Как найти площадь параллелограмма построенного на векторах

Легче всего запомнить эту формулу записав в форме определителя:

$[ab] = \begin <|ccc|>i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end$.

Эта формула весьма удобна для использования, но чтобы понимать, как её использовать, для начала следует ознакомиться с темой матриц и их определителей.

Это соотношение совсем несложно вывести.

Вспомним формулу для нахождения площади обычного параллелограмма, который можно охарактеризовать образующими его отрезками $a$ и $b$:

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

Даны векторы $\vec$ c координатами $\<5;3; 7\>$ и вектор $\vec$ с координатами $\<3; 7;10 \>$ в декартовой системе координат. Найти, чему равна площадь параллелограмма, образованного $\vec$ и $\vec$.

Решение:

Отыщем векторное произведение для этих векторов:

$[c \times g] = \begin <|ccc|>i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end= i \cdot \begin <|cc|>3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \end — j \cdot \begin <|cc|>5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \end + k \cdot \begin <|cc|>5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end = i \cdot (3 \cdot 10 – 49) – j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\<- 19; 29; 26\>$.

Теперь найдём модульное значение для полученного направленного отрезка, оно и является значением площади построенного параллелограмма:

Данный ход рассуждений справедлив не только для нахождения площади в 3-хмерном пространстве, но и для двухмерного. Познакомьтесь со следующей задачкой на эту тему.

Вычислить площадь параллелограмма, если его образующие отрезки задаются векторами $\vec$ с координатами $\<2; 3\>$ и $\vec$ с координатами $\<-5; 6\>$.

Решение:

Эта задача представляет собой частный пример задачки 1, решённой выше, но при этом оба вектора лежат в одной плоскости, а это значит, что третью координату, $z$, можно принять за нуль.

Подведём итоги по всему вышесказанному, площадь параллелограмма составит:

$S = \begin <||cc||>2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end = \sqrt <12 + 15>=3 \sqrt3$.

Упростим согласно приведённой таблице для единичных векторов:

Рисунок 1. Разложение вектора по базису. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Предыдущие задачи были о векторах, координаты которых заданы в декартовой системе координат, но рассмотрим также случай, если угол между базисными векторами отличается от $90°$:

Решение:

Вычислим векторное произведение $\vec \times \vec$:

$[\vec \times \vec ]= (2a + 3b) \times ( a – 4b) = 2 [a \times a] – 8 [a \times b] + 3 [b \times a] – 12 [b \times b]$.

Для векторных произведений согласно их свойствам справедливо следующее: $[a \times a]$ и $[b \times b]$ равны нулю, $[b \times a] = — [a \times b]$.

Используем это для упрощения:

$[\vec \times \vec ]= -8[a \times b] + 3 [b \times a] = -8[a \times b] — 3[a \times b] =-11[a \times b]$.

Теперь воспользуемся формулой $(1)$ :

$[\vec \times \vec ] = |-11 [a \times b]| = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5,5$.

Онлайн калькулятор. Площадь параллелограмма, построенного на векторах

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти площадь параллелограмма, построенного на векторах.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление площади параллелограмма, построенного на векторах и закрепить пройденный материал.

Калькулятор для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах

Выберите каким образом задается параллелограмм:

Введите значения векторов: Введите координаты трех любых вершин параллелограмма:

Инструкция использования калькулятора для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах

• выберите каким образом задается параллелограмм;
• введите имеющиеся данные;
• Нажмите кнопку «Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах» и вы получите детальное решение задачи.

Ввод данных в калькулятор для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Теория. Площадь параллелограмма построенного на векторах.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Площадь параллелограмма через векторы формула

Математика вокруг нас везде: мы не замечаем, как она сохраняет нашу жизнь в режиме работоспособности. В одной из ее областей — геометрии — применение векторов играет важную роль. Давайте рассмотрим один из методов расчета площади параллелограмма через векторы.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны. Существует несколько способов вычисления его площади, но один из наиболее удобных основан на применении векторов. Для этого нужно знать координаты двух векторов, которые образуют параллелограмм.

Формула для вычисления площади параллелограмма через векторы звучит так: площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения данных векторов. Эта формула позволяет избежать многих вычислительных сложностей и существенно упростить задачу. Преимущество такого подхода заключается в том, что он позволяет использовать готовый арсенал векторной алгебры и обходиться минимальным количеством дополнительных вычислений.

Определение понятий

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны между собой.

Вектор – это математический объект, который характеризует направление, длину и смещение в пространстве.

Скалярное произведение векторов – это операция умножения двух векторов, результатом которой является число.

Векторное произведение векторов – это операция умножения двух векторов, результатом которой является вектор, перпендикулярный обоим входящим векторам.

Нормальный вектор – это вектор, перпендикулярный заданной плоскости или поверхности.

Площадь параллелограмма – это мера плоской фигуры, образованной двумя векторами, выходящими из одной точки. Площадь параллелограмма определяется через длины векторов и синус угла между ними.

Вычисление площади параллелограмма через векторы

Параллелограмм – это фигура, у которой противоположные стороны параллельны друг другу и равны по длине. Площадь параллелограмма можно вычислить через векторы, которые задают его стороны.

Для вычисления площади параллелограмма через векторы нужно взять векторное произведение двух его сторон. Модуль этого произведения равен площади параллелограмма.

Пусть даны два вектора a и b, которые задают параллелограмм. Тогда формула для вычисления его площади будет выглядеть следующим образом:

Где |a × b| – модуль векторного произведения векторов a и b.

Важно отметить, что векторное произведение направлено перпендикулярно обоим векторам a и b, поэтому площадь параллелограмма будет положительной, даже если вектора задают его косые стороны.

Таким образом, формула для вычисления площади параллелограмма через векторы является удобным способом решения геометрических задач, связанных с этой фигурой.

Примеры решения задач

Рассмотрим пример вычисления площади параллелограмма через векторы. Допустим, даны два вектора: a = (2, 3) и b = (-1, 4).

1) Найдем векторное произведение векторов a и b: a × b = (2·4 — 3·(-1)) = 11.

2) Рассчитаем длины векторов a и b: |a| = √(2²+3²) ≈ 3.606 и |b| = √((-1)²+4²) ≈ 4.123.

3) По формуле площади параллелограмма через векторное произведение и длины векторов, получим: S = |a × b| = 11 / 2 ≈ 5.5.

Значит, площадь этого параллелограмма составляет примерно 5.5 квадратных единиц.

В другой задаче даны три точки: A(1, 2), B(4, 6) и C(3, 3). Необходимо найти площадь параллелограмма, образованного векторами AB и AC.

1) Найдем векторы AB и AC: AB = (4-1, 6-2) = (3, 4) и AC = (3-1, 3-2) = (2, 1).

2) Вычислим векторное произведение векторов AB и AC: AB × AC = (3·1 — 4·2) = -5.

3) Найдем длины векторов AB и AC: |AB| = √(3²+4²) ≈ 5 и |AC| = √(2²+1²) ≈ 2.236.

4) По формуле площади параллелограмма через векторное произведение и длины векторов, получим: S = |AB × AC| = 5.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах

Чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на векторах нужно вычислить модуль векторного произведения этих векторов.

Примеры решений

Вычисляем векторное произведение векторов:

Выполняем поэлементное перемножение каждого из слагаемых:

$$ = 2[\overline

,\overline

] — [\overline

,\overline] + 6 [\overline,\overline

] — 3[\overline, \overline] = $$

Учитывая свойства векторного произведения, такие как $ [\overline

,\overline

]=0, [\overline,\overline]=0 $, $ [\overline,\overline

]=-[\overline

,\overline] $ выполняем упрощение последнего полученного выражения:

$$ = 2 \cdot 0 — [\overline

,\overline] — 6 [\overline

,\overline] — 3 \cdot 0 = -7 [\overline

,\overline] $$

Находим модуль полученного векторного произведения, подставляя из условия задания длины векторов и угол между ними:

$$ S = |-7 [\overline

,\overline] | = 7 |\overline

| |\overline| \sin \frac<\pi> <6>= 7 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac<1> <2>= 7 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Вычисляем векторное произведение:

Выполняем попарное умножение слагаемых, из которых состоят векторы:

$$ = 2[\overline

,\overline

] — [\overline

,\overline] + 2 [\overline,\overline

]-[\overline,\overline] = $$ $$ = 2 \cdot 0 — [\overline

,\overline] — 2[\overline

,\overline]-0 = -3 [\overline

,\overline] $$

Берём модуль последнего выражения и подставляем недостающие данные из условия задачи:

$$ = 3 \cdot 2 \cdot 3 \sin \frac<\pi> <3>=18 \cdot \frac<\sqrt<3>> <2>= 9\sqrt <3>$$