее было бы называть их прямолинейными (потому что их графиками являются прямые, о чём мы поговорим чуть позже), но прижилось именно такое сокращенное название.

Примеры линейных функций в жизни

Линейную функцию (или линейную зависимость) мы часто используем в жизни. Например, если из книги, в которой 50 страниц, мы за день прочитали 10 страниц, то можно сделать предположение, что всю книгу мы прочитаем за 5 дней (Рис. 3).

Рис. 3. Пример линейной зависимости в жизни

Или если мы идем в школу и прошли третью часть пути за 5 минут, то предполагаем, что на оставшийся путь потратим 10 минут.

Конечно, вряд ли мы будем успевать читать каждый день одно и то же количество страниц или будем идти в школу, не меняя свою среднюю скорость движения. Но для оценки значения некоторых величин, как видим, линейная функция является удобным инструментом.

Различные классы функций

Чтобы изучать какие-то объекты, их часто разбивают на группы, которые чем-то похожи. Например, разных живых организмов очень много, поэтому, чтобы их изучать, их делят на царства (животные, растения и т.д.), которые в свою очередь также делятся на более мелкие группы.

Различных функций очень много, поэтому для изучения их разбивают на разные классы. Как в жизни, мы объединяем объекты в одну группу по некоторым общим признакам (например, в супермаркете – хлебобулочные изделия, бакалея, соки-воды и т.д.), так и классы функций объединяют функции одного вида.

Линейные функции – один из этих классов (Рис. 4). Все остальные функции – нелинейные и их гораздо больше: реальные процессы описываются, в основном нелинейными функциями (Рис. 5).

Рис. 4. Линейные функции

Рис. 5. Нелинейные функции

Но, во-первых, линейные функции мы умеем изучать и описывать, а во-вторых, многие нелинейные функции в малых областях можно рассматривать как линейные (Рис. 6).

Рис. 6. Приближение нелинейных функций линейными

Значит, линейные функции можно использовать как удобный инструмент для изучения других функций.

Конечно, линейные функции – не единственный класс функций, который мы умеем и будем изучать. Ещё будут квадратичные функции, показательные, обратная пропорциональность и т.д. Но о них поговорим позже.

Аналитическое задание линейной функции и ее характеристическое свойство

Итак, линейные функции часто встречаются и их можно изучать. Поэтому на этом уроке мы и займемся этим классом функций.

Аналитически линейная функция задается формулой , где и – произвольные заданные числа, – угловой коэффициент, – свободный коэффициент (свободен от ).

Ее характеристическое свойство (т.е. свойство, которым обладают только линейные функции, ее эквивалентное определение) состоит в том, что при изменении аргумента на одну и ту же величину значение функции так же изменяется на одну и ту же величину.

Только для линейных функций совершенно неважно, изменился на от до или от до и т.д. – тоже изменится одинаково (Рис. 7).

Рис. 7. Эквивалентное определение линейной функции

Например, растём мы нелинейно (с до лет и с до изменение роста сильно отличается), бегаем – тоже (бежать первый километр значительно легче, чем, например, пятый) и т.д.

Линейное уравнение с двумя переменными

Рассмотрим линейное уравнение .

Мы уже умеем его решать – для этого перенесем число из левой части в правую, затем разделим на коэффициент при переменной:

Рассмотрим похожее уравнение . Его решение будет практически таким же:

Обобщим рассмотренные уравнения и напишем в правой части число , решение от этого не изменится:

Когда меняется значение , меняется и значение . Если мы не знаем значение , то тогда в уравнении две неизвестных: и .

Уравнение вида называют линейным уравнением с двумя переменными, где – переменные, – произвольные числа.

Перепишем уравнение следующим образом: .

Если , то на него мы можем разделить обе части уравнения: .

Перепишем так, чтобы один член был с переменной , а второй – без:

Тогда .

Т.е. линейное уравнение с двумя переменными задает линейную функцию.

Рассмотрим отдельно случай, когда :

При мы получим . Или просто .

Такое уравнение тоже задает прямую (только вертикальную), но линейной функцией не является, т.к. одному значению () соответствует бесконечное множество значений (Рис. 1).

Рис. 1. Одному значению соответствует бесконечное множество значений

Построение графика линейной функции

Чтобы охарактеризовать поведение функции, обычно строят ее график.

Пример 1. Построить график функции .

Решение:

Найдем несколько значений при различных значениях .

Теперь возьмем пары и отметим их в декартовой системе координат (Рис. 8).

Рис. 8. Построение графика линейной функции

Соединим отмеченные точки линией (Рис. 9).

Рис. 9. Построение графика линейной функции

Похоже, что все точки лежат на одной прямой. И на самом деле графиком любой линейной функции является прямая.

Полученная прямая и есть график линейной функции .

На уроках геометрии мы уже обсуждали, что через две точки можно провести только однупрямую. Поэтому, если мы найдем две точки, которые принадлежат графику линейной функции (т.е. прямой), мы сможем его построить. Вывод: для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек, которые ей принадлежат (найти значения при любых двух значениях ).

Интерполяция и аппроксимация

При проведении различных исследований возникает такая задача: по некоторым известным значениям функции попытаться восстановить саму функцию (график или формулу) (Рис. 1). Если мы знаем, что функция линейная, то достаточно двух значений (прямая однозначно задаётся двумя точками).

Рис. 1. Восстановление функции по некоторым известным значениям функции

Например, сила растяжения пружины зависит от растяжения пружины по закону Гука (Рис. 2).

Достаточно измерить силу для двух различных значений растяжения пружины, чтобы найти жёсткость пружины (коэффициент ) и восстановить функцию (Рис. 3).

Рис. 2. Закон Гука

Рис. 3. Нахождение жёсткости пружины при помощи закона Гука

Но можно ли попытаться восстановить функцию, не зная, какой вид она имеет? (Рис. 4).

Рис. 4. Восстановление функции, вид которой заранее неизвестен

Такая задача называется аппроксимацией – на основании экспериментального набора значений функции в нескольких точках построить функцию, на которую с высокой точностью попадут получаемые в ходе эксперимента значения (как те, что у нас уже есть, так и остальные, которые можно получить).

Если мы хотим, чтобы построенной функции точно принадлежали все имеющиеся значения функции, то этот частный случай аппроксимации называется интерполяцией.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации (т.е. приближении) какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. (Рис. 5).

Рис. 5. Приближение сложной функции к более простой

Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но для некоторых задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Подробнее почитать об интерполяции и аппроксимации можно в Интернете.

Пример 2. Построить график функции .

Решение:

Возьмем два произвольных значения переменной , например, 0 и 4.

Двух точек нам достаточно, чтобы построить прямую. Поэтому возьмем полученные пары , отметим их в декартовой системе координат и соединим их линией (Рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к примеру 2

Частные случаи линейных функций

Отдельно рассматривают два частных случая линейной функции :

1. ,
2. .

Если , то функцию называют прямой пропорциональностью. Ее график всегда проходит через начало координат. Например, (Рис. 11).

Рис. 11. Графики прямой пропорциональности

О втором типе линейных функций мы поговорим чуть позже.

Угловой коэффициент

Название углового коэффициента неслучайно: в зависимости от его значений будет изменяться угол наклона прямой по отношению к положительному направлению оси абсцисс.

1. – угол наклона острый.

Рассмотрим на примере функции (Рис. 12).

Рис. 12. Угловой коэффициент

2. – угол наклона тупой.

Рассмотрим на примере функции (Рис. 13).

Рис. 13. Угловой коэффициент

3. – прямая параллельная оси абсцисс.

Рассмотрим на примере функции (Рис. 14).

Рис. 14. Угловой коэффициент

Теперь посмотрим, какое значение будет принимать функция , когда :

Мы получили, что графику прямой принадлежит точка , это его точка пересечения с осью ординат (Рис. 15).

Рис. 15. Значение линейной функции при

Параллельность и пересечение прямых

Мы знаем, что на плоскости две прямые могут или пересекаться, или быть параллельными. Зададим условия, при которых графики двух линейных функций будут параллельны.

Прямые и будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты: . Например, ; ; (Рис. 16).

Рис. 16. Параллельные прямые

Доказательство

Пусть у нас есть две различных прямых, у которых равны угловые коэффициенты (Рис. 1).

Рис. 1. Прямые с одинаковыми угловыми коэффициентами

Докажем, что эти прямые параллельны, методом от противного.

Пусть они непараллельны, т.е. пересекаются, тогда существует точка с абсциссой , в которой их значение совпадает (Рис. 2).

Рис. 2. Предположение, что прямые пересекаются в точке

Перепишем в эквивалентном виде: .

Тогда , т.е. прямые совпадают. Получили противоречие, т.к. заданы разные прямые. Значит, наше предположение неверно, прямые не пересекаются, т.е. они параллельны.

Прямые и пересекаются тогда, когда их угловые коэффициенты не равны: . Например, , (Рис. 17).

Рис. 17. Пересекающиеся прямые

Перпендикулярность

Для пересекающихся прямых можно выделить особый случай, когда при пересечении получаются равные углы (прямые), т.е. прямые перпендикулярны (Рис. 1).

Рис. 1. Перпендикулярные прямые

Прямые и перпендикулярны, когда выполнено .

Пример 1

Графики этих функций действительно перпендикулярны (Рис. 2).

Рис. 2. Пример перпендикулярных прямых

Заключение

На этом уроке мы познакомились с линейной функцией (функцией, у которой при одинаковом изменении аргумента одинаково меняется значение самой функции).

Аналитически такие функции задаются уравнением , где – произвольные числа, – угловой коэффициент, – свободный коэффициент.

Ее график – прямая. Чтобы его построить, достаточно найти две точки, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент – за точку пересечения графика функции с осью ординат.

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны () и пересекаются, если .

Список рекомендованной литературы

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. ФГОС, издательство «Просвещение», 2017.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2014.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2013.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
2. Интернет-портал youclever.org (Источник)
3. Интернет-портал tofmal.ru (Источник)

Домашнее задание

1. Линейная функция задана формулой . Найти значение , соответствующее . При каком значении значение равно ?
2. Построить график функции, заданной уравнением: .
3. У ученика было рублей. На эти деньги он купил марок по рублей. После покупки у него осталось рублей. Задать формулой зависимость от . Является ли эта зависимость линейной?