Как построить касательную к двум окружностям

Построение касательной к двум окружностям

Задача в следующем: имеется 2 окружности разного диаметра, произвольно расположенные в пространстве, надо провести линию являющуюся касательной к обеим окружностям.

Метод последовательных приближений не предлагать.

П.С. Задача должна быть решена средствами акада в т.ч. и посредством лиспа.

1. Имеем две окружности: малая О1, большая О2.
2. Строим отрезок С, соединяющий центры О1,О2.
3. Точку пересечения С и О2 именуем Т1.
4. Откладываем на отрезке С от точки Т1 к центру О2 величину радиуса О1. Это точка Т2.
5. Из центра О2 строим окр. через Т2. Это окружность О3.
6. Из центра О1 проводим касательную K к О2. Точка пересечения К и О3 это Т3.
7. Прводим луч Л из центра О2 и точку Т3. Точка пересечения данного луча с О2 это Т4.
8. Копируем К в точку Т4. Последний примитив и будет касательной к двум окружностям.

проверка правильности построений:
1. Строим перпиндикуляры к отрезку С в его концах.
2. Измеряем углы:
— между С и К;
— между Л и перпиндикуляром к отр. С,
убеждаемся, что они равны.

1. Имеем две окружности: малая О1, большая О2.
2. Строим отрезок С, соединяющий центры О1,О2.
3. Точку пересечения С и О2 именуем Т1.
4. Откладываем на отрезке С от точки Т1 к центру О2 величину радиуса О1. Это точка Т2.
5. Из центра О2 строим окр. через Т2. Это окружность О3.
6. Из центра О1 проводим касательную K к О2. Точка пересечения К и О3 это Т3.
7. Прводим луч Л из центра О2 и точку Т3. Точка пересечения данного луча с О2 это Т4.
8. Копируем К в точку Т4. Последний примитив и будет касательной к двум окружностям.

проверка правильности построений:
1. Строим перпиндикуляры к отрезку С в его концах.
2. Измеряем углы:
— между С и К;
— между Л и перпиндикуляром к отр. С,
убеждаемся, что они равны.

>Asys
Ну ващето nmr все правильно написал (спасибо), но уж очень сложно.

Тему можно считать закрытой.

Вернусь к касательным.
А есть ли возможность построить касательную от окружности просто в произвольно выбранной точке на этой окружности? Имею ввиду — без построения линии от этой точки к центру этой окружности.
И тот же вопрос о перпендикуляре.
Т.е., как построить перпендикуляр ИЗ произвольной точки уже начерченной прямой.

Конструктор, инженер-механик на пенсии

Serge Krasnikov

Посмотреть профиль

Найти ещё сообщения от Serge Krasnikov

Дороги, Конструкции, Тоннели

РОВНО ЗА 7 ЩЕЛЧКОВ МЫШИ.

1 Нажимаем чертить линию
2 При нажатом CTRL щелкаем правой кнопкой мыши
3 Щелкаем КАСАТЕЛЬНАЯ
4 Щелкаем на 1-й окружности
5 см щелчек 2
6 см щелчек 3
7 Щелкаем на 2-й окружности

Время 10 сек. максимум.

РОВНО ЗА 7 ЩЕЛЧКОВ МЫШИ.

1 Нажимаем чертить линию
2 При нажатом CTRL щелкаем правой кнопкой мыши
3 Щелкаем КАСАТЕЛЬНАЯ
4 Щелкаем на 1-й окружности
5 см щелчек 2
6 см щелчек 3
7 Щелкаем на 2-й окружности

Время 10 сек. максимум.

Владимир Егорьев

Именно так.
Нет никаких вторых точек и вторых окружностей.
Нужна просто касательная (неважна её длина и направление от точки на окружности).
В итоге, она предназначена как вспомогательная для определения углов между ней (касательной) и другими линиями.

И по перпендикуляру ОТ прямой — есть способ построения?

Ещё касательную можно построить след. образом

Команда _xline , указать привязку Tangent (касательная), указать окружность, к которой строится касательная. Далее, обратите внимание, мы при помощи мышки можем перемещать эту прямую, которая обкатывается по окружности

Так-же строится перпендикуляр

_xline, привязка Perpendicular (Перпендикуляр), выбираем прямой участок того, к чему хотим приперпендикуляриться, и , двигая мышкой, выбираем место расположения перепендикуляра

Хмурый,
все мои потуги сделать касательную, ну ни к чему не приводят.

Заготовил две произвольные окружности, которые пересекаются между собой (соответственно, в двух точках).
Пытаюсь в одной из точек их пересечения, указанным Вами способом, построить касательную — сначала к одной из них.

1. Даю команду _xline.
2. Указываю привязку Tangent (касательная)
3. Указываю окружность, к которой строится касательная. Левый щелчёк. Просит точку.
4. Указываю интересующую меня — точку пересечения окружностей (или произвольную точку на окружности). Результат: "Specify through point: *Invalid*"

Аналогично, если указываю точку произвольно, вне (снаружи) окружности (т.е., произвольно щёлкаю левой — так же пишет: " Specify through point: *Invalid*"
А дальше — ничего никуда не обкатывается.
И ничего не строится.

Построение касательных к двум окружностям

При вычерчивании контуров предметов сравнительно часто приходится строить общие касательные к двум дугам окружностей. Общая касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон касательной.

Построение общей внешней касательной к двум окружностям радиусами R и r (рисунок 47). Из центра окружности большего радиуса – точки O₁ описывают окружность радиусом R – r (рисунок 47, а). Находят середину отрезка O₂O₁ – точку O₃ и из нее проводят вспомогательную окружность радиусом O₃O₂ или O₃O_1. Обе проведенные окружности пересекаются в точках A и В. Точки O₁ и B соединяют прямой и в пересечении ее с окружностью радиусом R определяют точку касания D (рисунок 47, б). Из точки O₂ параллельно прямой O₁D проводят линию до пересечения с окружностью радиусом r и получают вторую точку касания C. Прямая CD является искомой касательной. Так же строится вторая общая внешняя касательная к этим окружностям (прямая EF).

Построение общей внутренней касательной к двум окружностями радиусов R и r (рисунок 48). Из центра любой окружности, например: точки O₁, описывают окружность радиусом R + r (рисунок 48, а). Разделив отрезок O₂O₁ пополам, получают точку O₃. Из точки O₃ как из центра описывают вторую вспомогательную окружность радиусом O₃O₂ = O₃О₁ и отмечают точки A и В пересечения вспомогательных окружностей. Соединив прямой точки A и O₁ (рисунок 48, б), в пересечении ее с окружностью радиуса R получают точку касания D. Через центр окружности радиуса r проводят прямую, параллельную прямой O₁D, и в пересечении ее с заданной окружностью определяют вторую точку касания С. Прямая CD – внутренняя касательная к заданным окружностям. Аналогично строится и вторая касательная EF.

Как построить касательную к двум окружностям

Урок по AutoCAD №2

" Построение сопряжений в AutoCAD"

Сегодняшний урок я хочу посвятить одной весьма интересной теме — построений сопряжений в программе AutoCAD .

На первый взгляд эта тема кажется довольно простой, но на самом деле здесь есть очень много " подводных камней " , о которых не знают даже многие опытные профессионалы.

Итак, что же такое сопряжение? Сопряжение — это плавный переход от одной линии в другую. Пример сопряжения Вы можете посмотреть на рисунке ниже.

Проще говоря, сопряжение — это скругление угла, образованного двумя прямыми отрезками. Сопряжение представляет собой дугу окружности, а отрезки, образующие исходный угол, являются касательными к этой окружности.

Панель инструментов " редактирование " обычно располагается в правой части рабочего окна AutoCAD .

Нажатие по кнопке "Сопряжение" вызовет команду построения сопряжения. Эту команду можно также запустить введя с клавиатуры в командную строку следующее: " _ fillet" и нажав клавишу "Enter" .

В командной строке выскочет следующее сообщение:

Текущие настройки: Режим = С ОБРЕЗКОЙ, Радиус сопряжения = 0.0000

Выберите первый объект или [ оТменить/ Полилиния / раДиус / Обрезка/ Несколько ]:

Следует обратить внимание на то значение, которое принимает по умолчанию радиус сопряжения. В командной строке написано: " Радиус сопряжения = 0.0000 " . Что это значит? Это означает, что если мы укажем отрезки, образующие угол, то у нас построится сопряжение, т.е. скругление в виде дуги с нулевым радиусом. А дуга с нулевым радиусом — это вообще ничто, пустое место. Т.е., если мы оставим радиус сопряжение равным нулю у нас вообще сопряжение не построится. Соответственно нам нужно поменять радиус сопряжения. Для этого подводим курсор к чёрному экранчику пространства модели и щёлкаем правой кнопкой мыши. Появляется список.

В этом списке выбираем пункт " радиус " . В командной строке у нас запрашивается новое значение радиуса. Вводим, например, значение " 10 " и нажимаем клавишу "Enter" . Теперь нам нужно подвести курсор, который принял форму квадратика, сначала к первому отрезку и нажать левую кнопку мыши, затем — к правому и тоже нажать левую кнопку мыши. Уголочек скруглится. Отрезки и сопряжение (дуга) преобразуются в единую полилинию. Сопряжение построено.

Ну чтож, простейший случай построения сопряжения мы рассмотрели. Рассмотрим теперь случай посложнее.

Ситуация следующая: у нас есть 2 окружности: одна побольше, другая поменьше. Радиусы окружностей взяты произвольно. Расположение этих окружностей — также произвольное.

Задача состоит в следующем: нужно построить 2 прямых отрезка. Эти отрезки должны быть касательными одновременно к каждой из двух окружностей. Т.е. начальные и конечные точки обеих отрезков должны быть точками касания к окружностям. Затем нужно лишние фрагменты окружности обрезать и получить на выходе замкнутый контур с двумя сопряжениями.

Вот что у нас должно получиться в итоге :

Для того, чтобы построить такое сопряжение нужно уметь работать с режимом объектного отслеживания " касательная " .

Для начала нам нужно включить это режим. Делается это следующим образом. Сначала подводим курсор мыши к кнопке " ОТС-ОБЪЕКТ " или к кнопке " ПРИВЯЗКА " на строке состояния. Нужно проследить, чтобы кнопки " ПРИВЯЗКА" и " ОТС-ОБЪЕКТ " были вдавленными. Щёлкаем правой кнопкой мыши по одной из этих кнопок.

Выбираем из списка пункт " настройка " .

Открывается диалоговое окно настройки режимов черчения (рисования). Справой стороны находится список режимов объектного отслеживания. Нам нужно поставить галочку рядом с режимом черчения " касательная " и нажать кнопку " ОК " .

Теперь мы можем построить отрезок их какой-либо точки отрезок таким образом, чтобы его конечная точка совпадала с точкой касания к окружности.

Пусть у нас имеется какая-нибудь окружность произвольного радиуса. Построим отрезок, касательный к окружности. Нажмём на панели инструментов " рисование " кнопку " отрезок " .

Запускается команда построения прямого отрезка. Укажем начальную точку отрезка щелкнув в произвольной точке на "чёрном экранчике" пространства модели. После этого нам нужно указать вторую точку, которая является точкой касания к окружности.

Подведём курсор мыши к окружности, приблизительно к тому месту, где должна располагаться точка касания. Появиться жёлтый значок в виде маленького кружочка, над которым находится горизонтальная полоска. Также появится надпись с подсказкой " касательная " .

Это означает означает, что сработал режим объектного отслеживания " касательная " . Теперь нужно нажать левую кнопку мыши, затем клавишу "Enter" либо "Esc" для выхода из команды.

Построение касательной завершено.

Вернёмся к нашей задаче о построении сопряжения двух окружностей. Мы знаем как провести касательную к окружности. Но для того чтобы нам её провести, нужно знать где у нас будет располагаться начальная точка касательного отрезка. Вот тут и начинается геморой. Ведь начальная точка этого отрезка является точкой касания ко второй окружности. А эта точка нам неизвестна.

Сколько я не экспериментировал с объектными привязками и режимами объектного отслеживания, — так у меня и не получилось сопрячь две окружности средствами AutoCAD . Пришлось мне покопаться в специальной литературе по начертательной геометрии. Спешу Вас обрадовать, решения я нашёл.

Итак, рассмотрим алгоритм построения сопряжения двух окружностей.

1) Проводим из центра каждой окружности вертикальные отрезки до пересечения с нижними точками этих окружностей. Для построения нам нужно включить объектные привязки " центр " и " квадрант " и режим отс-поляр.

Строим где-нибудь в сторонке строго горизонтальный отрезок произвольного размера.

Переносим 2 построенных вертикальных отрезка соответственно в начальную и конечную точки горизонтального отрезка.

Вызываем команду построения окружности. Далее указываем центр окружности следующим образом. Накатываемся на верхнюю точку малого вертикального отрезка и отводим мышь немного вправо строго вдоль горизонтальной оси (проследите чтобы был включен режим " ОТС-ПОЛЯР " ). Щёлкаем левой кнопкой мыши.

Далее нужно задать радиус окружности. Для этого накатываемся на верхнюю точку, перемещаем курсор горизонтально вправо вдоль горизонтальной пунктирной линии до пересечения с вертикальной пунктирной линией, т.е. указываем крайнюю верхнюю точку окружности. Щёлкаем левой кнопкой мыши.

Выделяем только что построенную окружность.

Вызываем команду " перемещение " , указываем базовую точку (за что берём). Базовой точкой у нас будет служить центр последней окружности. Указываем конечную точку перемещения (куда ставим). Конечной точкой будет служить будет служить центр большей окружности.

Теперь нам нужно построить касательную к перемещённой окружности из центра 1-ой маленькой окружности.

Далее строим из центра 3-ей окружности (которую мы перемещали) отрезок, конечная точка которого совпадает с конечной точкой только что проведённой касательной.

Теперь мы можем получить начальную точку из которой будем строить касательную к двум исходным окружностям. Для этого нажимаем кнопку " удлинить " на панели инструментов " редактирование " .

Запустится команда удлинения объектов.

Укажем граничные кромки. Для этого щёлкнем левой кнопкой мыши по исходной окружности большего диаметра. Затем нажимаем клавишу "Enter" .

Указываем объекты для удлинения. Щёлкаем по маленькому отрезку.

Мы получили точку касания и начальную точку для построения касательного отрезка.

Вызываем построение прямого отрезка. Начальную точку указываем, привязываясь к конечной точке удлинённого отрезка. Конечную точку указываем на исходной маленькой окружности, воспользовавшись режимом черчения при объектном отслеживании " касательная " .

Всё касательную к двум окружностям мы построили. Удалим все дополнительные построения. Теперь построим вторую касательную воспользовавшись командой зеркального копирования. Нажимаем кнопку " зеркало " на панели инструментов " редактирование " .

Указываем объект, который будем копировать. В нашем случае этим объектом служит касательная.

Указываем начальную и конечную точки на оси отражения. Эти точки совпадают с центральными точками двух окружностей. Нажимаем "Enter" .

Для завершения построения сопряжения нужно обрезать лишние фрагменты окружности. Нажимаем кнопку " обрезание " на панели инструментов " редактирование " .

Выделяем все объекты рамкой справа налево. Нажимаем клавишу "Enter" .

Удаляем лишние фрагменты окружности, выделяя их рамкой справа налево.

Нажимаем клавишу "Enter" . Построение сопряжения завершено.

А Вы записались на

Прямо Сейчас Подпишитесь На Рассылку!

И Получайте Бесплатные

Обучающие Видео Уроки

По AutoCAD На Ваш E-mail!

Просто Введите Ваши Данные В Форму!

Внимание!

Как активировать рассылку?

Если вы не знаете как правильно активировать рассылку, пройдите по этой ссылке . Там Вы найдёте подробную инструкцию.

P.S. Уважаемый подписчик, если Вы хотите:

То Вы всегда можете:

Итак, Уважаемый подписчик, жду вас на страницах моего сайта autocad-profi.ru .

Желаю вам удачи и успешного изучения программы AutoCAD !

До новых встреч!

Дмитрий Лапин.

Видеокурс по Revit

Архитектурно — строительное проектирование в программе Revit.

AutoCAD обучение

Подпишитесь на бесплатную рассылку : " Эффективная работа в AutoCAD" .

3.2.3 Построение касательных к двум окружностям

При вычерчивании контуров предметов сравнительно часто приходится строить общие касательные к двум дугам окружностей. Общая касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон касательной.

Построение общей внешней касательной к двум окружностям радиусами R и r (рисунок 47). Из центра окружности большего радиуса – точкиO₁ описывают окружность радиусомR – r(рисунок 47, а). Находят середину отрезкаO₂O₁ – точкуO₃и из нее проводят вспомогательную окружность радиусомO₃O₂ илиO₃O_1.Обе проведенные окружности пересекаются в точкахA иВ. ТочкиO₁ иB соединяют прямой и в пересечении ее с окружностью радиусомR определяют точку касанияD (рисунок 47, б). Из точкиO₂параллельно прямойO₁D проводят линию до пересечения с окружностью радиусомrи получают вторую точку касанияC. ПрямаяCDявляется искомой касательной. Так же строится вторая общая внешняя касательная к этим окружностям (прямаяEF).

Построение общей внутренней касательной к двум окружностями радиусов R и r (рисунок 48). Из центра любой окружности, например: точкиO₁, описывают окружность радиусомR +r (рисунок 48, а). Разделив отрезокO₂O₁ пополам, получают точкуO₃. Из точкиO₃как из центра описывают вторую вспомогательную окружность радиусомO₃O₂ = O₃О₁ и отмечают точки A и В пересечения вспомогательных окружностей. Соединив прямой точки A и O₁ (рисунок 48, б), в пересечении ее с окружностью радиуса R получают точку касания D. Через центр окружности радиуса r проводят прямую, параллельную прямой O₁D, и в пересечении ее с заданной окружностью определяют вторую точку касания С. Прямая CD – внутренняя касательная к заданным окружностям. Аналогично строится и вторая касательная EF.

3.3 Сопряжения с помощью дуги окружности

3.3.1 Сопряжение двух прямых дугой окружности

Все задачи на сопряжение дугой могут быть сведены к двум видам. Сопряжение осуществляется либо заданным радиусом сопрягающей дуги, либо через точку, заданную на одной из сопрягаемых линий. В том и другом случаях необходимо построить центр сопрягающей дуги.

Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданным радиусом R_c (рисунок 49, а). Так как сопрягающая дуга должна касаться заданных прямых, то центр ее должен быть удален от каждой прямой на величину равную радиусуR_c. Сопряжение строят так. Проводят две прямые, параллельные заданным и удаленные от них на величину радиусаR_cи в пересечении этих прямых отмечают точкуO – центр сопрягающей дуги. Из точкиОопускают перпендикуляр на каждую из заданных прямых. Основания перпендикуляров – точкиA иB – являются точками касания сопрягающей дуги. Такое построение сопряжения справедливо для двух пересекающихся прямых, составляющих любой угол. Для сопряжения сторон прямого угла можно воспользоваться также способом, указанным на рисунке 49, б.

Сопряжение двух пересекающихся прямых, на одной из которых задана точка касания А сопрягающей дуги (рисунок 50). Известно, что геометрическим местом центров дуг, сопрягающих две пересекающиеся прямые, является биссектриса угла, образованного этими прямыми. Поэтому, построив биссектрису угла, из точки касанияA восстанавливают перпендикуляр к прямой до пересечения его с биссектрисой и отмечают точку O – центр сопрягающей дуги. Опустив из точки О перпендикуляр на другую прямую, получают вторую точку касания В и радиусом R_c= OA = OB осуществляют сопряжение двух прямых, на одной из которых была задана точка касания.

Сопряжение двух параллельных прямых дугой, проходящей через заданную точку касания А (рисунок 51). Из точкиA восставляют перпендикуляр к заданным прямым и на пересечении его со второй прямой отмечают точкуB. ОтрезокAB делят пополам и получают точкуО– центр сопрягающей дуги радиусом.