Как найти базис пересечения подпространств

линейная-алгебра — Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств

Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств $%L_1$% и $%L_2$%, натянутых на системы $%X_1, . X_k$% и $%Y_1, . Y_k$% соответственно;построить подпространство, дополнительное подпространству $%L_1$%;построить проекцию вектора $%Y_1$% на подпространство $%L_1$% параллельно данному дополнительному подпространству.

$%\begin\alpha_1+\alpha_2-\beta_1-\beta_2 = 0\\2\alpha_1+\alpha_2-3\beta_2 = 0\\\alpha_2-\beta_2 = 0\\\alpha_1-\beta_2 = 0\end $%

2)$%\beginx_1+2x_2+x_4 = 0\\-x_2+x_3-x_4= 0\end $%

задан 26 Мар ’16 21:59

Общую процедуру решения таких задач можно посмотреть здесь.

@Koval: процедура нахождения пересечения чуть сложнее, но у меня она описана. См. второй абзац по ссылке. Надо составить векторное уравнение $%x_1X_1+x_2X_2=y_1Y_1+y_2Y_2$% от четырёх неизвестных. Это даст однородную систему, для которой надо далее найти общее решение.

@Koval: да, равны, и что? В этом нет ничего плохого. У Вас получается одна свободная переменная. Выражаете через неё вектор из пересечения. Получится a(1,3,1,1), где a — параметр. Это даст базис пересечения; он состоит из одного вектора.

@abc: там, конечно, опечатка — имелось в виду (2,3,1,1).

@Koval: вектор, который Вы указали, это не пересечение подпространств, а базис пересечения. Его и надо было найти, но там знак равенства неуместен.

Что касается нахождения дополнительного пространства, то сначала надо решить однородную систему с матрицей из X1, X2. О нахождении проекции потом можно будет поговорить отдельно, но вообще-то там достаточно применить определение.

Берем общее решение a(1,1,1,1) однородной СЛАУ, выделяем из него две первых переменных $%x_1=a$% и $%x_2=a$% и подставляем в общий вид вектора пересечения подпространств: $%x_1(1,2,0,1)+x_2(1,1,1,0)$%. Откуда и находим, что он равен a(2,3,1,1). С тем же результатом можно выделять две другие переменные $%x_3=a$% и $%x_4=a$% и подставлять в $%x_3(1,0,1,0)+x_4(1,3,0,1)$%

@Koval: Есть прекрасная книга Гайфуллина, Смирнова и Пенского «Задачи по линейной алгебре». В ней разобраны все подобные типовые задачи. Вам может пригодиться)

1 ответ

В комментариях уже нет места — придётся писать здесь. Потом можно будет что-то добавлять.

Базис суммы пространств состоит из трёх ненулевых строк ступенчатой матрицы. Разумеется, он не равен нулю (само это предположение абсурдно). Записать его можно примерно так: $%a_1=(1;2;0;1)$%, $%a_2=(0;1;-1;-1)$%, $%a_3=(0;0;1;-1)$%. У второго и третьего вектора я для удобства поменял знак.

Добавление. В задаче, среди прочего, требуется найти проекцию вектора $%Y_1$% на подпространство $%L_1$%. Искомый вектор должен иметь вид $%x(1,2,0,1)+y(1,1,1,0)=(x+y,2x+y,y,x)$%, где $%x$%, $%y$% — некоторые неизвестные.

Проекция производится параллельно ортогональному дополнению пространства $%L_1$%. Это значит, что разность вектора проекции и вектора $%Y_1$%, имеющая координаты $%(x+y-1,2x+y,y-1,x)$%, должна быть ортогональна каждому вектору пространства $%L_1$%. Последнее означает, что скалярное произведение вектора $%(x+y-1,2x+y,y-1,x)$% на каждый из векторов $%(1,2,0,1)$% и $%(1,1,1,0)$% равно нулю. Получается два уравнения: $%x+y-1+2(2x+y)+x=0$% и $%x+y-1+2x+y+y-1=0$%. Упрощая, имеем $%6x+3y=1$% и $%3x+3y=2$%. Отсюда $%x=-\frac13$% и $%y=1$%. Тем самым, вектор проекции равен $%(x+y,2x+y,y,x)=(\frac23;\frac13;1;-\frac13)$%.

5.2. Сумма и пересечение подпространств.

Пусть заданы два подпространства R₁ и R₂ n-мерного пространства R.

Определение: Если каждый вектор x пространства R можно, и притом единственным образом, представить как сумму двух векторов:

где , то говорят, что пространство R разложено в прямую сумму подпространств R₁ и R₂. Это записывают так:

Теорема. Для того, чтобы пространствоR разлагалось в прямую сумму подпространств R₁ и R₂,достаточно, чтобы:

Подпространства R₁ и R₂ имели только один общий вектор x = 0 (нулевой вектор).

Сума размерностей этих подпространств была равна размерности пространства R.

Пусть имеем два произвольных подпространства R₁ и R₂ линейного пространства R. Подпространство пересечения R₁ и R₂ — это совокупность векторов, принадлежащих обоим подпространствам R₁ и R₂:

☺ Пример 124. Пусть R₁ и R₂ – два двумерных подпространства трехмерного прос-транства (две плоскости, проходящие через начало координат). Тогда их пересечение есть одномерное подпространство (прямая, по которой эти плоскости пересекаются).

По двум подпространствам R₁ и R₂ можно построить еще одно подпространство, которое называют суммой: векторами этого подпространства являются всевозможные суммы вида:

где , его обозначают: (в отличие от прямой суммы двух подпрос-транств, запись (*) элемента из R может быть неоднозначной. Легко проверить, что построенные элементы (*) образуют подпространство.

Теорема. Сумма размерностей R₁ и R₂, равна размерности их суммы плюс размерность пересечения.

☺ Пример 125. Найдем базис пересечения подпространств , если R₁ натянут на векторы a₁ и a₂, а R₂ – на векторы b₁ и b₂:

, ,

, .

Решение: Нетрудно заметить, что векторы a₁ и a₂, b₁ и b₂: — линейно независимы. Согласно вышеприведенной теореме запишем размерность пересечения в виде d = k+r-s, где k = 2 – число независимых векторов, порождающих подпространство R₁; r = 2 – число независи-мых векторов, порождающих подпространство R₂; s – число независимых векторов, порождающих подпространство (его предстоим вычислить).

Применяя один из способов вычисления ранга системы векторов, получаем: s = 3. В таком случае размерность пересечения d = 2 + 2 — 3 = 1/

Найдем базис из условия:

Решая эту систему одним из способов, изложенных в Гл.5, получим: x₁ = -s; x₂ = 4s; x₃ = -3s; x₄ = s, где s – произвольная постоянная. Принимая s = -1, получим:

c = a₁— 4 a₂ = 3 b₁— b₂ = (5, -2, -3, -4).

Ответ: базис пересечения подпространств: c = a₁— 4 a₂ = 3 b₁— b₂ = (5, -2, -3, -4).

☻Решите примеры:

Пример 126. Найдем базис пересечения подпространств , если R₁ натянут на векторы a₁ и a₂, а R₂ – на векторы b₁ и b₂:

, ,

, .

Ответ: базис пересечения подпространств: c = -4a₁ + 13a₂ = 8 b₁+ 3b₂ = (5, 9, -13, 27).

Пример 127. Найдем базис пересечения подпространств , если R₁ натянут на векторы a₁ и a₂, а R₂ – на векторы b₁ и b₂:

, ,

, .

Ответ: базис пересечения подпространств: c = 2a₁— 3 a₂ = — b₁+ b₂ = (1, 3, -1, 1).

VMath

Благодарю Ю.А.Смолькина за обнаружение 07.08.19 ошибки на настоящей странице и информирование о ней.

Линейное пространство

Определения

Пусть дано множество $ \mathbb V_<>=\left\ < X,Y,Z,U,\dots \right\>$ элементов произвольной природы. Пусть для элементов этого множества определены две операции: сложения $ X+Y_<> $ и умножения на любое вещественное число $ \alpha_<> $: $ \alpha \cdot X_<> $, и множество $ \mathbb V_<> $ замкнуто относительно этих операций: $ X+Y \in \mathbb V ,\ \alpha \cdot X \in \mathbb V_<> $. Пусть эти операции подчиняются аксиомам:

1. $ X+Y=Y+X_<> $ для $ \ < X,\, Y\>\subset \mathbb V_<> $;

2. $ (X+Y)+Z_<>=X+(Y+Z) $ для $ \ < X,\, Y,\, Z \>\subset \mathbb V_<> $;

3. в $ \mathbb V_<> $ cуществует нулевой вектор $ \mathbb O_<> $ со свойством $ X+ \mathbb O =X_<> $ для $ \forall X\in \mathbb V_<> $;

4. для каждого $ X\in \mathbb V_<> $ существует обратный вектор $ X^<\prime>\in \mathbb V_<> $ со свойством $ X+X^<\prime>=\mathbb O_<> $;

5. $ 1\cdot X=X_<> $ для $ \forall X\in \mathbb V_<> $;

6. $ \lambda \left(\mu X \right)_<>= \left(\lambda \mu \right)X $ для $ \forall X\in \mathbb V_<> $, $ \ <\lambda ,\, \mu \>\subset \mathbb R_<> $ ;

7. $ (\lambda + \mu)X=\lambda X + \mu X_<> $ для $ \forall X\in \mathbb V_<> $, $ \<\lambda ,\, \mu \>\subset \mathbb R_<> $ ;

8. $ \lambda (X + Y) =\lambda X_<> + \lambda Y $ для $ \ < X,\, Y\>\subset \mathbb V_<> , \lambda \in \mathbb R $.

Тогда такое множество $ \mathbb V_<> $ называется линейным (векторным) пространством, его элементы называются векторами, и — чтобы подчеркнуть их отличие от чисел из $ \mathbb R_<> $ — последние называются скалярами 1) . Пространство, состоящее из одного только нулевого вектора, называется тривиальным .

Элементарно доказывается единственность нулевого вектора, и единственность вектора, обратного вектору $ X\in \mathbb V_<> $: $ X^<\prime>=-1\cdot X_<> $, его привычно обозначают $ — X_<> $.

Подмножество $ \mathbb V_ <1>$ линейного пространства $ \mathbb V_<> $, само являющееся линейным пространством (т.е. $ \mathbb V_ <1>$ замкнуто относительно сложения векторов и умножения на произвольный скаляр), называется линейным подпространством пространства $ \mathbb V_<> $. Тривиальными подпространствами линейного пространства $ \mathbb V_<> $ называются само $ \mathbb V_<> $ и пространство, состоящее из одного нулевого вектора $ \mathbb O_<> $.

Примеры линейных пространств

Пример 1. Пространство $ \mathbb R^ <3>$ упорядоченных троек вещественных чисел $ (a_1,a_2,a_<3>) $ с операциями, определяемыми равенствами:

$$ (a_1,a_2,a_3)+(b_1,b_2,b_3)= (a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3),\ \alpha (a_1,a_2,a_3) = ( \alpha a_1, \alpha a_2, \alpha a_3 ) \ . $$ Геометрическая интерпретация очевидна: вектор в пространстве, «привязанный» к началу координат, может быть задан координатами своего конца $ (a_1,a_2,a_<3>) $. На рисунке показано и типичное подпространство пространства $ \mathbb R^ <3>$: плоскость, проходящая через начало координат. Точнее говоря, элементами $ \mathbb V_1 $ являются векторы, имеющие начало в начале координат и концы — в точках плоскости. Замкнутость такого множества относительно сложения векторов и их растяжения 2) очевидна.

Пример 2. Основываясь на том же примере, можно дать и иную интерпретацию векторного пространства $ \mathbb V_1 $ (заложенную, кстати, уже в самом происхождении слова «вектор» 3) ) — оно определяет набор «сдвигов» точек пространства $ \mathbb R^ <3>$. Эти сдвиги — или параллельные переносы любой пространственной фигуры — выбираются параллельными плоскости $ \mathbb V_1 $.

Пример 3. Естественным обобщением пространства $ \mathbb R^ <3>$ служит пространство $ \mathbb R_<>^ $ — векторное пространство строк $ (x_1,\dots,x_) $ или столбцов $ (x_1,\dots,x_n)^ <^\top>$. Один из способов задания подпространства в $ \mathbb R_<>^ $ — задание набора ограничений. Множество решений системы линейных однородных уравнений:

$$ \left\<\begin a_<11>x_1 +a_<12>x_2+\ldots+a_<1n>x_n &=&0,\\ a_<21>x_1 +a_<22>x_2+\ldots+a_<2n>x_n &=&0,\\ \ldots& & \ldots \\ a_x_1 +a_x_2+\ldots+a_x_n &=&0 \end\right. \iff AX=\mathbb O $$ образует линейное подпространство пространства $ \mathbb R_<>^ $. В самом деле, если $$x_1=\alpha_1,\dots, x_n=\alpha_n $$ — решение системы, то и $$x_1=t \alpha_1,\dots, x_n= t \alpha_n $$ — тоже решение при любом $ t \in \mathbb R $. Если $$x_1=\beta_1,\dots, x_n=\beta_n $$ — еще одно решение системы, то и $$x_1=\alpha_1+\beta_1,\dots,x_n=\alpha_n+\beta_n $$ — тоже будет ее решением.

Почему множество решений системы неоднородных уравнений не образует линейного подпространства?

Пример 4. Обобщая далее, можем рассмотреть пространство «бесконечных» строк или последовательностей

$$ (x_1,\dots,x_n, \dots ) \, , $$ обычно являющееся объектом математического анализа — при рассмотрении последовательностей и рядов. Подпространство этого пространства образуют, например, линейные рекуррентные последовательности $ \_ $ удовлетворяющие — при произвольных числах $ \ \> \subset \mathbb R $ — линейному однородному разностному уравнению $ n_<> $-го порядка, $$ x_=a_1 x_+ \dots+ a_n x_K \ npu \ K \in \ <0,1,2,\dots \>\ ; $$ здесь числа $ \< a_1,\dots,a_, a_n \ne 0 \> \subset \mathbb R $ считаются фиксированными.

Пример 5. Множество $ m\times n_<> $-матриц с вещественными элементами с операциями сложения матриц и умножения на вещественные числа образует линейное пространство. Будем обозначать это пространство $ \mathbb R^ $.

В пространстве квадратных матриц фиксированного порядка каждое из следующих подмножеств составляет линейное подпространство: симметричных, кососимметричных, верхнетреугольных, нижнетреугольных и диагональных матриц.

Пример 6. Множество полиномов одной переменной $ x_<> $ степени в точности равной $ n_<> $ с коэффициентами из $ \mathbb A_<> $ (где $ \mathbb A_<> $ — любое из множеств $ \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R_<> $ или $ \mathbb C_<> $) с обычными операциями сложения полиномов и умножения на число из $ \mathbb A_<> $ не образует линейного пространства. Почему? — Потому что оно не является замкнутым относительно сложения: сумма полиномов

$$ f(x)=x^n -x+1 \quad \mbox < и >\quad g(x)=-x^n+x^-2 $$ не является полиномом $ n_<> $-й степени. Но вот множество полиномов степени не выше $ n_<> $ $$ \mathbb P_n= \left\ < p(x) \in \mathbb A [x] \big| \deg p(x) \le n \right\>$$ линейное пространство образует; только к этому множеству надо придать еще и тождественно нулевой полином 4) . Очевидными подпространствами $ \mathbb P_ $ являются $ \mathbb P_<0>, \mathbb P_1,\dots,\mathbb P_ $. Кроме того, подпространствами будут множество четных и множество нечетных полиномов степени не выше $ n_<> $. Множество всевозможных полиномов

$$ \mathbb P= \bigcup_^ <\infty>\mathbb P_n $$ (без ограничения на степени) тоже образует линейное пространство.

Пример 7. Обобщением предыдущего случая будет пространство полиномов нескольких переменных $ x_1,\dots, x_ <\ell>$ степени не выше $ n_<> $ с коэффициентами из $ \mathbb A_<> $. Например, множество линейных полиномов

$$ \left\< a_1x_1+\dots+a_<\ell>x_<\ell>+b \big| (a_1,\dots,a_<\ell>,b) \in \mathbb A^ <\ell+1>\right\> $$ образует линейное пространство. Множество однородных полиномов (форм) степени $ n_<> $ (с присоединением к этому множеству тождественно нулевого полинома) — также линейное пространство.

Изоморфизм

Пусть имеются два линейных пространства разной природы: $ \mathbb V_<> $ с операцией $ +_<> $ и $ \mathbb W_<> $ с операцией $ \boxplus_<> $. Может оказаться так, что эти пространства «очень похожи», и свойства одного получаются простым «переводом» свойств другого.

Говорят, что пространства $ \mathbb V_<> $ и $ \mathbb W_<> $ изоморфны если между множествами их элементов можно установить такое взаимно-однозначное соответствие, что если $ X_<> \leftrightarrow X^ <\prime>$ и $ Y_<> \leftrightarrow Y^ <\prime>$ то $ X+Y \leftrightarrow X_<>^ <\prime>\boxplus Y^ <\prime>$ и $ \lambda X_<> \leftrightarrow \lambda X^ <\prime>$.

При изоморфизме пространств $ \mathbb V_<> $ и $ \mathbb W_<> $ нулевому вектору одного пространства будет соответствовать нулевой вектор другого пространства.

Пример. Пространство $ \mathbb R^_<> $ изоморфно пространству $ \mathbb P_^<> $. В самом деле, изоморфизм устанавливается соответствием $$ [a_1,\dots,a_n] \leftrightarrow a_1+a_2x+\dots + a_nx^ \ .$$

Пример. Пространство $ \mathbb R^ $ вещественных матриц порядка $ m_<>\times n $ изоморфно пространству $ \mathbb R_<>^ $. Изоморфизм устанавливается с помощью операции векторизации матрицы (матрица «вытягивается» в один столбец).

Пример. Пространство квадратичных форм от $ n_<> $ переменных изоморфно пространству симметричных матриц $ n_<> $-го порядка. Изоморфизм устанавливается соответствием, которое мы проиллюстрируем для случая $ n=3_<> $:

Линейная зависимость, базис, координаты

Линейной комбинацией системы векторов $ \\> $ называется произвольный вектор $$ \alpha_1 X_1+\dots+ \alpha_m X_m $$ при каких-то фиксированных значениях скаляров $ \alpha_<1>, \dots, \alpha_ $.

Множество всевозможных линейных комбинаций системы векторов $ \\> $ $$ \left\< \alpha_1 X_1+\dots+ \alpha_m X_m \bigg| \<\alpha_1,\dots,\alpha_m\>\subset \mathbb R \right\> $$ называется линейной оболочкой векторов $ X_1,\dots,X_ $ и обозначается $ <\mathcal L>(X_1,\dots,X_) $.

Теорема 1. Линейная оболочка векторов $ X_1,\dots,X_ $ образует линейное подпространство пространства $ \mathbb V_<> $.

Пример. В пространстве $ \mathbb P_ $ полиномов степеней $ \le n_<> \ge 3 $ линейной оболочкой полиномов $ x,x^2,x^3 $ будет множество полиномов вида $ a_0x^3+a_1x^2+a_2x $, т.е. множество полиномов степеней $ \le 3 $, имеющих корень $ \lambda_<>=0 $. ♦

Система векторов $ \< X_<1>,\dots,X_m \> $ называется линейно зависимой (л.з.) если существуют числа $ \alpha_<1>,\dots,\alpha_m $, такие что хотя бы одно из них отлично от нуля и $$ \alpha_1X_1+\dots+\alpha_mX_m=\mathbb O $$ Если же это равенство возможно только при $ \alpha_<1>=0,\dots,\alpha_m=0 $, то система векторов называется линейно независимой (л.н.з.).

Пример. Для полиномов нескольких переменных свойство линейной зависимости является частным проявлением более общего свойства функциональной зависимости. Так, однородные полиномы (формы)

$$ f_1=(x_1+x_2+x_3)^2,\quad f_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3,\quad f_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2 $$ являются линейно зависимыми, поскольку $$ f_1-2\,f_2-f_3 \equiv 0 \ . $$ Полиномы $$ \tilde f_1=x_1+x_2+x_3,\quad f_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3,\quad f_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2 $$ не являются линейно зависимыми, но являются функционально зависимыми, поскольку $$ \tilde f_1^2-2\,f_2-f_3 \equiv 0 \ . $$ ♦

Теорема 2. а) Если система содержит хотя бы один нулевой вектор, то она л.з.

б) Если система л.н.з., то и любая ее подсистема л.н.з.

в) При $ m>1 $ система $ \,\dots,X_m\> $ л.з. тогда и только тогда, когда по меньшей мере один ее вектор линейно выражается через остальные, т.е. существуют $ j\in \ <1,\dots,n \>$ и константы $ \gamma_<1>,\dots,\gamma_, \gamma_,\dots,\gamma_ $ такие, что $$ X_j=\gamma_1X_1+\dots+\gamma_X_+ \gamma_X_+\dots + \gamma_X_ .$$

Теорема 3. Если каждый из векторов системы $ \ < X_1,\dots,X_\> $ линейно выражается через векторы другой системы $ \< B_<1>,\dots,B_k \> $ с меньшим числом векторов: $ k<m $, то система $ \< X_<1>,\dots,X_m \> $ будет л.з.

Доказательство аналогично приведенному ☞ ЗДЕСЬ.

Две системы векторов называются эквивалентными если каждый вектор одной системы линейно выражается через векторы другой и обратно.

Теорема 4. Системы векторов

$$ \ < X_1,\dots,X_\> \quad \mbox < и >\quad \< Y_<1>,\dots,Y_k \> $$ будут эквивалентными тогда и только тогда когда совпадают линейные оболочки этих систем: $$<\mathcal L>(X_1,\dots,X_m)=<\mathcal L>(Y_1,\dots,Y_k) \ . $$

Теорема 5. Если каждая из двух эквивалентных систем

$$ \ < X_1,\dots,X_\> \quad \mbox < и >\quad \< Y_<1>,\dots,Y_k \> $$ является л.н.з., то эти системы состоят из одинакового числа векторов: $ m=k_<> $ .

Линейно независимая система векторов $ \\>\subset \mathbb V $ называется базисом этого пространства если каждый $ X\in \mathbb V $ можно представить в виде линейной комбинации указанных векторов: $$ X=\sum_ \alpha_j X_j \ . $$

При этом не подразумевается конечность системы, т.е. суммирование может распространяться на бесконечное число слагаемых. Так, например, пространство бесконечных строк (или последовательностей) $ \left[a_<1>,a_2,\dots\, \right] $ имеет бесконечный базис, состоящий из векторов $$ [\underbrace<0,\dots,0,1>_j,0,\dots \, ] \quad npu \ j \in \mathbb N \ . $$

В случае, когда базис пространства $ \mathbb V_<> $ конечен, пространство $ \mathbb V_<> $ называется конечномерным, а число векторов базиса тогда называется размерностью пространства $ \mathbb V_<> $ и обозначается 5) : $ \dim \mathbb V_<> $. Также полагают, что размерность тривиального пространства, состоящего из одного только нулевого вектора, равна нулю: $ \dim \ <\mathbb O_<>\>= 0 $.

Пример. Линейное пространство $ m\times n_<> $ матриц имеет размерность $ mn_<> $. Так, для случая $ m_<>=3 ,n=2 $ в качестве базиса можно выбрать следующий набор матриц

$$ \left( \begin 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end \right) \ , \ \left( \begin 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end \right) \ , \ \left( \begin 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \end \right) \ , \left( \begin 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end \right) \ , \ \left( \begin 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end \right) \ , \ \left( \begin 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end \right) \ . $$ ♦

Найти размерности подпространства симметричных и подпространства кососимметричных матриц порядка $ n_<> $.

Пример [1]. Замечательный пример трехмерного линейного пространства дает нам совокупность всех цветов. Под суммой двух цветов будем понимать цвет, образованный их смешением

под умножением цвета на положительное число $ k_<> $ — увеличение в $ k_<> $ раз яркости цвета

Анимация ☞ ЗДЕСЬ (1500 K, gif)

под умножением на $ (-1) $ — взятие дополнительного цвета. При этом оказывается, что совокупность всех цветов выражается линейно через три цвета: красный, зеленый и синий, т.е. образует трехмерное линейное пространство. (Точнее, некоторое тело в трехмерном пространстве, поскольку яркости цветов ограничены верхним порогом раздражения.) Исследование этого трехмерного тела всех цветов является важным орудием цветоведения. ♦

Если $ \dim \mathbb V=d_<> $ и вектора $ X_1,\dots,X_ $ являются базисными для $ \mathbb V_<> $, то разложение вектора $ X \in \mathbb V_<> $ в сумму: $$ X=\alpha_1 X_1+\dots+ \alpha_d X_d \ .$$ называется разложением вектора $ X_<> $ по базису $ X_1,\dots,X_ $; при этом числа $ \alpha_1,\dots, \alpha_ $ называются координатами вектора $ X_<> $ в данном базисе.

Теорема 6. Если $ \dim \mathbb V=d>0 $, то любая система из $ d_<> $ линейно независимых векторов пространства образует базис этого пространства.

Доказательство. Пусть $ \ $ — л.н.з. система. Рассмотрим произвольный $ X\in \mathbb V_<> $. Если система $ \ $ л.н.з., то $ \dim \mathbb V \ge d+1 $, что противоречит условию теоремы. Следовательно, система линейно зависима: $ \alpha_0X+\alpha_1Y_1+\dots+\alpha_dY_d=\mathbb O $ при каком-то из чисел $ \<\alpha_j\>_^ $ не равном нулю. Если $ \alpha_0=0 $, то $ \alpha_1Y_1+\dots+\alpha_dY_d=\mathbb O $ при каком-то ненулевом коэффициенте. Это означает, что система $ \ $ линейно зависима, что противоречит предположению. Следовательно $ \alpha_0\ne 0 $, но тогда вектор $ X_<> $ может быть представлен в виде линейной комбинации векторов $ Y_1,\dots,Y_d $: $$X=- <\alpha_1>/ <\alpha_0>Y_1-\dots —<\alpha_d>/<\alpha_0>Y_d \ .$$ По определению, система $ \ $ является базисом $ \mathbb V $. ♦

Теорема 7. Любой вектор $ X \in \mathbb V_<> $ может быть разложен по фиксированному базису пространства единственным образом.

Очевидно, $ \dim \mathbb R^ = n $: строки из $ n_<> $ элементов $$[1,0,0,\dots,0],\ [0,1,0,\dots,0],\ [0,0,1,\dots,0],\ \dots , [0,0,0,\dots,1] $$ образуют базис этого пространства.

Имеются два способа задания линейных подпространств в $ \mathbb R^_<> $. Пусть $$ \mathbb V_1 = <\mathcal L>(A_1,\dots,A_k) \quad npu \ \ \subset \mathbb R^n \ .$$ В разделе ☞ РАНГ установлено, что $$ \dim \mathbb V_1 = \operatorname \ < A_1,\dots,A_k \>= \operatorname (A) \ ,$$ где $ A_<> $ — матрица, составленная из строк (столбцов) $ A_<1>,\dots,A_k $.

Пример. Найти базис подпространства

Решение. Ищем $$ \operatorname \left( \begin 1 & 2 & 1 & 1 \\ -1&0&-1&0 \\ -1& 2 &-1 &1 \\ 0& 1& 0 & 1 \end \right) $$ по методу окаймляющих миноров. Существует минор третьего порядка $$ \left| \begin 1 & 2 & 1 \\ -1&0&0 \\ 0& 1 & 1 \end \right| $$ отличный от нуля, а определитель самой матрицы равен нулю. Замечаем, что найденный отличный от нуля минор расположен в первой, второй и четвертой строках матрицы. Именно эти строки и образуют базис.

Ответ. Базис составляют, например, первая, вторая и четвертая строки.

Другим способом задания линейного подпространства в $ \mathbb R^ $ может служить задание набора ограничений, которым должны удовлетворять векторы подпространства. Таким набором ограничений может являться, например, система уравнений $$ \left\<\begin a_<11>x_1 +a_<12>x_2+\ldots+a_<1n>x_n &=&0,\\ a_<21>x_1 +a_<22>x_2+\ldots+a_<2n>x_n &=&0,\\ \ldots& & \ldots \\ a_x_1 +a_x_2+\ldots+a_x_n &=&0 \end\right. \qquad \iff \qquad AX=\mathbb O . $$ Какова размерность подпространства решений этой системы? На этот вопрос мы ответим сразу же, если вспомним определение фундаментальной системы решений (ФСР). Именно, ФСР — как набор линейно независимых решений, через которые линейно выражается любое решение системы однородных уравнений — является базисом подпространства этих решений.

Теорема 8. Множество решений системы однородных уравнений $ AX=\mathbb O_<> $ образует линейное подпространство пространства $ \mathbb R^ $. Размерность этого подпространства равна $ n-\operatorname (A) $, а фундаментальная система решений образует его базис.

Пример. В пространстве $ \mathbb P_ $ полиномов степеней $ \le n_<> $ каноническим базисом можно взять систему мономов $ \ <1,x,x^2,\dots, x^n \>$, т.е. $ \dim \mathbb P_ =n+1 $. Координатами полинома

$$ f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n $$ будут его коэффициенты. Можно выбрать и другой базис, например, $ \ <1, x-c,(x-c)^2,\dots,(x-c)^n \>$ при произвольном числе $ c_<> $. Координатами полинома в этом базисе будут теперь коэффициенты формулы Тейлора: $$ f(x) \equiv f(c)+ \frac(c)> <1!>(x-c) + \frac(c)> <2!>(x-c)^2+ \dots + \frac(c)> (x-c)^ \ . $$

Найти координаты полинома

Теорема 9. Любое векторное пространство $ \mathbb V_<> $ размерности $ d_<> $ изоморфно $ \mathbb R^ $.

Доказательство. Изоморфизм можно установить следующим соответствием. Если $ \ $ — какой-то базис $ \mathbb V_<> $, то вектору $ X \in \mathbb V $ поставим в соответствие набор его координат в этом базисе: $$ X=x_1X_1+\dots+x_d X_d \ \Rightarrow \ X \mapsto [x_1,\dots,x_d]\in \mathbb R^d . $$ На основании теоремы $ 6 $, такое соответствие будет взаимно-однозначным, а проверка двух свойств изоморфизма тривиальна. ♦

Критерии линейной зависимости

Теорема . Строки

$$ \<(a_<11>,\dots,a_<1n>),\dots, (a_,\dots,a_)\> \subset \mathbb C^n $$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда $$ \left|\begin a_<11>&\dots & a_ <1n>\\ \dots & & \dots \\ a_& \dots & a_ \end \right|=0 \, . $$

Теорема . Строки

$$ \<(a_<11>,\dots,a_<1n>),\dots, (a_,\dots,a_)\> \subset \mathbb C^n $$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда $$ \operatorname A <m \, , npu \ A=\left(\begin a_<11>&\dots & a_ <1n>\\ \dots & & \dots \\ a_& \dots & a_ \end \right) \, . $$

$$ \<(a_<11>,\dots,a_<1n>),\dots, (a_,\dots,a_)\> \subset \mathbb R^n $$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда $$ \det (A^ <\top>A) = 0 \, . $$ (Определитель в левой части можно интерпретировать как определитель Грама системы строк.)

Теорема . Аналитические на интервале $ ]a,b[ $ функции $ u_1(x),\dots,u_n(x) $ линейно зависимы на $ ]a,b[ $ тогда и только тогда, когда их вронскиан

Относительный базис

В настоящем пункте $ \mathbb V_1 $ обозначает линейное подпространство пространства $ \mathbb V_<> $, отличное от тривиального; обозначаем $ d_1=\dim \mathbb V_1 $.

Теорема. Произвольный базис подпространства $ \mathbb V_1 $ можно дополнить до базиса пространства $ \mathbb V_<> $.

Доказательство. Пусть $ \ \> $ — какой-то базис $ \mathbb V_1 $. В пространстве $ \mathbb V_<> $ найдется вектор $ X_ $ такой, что система $ \, X_\> $ будет л.н.з. (В противном случае, $ \dim \mathbb V=d_1 $, что противоречит условию настоящего пункта.) Если $ d_1+1=d = \dim \mathbb V $, то, на основании теоремы 5 предыдущего пункта, требуемый базис построен. Если же $ d_1+1<d $, то в пространстве $ \mathbb V_<> $ найдется вектор $ X_ $ такой, что система $ \, X_,X_ \> $ будет л.н.з. И т.д. Процесс закончится за конечное число шагов. ♦

Говорят, что система векторов $ \ $ линейно независима относительно подпространства $ \mathbb V_1 $ пространства $ \mathbb V_<> $ если $$<.>_<> \mbox < из условия >\quad \alpha_1X_1+\dots+\alpha_k X_k \in \mathbb V_1 \quad \mbox < следует >\quad \alpha_1=\dots=\alpha_k=0 \ .$$

Теорема. Обозначим $ \\> $ — произвольный базис $ \mathbb V_1 $. Система $ \,\dots,X_k\> $ л.н.з. относительно $ \mathbb V_1 $ тогда и только тогда, когда система $ \,X_1,\dots,X_k\> $ линейно независима.

Пример. Найти все значения параметра $ <\color\alpha > $, при которых система

Решение. Базисом подпространства $ \mathbb V_1 $ является произвольная ФСР заданной системы однородных уравнений, например $ \>,\ Y_2=[6,-5,0,1]^<^<\top>>\> $. Теорема утверждает, что система $ \ < X_1, X_2\>$ л.н.з. относительно $ \mathbb V_1 $ тогда и только тогда, когда система $ \ < X_1, X_2,Y_1,Y_2\>$ л.н.з. (в обычном понимании). Последнее равносильно тому, что матрица, составленная из этих векторов, должна иметь ранг равный $ 4_<> $. $$\operatorname \left( \begin 1 & 1 &-1 & 6 \\ 2 & \ <\color\alpha > & 2 & -5 \\ <\color\alpha > & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end \right)=4 \ \iff \ \left| \begin 1 & 1 &-1 & 6 \\ 2 & <\color\alpha > & 2 & -5 \\ <\color\alpha > & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end \right|= <\color\alpha >^2-10\, <\color\alpha > +16 \ne 0 \ . $$

Ответ. $ <\color\alpha >\not \in \ < 2,\, 8\>$.

Говорят, что система векторов $ \ $ образует базис пространства $ \mathbb V_<> $ относительно (или над) $ \mathbb V_1 $ если она л.н.з. относительно $ \mathbb V_1 $ и любой вектор $ X\in \mathbb V_<> $ можно представить в виде $$ X=c_1X_1+\dots+c_kX_k+Y, \quad \mbox < где >\quad Y\in \mathbb V_1 \ . $$

Теорема. Обозначим $ \ < Y_1,\dots,Y_\> $ — произвольный базис подпространства $ \mathbb V_1 $. Система $ \ $ образует базис $ \mathbb V_<> $ относительно $ \mathbb V_1 $ тогда и только тогда, когда система $ \ < X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots,Y_\> $ образует базис $ \mathbb V_<> $.

Доказательство. Действительно, любой вектор $ X\in \mathbb V_<> $ выражается через векторы $ X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots,Y_ $. По предыдущей теореме для линейной независимости этих векторов необходимо и достаточно относительной линейной независимости $ X_1,\dots,X_k $. ♦

Базис $ \mathbb V_<> $ строится дополнением базиса $ \mathbb V_1 $ векторами $ X_1,\dots,X_k $ линейно независимыми относительно $ \mathbb V_1 $. Поэтому $$<.>_<> \mbox <число векторов относительного базиса >\ = \dim \mathbb V — \dim \mathbb V_1 \ .$$

Это число называется коразмерностью 6) подпространства $ \mathbb V_1 $ в пространстве $ \mathbb V $.

Сумма и пересечение линейных подпространств

Пусть $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ — подпространства линейного пространства $ \mathbb V_<> $. Множество $$ \mathbb V_1+ \mathbb V_2 = \left\$$ называется суммой, а множество $$ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 = \left\$$ — пересечением подпространств $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $. Аналогично определяется сумма и пересечение произвольного количества подпространств.

Понятие пересечения линейных подпространств совпадает с понятием пересечения их как множеств.

Теорема. $ \mathbb V_1+ \mathbb V_2 $ и $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $ являются подпространствами линейного пространства $ \mathbb V_<> $.

Докажите, что $ \mathbb V_1+ \mathbb V_2 $ — это подпространство минимальной размерности, содержащее как $ \mathbb V_1 $, так и $ \mathbb V_2 $.

Теорема. Имеет место формула:

$$ \dim \, \mathbb V_1 + \dim \, \mathbb V_2=\dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) + \dim \, (\mathbb V_1 + \mathbb V_2) \ . $$

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Можно ли обобщить этот результат на случай трех (и более подпространств)? Cправедлив ли, к примеру, аналог формулы включений-исключений в следующем виде:

$$\dim \, \mathbb V_1 + \dim \, \mathbb V_2 + \dim \, \mathbb V_3 — $$ $$ -\left\ <\dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) + \dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_3) + \dim \, (\mathbb V_2 \cap \mathbb V_3) \right\>+ $$ $$+ \dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 \cap \mathbb V_3) =\dim \, (\mathbb V_1 + \mathbb V_2 + \mathbb V_3) \ ?$$

Теорема. Имеет место формула:

Пример. Найти базис суммы и размерность пересечения

$$\mathbb V_1=<\mathcal L>\left( \left[ \begin 0 \\1 \\ 1 \\ 1 \end \right] , \left[ \begin 1 \\1 \\ 1 \\ 2 \end \right] , \left[ \begin -2 \\0 \\ 1 \\ 1 \end \right] \right) \quad \mbox < и >\quad \mathbb V_2=<\mathcal L>\left( \left[ \begin -1 \\3 \\ 2 \\ -1 \end \right] , \left[ \begin 1 \\1 \\ 0 \\ -1 \end \right] \right) $$

Решение. Действуя согласно предыдущей теореме, составляем матрицу из всех векторов $$ \left( \begin 0 & 1 & -2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & -1 & -1 \end \right) $$ и ищем ее ранг методом окаймляющих миноров. Имеем: $ \operatorname = 3 $ при ненулевом миноре матрицы расположенном в первых трех ее столбцах.

Ответ. Базис $ \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ составляют векторы $ X_1,X_2,X_3 $; $ \dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) = 3+2 — 3 =2 $.

Алгоритм нахождения базиса $ <\mathcal L>(X_1,\dots,X_m) \cap <\mathcal L>(Y_1,\dots,Y_<\ell>) $ проиллюстрируем на примере.

Пример. Найти базис $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $ при

$$ \begin \mathbb V_1= <\mathcal L>\left( \left[ \begin 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end \right],\, \left[ \begin 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end \right],\, \left[ \begin 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end \right] \right) \\ <>_<> \qquad \qquad \quad X_1 \quad \quad \ X_2 \quad \quad X_3 \end ,\ \begin \mathbb V_2= <\mathcal L>\left( \left[ \begin 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end \right],\, \left[ \begin 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end \right],\, \left[ \begin 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end \right] \right) \\ <>_<> \quad \qquad \qquad Y_1 \qquad \ Y_2 \quad \quad Y_3 \end \ . $$

Решение. 1. Сначала найдем базисы каждого из подпространств: $$\dim \mathbb V_1=2, \ \mathbb V_1=\mathcal L(X_1, X_2) \ ; \ \dim \mathbb V_2=3,\ \mathbb V_2=\mathcal L(Y_1, Y_2, Y_3) \ . $$

2. Произвольный вектор $ Z\in \mathbb R^5 $, принадлежащий $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $, должен раскладываться по базису каждого из подпространств: $$Z=\alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2= \beta_1 Y_1 + \beta_2 Y_2 + \beta_3 Y_3 \ .$$ Для определения неизвестных значений координат составляем систему уравнений $$ \begin \qquad X_1 \ X_2 \\ \qquad <\color\downarrow> \ \ \ <\color\downarrow> \\ \left( \begin 1 & 1 & -1 & &-1 & & \ 0 \\ -1 & 2 & 0 & & -1 & & \ -1 \\ 1 & 1 & 0 & & 0 & & \ -1 \\ -1 & 2 & 0 & & -1 & & \ -1 \\ 1 & 1 & -1 & & -1 & &\ 0 \end \right) \\ \qquad \qquad \qquad <\color\uparrow> \qquad \ \ <\color\uparrow> \qquad \quad <\color\uparrow> \\ \quad \qquad \qquad -Y_1 \quad — Y_2 \quad -Y_3 \end \left( \begin \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end \right)= \mathbb O_ <5\times 1>$$ и решаем ее по методу Гаусса с нахождением фундаментальной системы решений: $$ \left( \begin 1 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) \left( \begin \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end \right)= \mathbb O \quad \Rightarrow \qquad \mbox < ФСР >\qquad \begin \alpha_1 & \alpha_2 & \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \\ \hline -1/3 & 1/3 & -1 & 1 & 0 \\ 1/3 & 2/3 & 1 & 0 & 1 \end $$

3. Получившиеся значения координат позволяют выразить базис пересечения — либо через базис подпространства $ \mathbb V_1 $ (если использовать полученные значения для $ \alpha_1,\alpha_2 $), либо через базис подпространства $ \mathbb V_2 $ (если использовать $ \beta_1,\beta_2, \beta_3 $). Например, $$ Z_1=-1/3 X_1 + 1/3 X_2 = [0,1,0,1,0]^<^<\top>>,\ $$ $$ Z_2=1/3 X_1 + 2/3 X_2 = [1,1,1,1,1]^<^<\top>> \ . $$

Найти базисы суммы и пересечения подпространств

Решение ☞ ЗДЕСЬ.

Прямая сумма линейных подпространств

Пусть $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ — подпространства линейного пространства $ \mathbb V_<> $. Говорят, что $ \mathbb V_<> $ раскладывается в прямую сумму подпространств $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ если любой вектор $ X\in \mathbb V_<> $ может быть представлен в виде $ X=X_1+X_2 $, где $ X_1\in \mathbb V_1,X_2\in \mathbb V_2 $ и такое представление единственно. Этот факт записывают: $ \mathbb V= \mathbb V_1 \oplus \mathbb V_2 $. Вектор $ X_ <1>$ называется проекцией вектора $ X_<> $ на подпространство $ \mathbb V_1 $ параллельно подпространству $ \mathbb V_ <2>$.

Пример. Линейное пространство квадратных матриц порядка $ n_<> $ раскладывается в прямую сумму подпространств: подпространства симметричных матриц и подпространства кососимметричных матриц. В самом деле, для матрицы $ A_ $ справедливо разложение

$$A=\frac<1> <2>\left(A+A^ <^\top>\right) + \frac<1> <2>\left(A-A^ <^\top>\right) $$ и в правой части первая скобка дает симметричную матрицу, а вторая — кососимметричную. Покажите, что не существует иного разложения матрицы $ A_<> $ в сумму симметричной и кососимметричной.

Теорема. Пусть $ \mathbb V=\mathbb V_1 + \mathbb V_2 $. Эта сумма будет прямой тогда и только тогда, когда подпространства $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ имеют тривиальное пересечение:

$$\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2=\ <\mathbb O \>\ .$$

Доказательство. Необходимость. Пусть сумма $ \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ — прямая, но существует вектор $ X\ne \mathbb O $, принадлежащий $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $. Но тогда и вектор $ (-X) $ принадлежит $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $. Для нулевого вектора $ \mathbb O $ получаем два представления в виде суммы проекций на подпространства: $$ \mathbb O = \mathbb O + \mathbb O = X+ (-X) \, . $$ Это противоречит понятию прямой суммы.

Достаточность. Если $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2=\ <\mathbb O \>$, но существует вектор $ X \in \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $, имеющий два различных разложения в сумму проекций $$ X=X_1+X_2 =Y_1+ Y_2 \quad npu \quad \ \subset \mathbb V_1, \ \ \subset \mathbb V_2, $$ то $$ (X_1-Y_1)+(X_2-Y_2) =\mathbb O \quad \Rightarrow \quad X_1-Y_1=Y_2-X_2 \, , $$ т.е. вектор $ X_1-Y_1 $ принадлежит $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $. Но, по предположению, $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2=\ <\mathbb O \>$, следовательно, $ X_1-Y_1=\mathbb O $, но тогда и $ Y_2-X_2=\mathbb O $. ♦

Сумма $ \mathbb V=\mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ будет прямой тогда и только тогда, когда базис $ \mathbb V_<> $ может быть получен объединением базисов $ \mathbb V_ $.

Пример [2]. Доказать, что сумма подпространств

$$\mathbb V_1=<\mathcal L>\left( \left[ \begin 2 \\3 \\ 11 \\ 5 \end \right] , \left[ \begin 1 \\1 \\ 5 \\ 2 \end \right] , \left[ \begin 0 \\1 \\ 1 \\ 1 \end \right] \right) \quad \mbox < и >\quad \mathbb V_2=<\mathcal L>\left( \left[ \begin 2 \\1 \\ 3 \\ 2 \end \right] , \left[ \begin 1 \\1 \\ 3 \\ 4 \end \right] , \left[ \begin 5 \\2 \\ 6 \\ 2 \end \right] \right) $$ будет прямой и найти проекции вектора $ Z=[2,0,0,3]^ <\top>$ на эти подпространства.

Решение. Базисы $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ составляют соответственно системы $ \ $ и $ \ < Y_1,Y_2 \>$, т.е. $ \dim \, \mathbb V_1=\dim \, \mathbb V_2 =2 $. На основании следствия достаточно установить, что объединенная система $ \ $ л.н.з. Для этого достаточно проверить, что определитель матрицы $$ A=\left( \begin 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 4 \end \right) $$ отличен от нуля. Поскольку это условие выполнено, то сумма $ \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ — прямая и базис этой суммы состоит из взятых векторов. Для нахождения разложения вектора $ X_<> $ по этому базису решаем систему уравнений $$A \left[ \begin \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \end \right] = Z $$ и получаем единственное решение: $ \alpha_2=-1,\, \alpha_3=-1,\, \beta_1 =1\, , \beta_2=1 $. Разложение $ Z=Z_1+Z_2 $ составляют векторы $ Z_1=\alpha_2 X_2+\alpha_3 X_3 $ и $ Z_2=\beta_1 Y_1+\beta_2 Y_2 $.

Линейные многообразия

Пусть $ \mathbb V_1 $ — линейное подпространство пространства $ \mathbb V_<> $, а $ X_ <0>$ — произвольный фиксированный вектор из $ \mathbb V_<> $. Множество $$ \mathbb M = X_0+ \mathbb V_1 = \left\ $$ называется линейным многообразием (порожденным подпространством $ \mathbb V_1 $). Размерностью этого многообразия называется размерность порождающего его подпространства: $ \dim \mathbb M = \dim \mathbb V_1 $. В случае $ 1 < \dim \mathbb M = k < \dim \mathbb V $ о многообразии $ \mathbb M $ говорят как о k-мерной плоскости (или гиперплоскости), а при $ k=1 $ — как о прямой.

Пример. Множество полиномов вида

$$ f(x)= a_0x^3+a_1x^2+a_2x+1 \in \mathbb R[x] \, , $$ т.е. таких, что $ \deg f \le 3, f(0)=1 $ образует линейное многообразие, порожденное линейным подпространством полиномов $ \ < x(a_0x^2+a_1x+a_2) \mid (a_0,a_1,a_2) \in \mathbb R^3 \>$.

Пересечение многообразий определяется традиционным способом, а сумма многообразий не определяется. Будем называть многообразия, порожденные одним и тем же подпространством $$ \mathbb M = X_0+ \mathbb V_1 \quad u \quad \widetilde <\mathbb M>= \widetilde X_0+ \mathbb V_1 \ , $$ параллельными многообразиями.

Пример. Множество столбцов пространства $ \mathbb R^ $, удовлетворяющих системе уравнений

$$ \left\<\begin a_<11>x_1 +a_<12>x_2+\ldots+a_<1n>x_n &=&b_1,\\ a_<21>x_1 +a_<22>x_2+\ldots+a_<2n>x_n &=&b_2,\\ \ldots& & \ldots \\ a_x_1 +a_x_2+\ldots+a_x_n &=&b_m \end\right. \iff AX= <\mathcal B>\ , $$ образует линейное многообразие. При $ <\mathcal B>\ne \mathbb O_ $ это многообразие не будет являться линейным пространством. Структуру этого множества описывала теорема из пункта ☞ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ: если система совместна, то ее общее решение можно представить как сумму какого-то одного ее решения и общего решения соответствующей однородной системы $ AX= \mathbb O $. Таким образом, многообразие решений неоднородной системы $ AX= <\mathcal B>$ допускает «параметрическое представление»: $$\mathbb M=X_0+ <\mathcal L>(X_1,\dots,X_>)= $$ $$=\left\> X_> \mid (t_1,\dots, t_>) \in \mathbb R^> \right\> \ ; $$ здесь $ X_ <0>$ означает частное решение системы (т.е. $ AX_0= <\mathcal B>$),

$ \>\> $ — ФСР для системы $ AX= \mathbb O $,

а $ \mathfrak r= \operatorname A= \operatorname [A\mid \mathcal B] $.

Получаем, следовательно, $ (n-<\mathfrak r>) $-мерную плоскость в $ \mathbb R^n $, a в случае $ (n-<\mathfrak r>)=1 $ — прямую $$\mathbb M=X_0+tX_1 \quad npu \ t \in \mathbb R \ ; $$ в последнем случае вектор $ X_ <1>$ называют направляющим вектором этой прямой.

Некоторые задачи на линейные многообразия ☞ ЗДЕСЬ.

Факторпространство

Преобразование координат при замене базиса

Пусть $ \mathbb V_<> $ — линейное пространство размерности $ n_<> $, пусть $$ \ \quad u \quad \<<\mathfrak X>_1,\dots,<\mathfrak X>_n\>$$ — два произвольных его базиса («старый» и «новый»).

Задача. Вывести соотношения, связывающие координаты произвольного вектора $ X\in \mathbb V_<> $ в старом и новом базисах: $$X=x_1X_1+\dots+x_nX_n=<\mathfrak x>_1<\mathfrak X>_1+\dots+<\mathfrak x>_n<\mathfrak X>_n \ .$$

Предположим, что нам известны координаты векторов нового базиса в старом: $$ \left\< \begin <\mathfrak X>_1&=&c_<11>X_1+c_<21>X_2+\dots+c_X_n, \\ <\mathfrak X>_2&=&c_<12>X_1+c_<22>X_2+\dots+c_X_n, \\ \dots& & \dots \\ <\mathfrak X>_n&=&c_<1n>X_1+c_<2n>X_2+\dots+c_X_n. \end \right. $$ Матрица $$ C=\left( \begin c_ <11>& c_ <12>& \dots & c_ <1n>\\ c_ <21>& c_ <22>& \dots & c_ <2n>\\ \dots & & & \dots \\ c_ & c_ & \dots & c_ \\ \end \right), $$ по столбцам которой стоят координаты новых базисных векторов в старом базисе называется матрицей перехода от старого базиса к новому, а также — ввиду одного из приведенных ниже результатов — матрицей преобразования координат.

Доказательство. Cначала покажем справедливость утверждения в частном случае $ \mathbb V=\mathbb R^n $. Вектора нового и старого базисов являются столбцами из $ n $ вещественных чисел, и равенства, задающие элементы матрицы $ C_<> $, можно переписать в матричном виде: $$ \left[<\mathfrak X>_1|\dots|<\mathfrak X>_n\right]=\left[X_1|\dots|X_n\right]\cdot C \ . $$ Здесь $ | $ означает конкатенацию. Поскольку системы $ \ $ и $ \<<\mathfrak X>_1,\dots,<\mathfrak X>_n\> $ — базисные, то $$\det \left[X_1|\dots |X_n\right] \ne 0, \quad \det \left[<\mathfrak X>_1|\dots |<\mathfrak X>_n\right] \ne 0 \ .$$ Из последнего матричного равенства (и теоремы Бине-Коши ) тогда следует, что $ \det C\ne 0 $.

Теперь докажем теорему для случая произвольного пространства. Если $ \det C= 0 $, то столбцы матрицы $ C_<> $ линейно зависимы (см. ☞ ЗДЕСЬ ), т.е. существует линейная комбинация $$\alpha_1 c_+ \dots+\alpha_n c_=0 \quad npu \quad \forall j\in \ <1,\dots,n \>$$ и при некотором $ \alpha_k\ne 0 $. Но тогда из формул $$ \left\< \begin <\mathfrak X>_1&=&c_<11>X_1+c_<21>X_2+\dots+c_X_n, \\ <\mathfrak X>_2&=&c_<12>X_1+c_<22>X_2+\dots+c_X_n, \\ \dots& & \dots \\ <\mathfrak X>_n&=&c_<1n>X_1+c_<2n>X_2+\dots+c_X_n. \end \right. $$ следует, что $$\alpha_1 <\mathfrak X>_1+ \dots+\alpha_n <\mathfrak X>_n=\mathbb O \ ,$$ что противоречит линейной независимости системы $ \<<\mathfrak X>_1,\dots,<\mathfrak X>_n\> $. ♦

Пример. Найти матрицу перехода

от базиса	к базису
$ \left[1,1,0,0,0\right] $	$ \left[1,1,1,1,1\right] $
$ \left[1,0,1,0,0\right] $	$ \left[1,1,1,1,0\right] $
$ \left[1,0,0,1,0\right] $	$ \left[1,1,1,0,0\right] $
$ \left[1,0,0,0,1\right] $	$ \left[1,1,0,0,0\right] $
$ \left[1,1,1,1,1\right] $	$ \left[1,0,0,0,0\right] $

Решение. Можно попытаться найти элементы матрицы $ C_<> $ напрямую — устанавливая формулы связи между строками. В нашем конкретном примере это не очень трудно сделать — первый и четвертый столбцы матрицы $ C_<> $ вообще очевидны поскольку $ <\mathfrak X>_1 = X_5,\, <\mathfrak X>_4 = X_1 $. Но мы пойдем по формальному пути и воспользуемся определяющим матричным соотношением, которое мы получили при доказательстве предыдущей теоремы. Поставим координаты базисных векторов по столбцам соответствующих матриц: $$ \left[<\mathfrak X>_1|\dots|<\mathfrak X>_n\right]=\left[X_1|\dots|X_n\right]\cdot C \quad \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \ C= \left[X_1|\dots|X_n\right]^ <-1>\cdot \left[<\mathfrak X>_1|\dots|<\mathfrak X>_n\right] \ . $$ В нашем примере имеем: $$ C= \left( \begin 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end \right)^ <-1>\left( \begin 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right)= $$ $$ =\frac<1> <3>\left( \begin 1 & 2 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end \right) \left( \begin 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) = $$ $$ =\left( \begin 0 & 1/3 & 2/3 & 1 & 1/3 \\ 0 & 1/3 & 2/3 & 0 & 1/3 \\ 0 & 1/3 & -1/3 & 0 & 1/3 \\ 0 & -2/3 & -1/3 & 0 & 1/3 \\ 1 & 2/3 & 1/3 & 0 & -1/3 \end \right) . $$ ♦

Теорема. Координаты вектора в старом и новом базисах связаны посредством матрицы перехода $ C_<> $ соотношениями

Практическое значение последнего результата невелико, т.к. нас интересуют именно новые координаты.

Новые координаты выражаются через старые по формуле

$$ \left( \begin <\mathfrak x>_1 \\ <\mathfrak x>_2 \\ \vdots \\ <\mathfrak x>_n \end \right) =C^ <-1>\left( \begin x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end \right), $$ при этом матрицу $ C^ <-1>$ можно интерпретировать как матрицу перехода от нового базиса к старому.

Пусть в некотором «новейшем» базисе $ \< <\mathcal X>_1,\dots,<\mathcal X>_n \> $ пространства $ \mathbb V_<> $ вектор $ X_<> $ имеет координаты $ (\varkappa_1,\dots,\varkappa_n) $. Как они связаны с координатами $ (x_<1>,\dots,x_n) $ в старом базисе $ \ $, если известны матрица $ C_<> $ перехода от этого базиса к базису $ \<<\mathfrak X>_1,\dots,<\mathfrak X>_n \> $ и матрица $ D_<> $ перехода от базиса $ \<<\mathfrak X>_1,\dots,<\mathfrak X>_n \> $ к базису $ \<<\mathcal X>_1,\dots,<\mathcal X>_n \> $ ?

Евклидовы пространства

— как линейные пространства, в которых вводится понятия угла и расстояния между векторами — рассматриваются ☞ ЗДЕСЬ.

Нормированные пространства

— как линейные пространства, в которых вводится понятие расстояния между векторами — рассматриваются ☞ ЗДЕСЬ.

Нахождение дополнения, суммы и пересечения подпространств

Нахождение алгебраического дополнения подпространства

1. Если подпространство задано как линейная оболочка столбцов матрицы , то множество решений однородной системы , т.е.

2. Если подпространство задано как множество решений однородной системы неизвестными, то линейная оболочка столбцов транспонированной матрицы является его алгебраическим дополнением , т.е.

где — i-й столбец матрицы (см. свойство 3 алгебраических дополнений подпространств).

Докажем сначала справедливость (8.16) в одномерном случае , а потом в общем. Пусть — одномерное подпространство — ненулевой столбец. Найдем алгебраическое дополнение подпространства . Рассмотрим уравнение . Множество решений однородной системы, состоящей из одного уравнения, образует подпространство . Найдем пересечение . Подставляя элемент в уравнение , что возможно только при . Следовательно, элемент принадлежит подпространству . Учитывая, что в .Таким образом,

Учитывая (8.18), докажем (8.16) в общем случае . Представим в виде суммы , где . Из (8.15) следует, что . Согласно (8.18), множество решений однородной системы, состоящей из одного уравнения, дополняет до всего пространства . Пересечение множеств решений отдельных уравнений дает, разумеется, множество решений системы этих уравнений. Поэтому , что и требовалось доказать. Утверждение (8.17) доказывается аналогично, используя (8.18).

Пример 8.10. Найти алгебраическое дополнение подпространства в пространстве многочленов не более, чем 3-й степени.

Решение. Сначала нужно переформулировать задачу для арифметического пространства (см. следствие теоремы 8.3 об изоморфизме конечномерных пространств). Для этого возьмем в стандартный базис . Пространство изоморфно и в стандартном базисе. Раскладывая по базису, получаем:

т.е. многочлену соответствует координатный столбец — элемент пространства для многочлена .

Таким образом, исходная задача сводится к следующей: требуется найти алгебраическое дополнение подпространства в пространстве — это множество решений системы , т.е. системы

Решаем ее методом Гаусса. Приводим матрицу системы к упрощенному виду, прибавляя ко второй строке первую, умноженную на (-1), поделив вторую строку на 5, а затем прибавив ее, умноженную на 2, к первой:

Базисные переменные , свободные — . Выражаем базисные переменные через свободные: . Находим фундаментальную систему решений. Подставляя стандартные наборы свободных переменных ( и ), получаем решения: , которые образуют фундаментальную систему решений и являются базисом алгебраического дополнения Полученный результат переносим в пространство многочленов. По координатному столбцу находим многочлен

Аналогично получаем . Искомое алгебраическое дополнение имеет вид

Проверим равенство . Для этого приравняем между собой линейные комбинации многочленов и

Чтобы это равенство выполнялось тождественно, все его коэффициенты должны быть равны нулю:

Ранг матрицы . Таким образом, равенство выполняется.

Нахождение алгебраической суммы подпространств

Для заданных подпространств требуется найти размерность и базис их алгебраической суммы и . Тогда, приписывая к образующим одного подпространства образующие другого подпространства, получаем образующие суммы подпространств

поскольку любой вектор имеет вид . Базис суммы можно найти как максимальную подсистему линейно независимых столбцов.

Пусть подпространства заданы как множества решений однородных систем уравнений (внешнее описание): и . Тогда, переходя к внутреннему описанию, сводим задачу к предыдущему случаю, а именно нужно выполнить следующие действия:

1) для каждой однородной системы и найти фундаментальные системы решений и соответственно. При этом получим и , где ;

2) по правилу (8.19) найти сумму .

Пример 8.11. Найти размерность и базис алгебраической суммы , если подпространство

подпространство — линейной оболочкой своих образующих:

Решение. Образующие подпространства , где . По правилу (8.19) получаем . Найдем базис этого подпространства как максимальную линейно независимую подсистему столбцов. Составляем из этих столбцов матрицу и приводим ее методом Гаусса к ступенчатому виду:

Первый, второй и четвертый столбцы полученной матрицы линейно независимы. Значит, соответствующие столбцы исходной матрицы так же линейно независимы (так как выполнялись элементарные преобразования только над строками). Поэтому они являются базисом .

Нахождение пересечения подпространств

Для заданных подпространств пространства требуется найти размерность и базис их пересечения . Рассмотрим методику решения этой задачи для двух случаев описания подпространств.

Пусть подпространства заданы как множества решений однородных систем уравнений (внешнее описание): и . Тогда, приписывая к системе , задающей одно подпространство, систему , задающую другое подпространство, получаем систему определяющую пересечение подпространств:

Базисом пересечения служит ее фундаментальная система решений.

Пусть подпространства пространства заданы линейными оболочками своих образующих (внутреннее описание): и . Переходя от внутреннего описания подпространств к внешнему, можно свести задачу к предыдущему случаю. Однако удобнее сделать иначе. Пересечению , которые можно представить как равные между собой линейные комбинации столбцов и столбцов соответственно:

Представим второе равенство в (8.21) в матричном виде , где — матрицы, составленные из данных столбцов, — столбцы коэффициентов линейных комбинаций. Равенство можно рассматривать как одно родную систему уравнений с неизвестными и . Каждому решению этой системы соответствует вектор , при надлежащий пересечению рассматривать однородную систему , решения которой обладают теми же свойствами (тогда вектор при надлежит пересечению и и базиса пересечения нужно выполнить следующие действия.

1. Составить блочную матрицу коэффициентов однородной системы уравнений , где матрицы образованы из заданных столбцов.

2. Для однородной системы с матрицей найти фундаментальную матрицу имеет размеры , где .

3. Из первых строк матрицы . Столбцы матрицы содержат искомые коэффициенты линейных комбинаций (8.21).

4. Записать пересечение .

5. Найти базис пересечения как максимальную линейно независимую подсистему образующих .

Пример 8.12. Найти размерности и базисы суммы , если они заданы линейными оболочками своих образующих: , где

Решение. Найдем базис и размерность суммы

Элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду:

По ступенчатому виду определяем, что первый, второй и четвертый столбцы линейно независимы. Следовательно, из 6 образующих подпространства (в этих столбцах расположен базисный минор матрицы). Следовательно, эти столбцы служат базисом суммы: и . По ступенчатому виду матрицы можно также определить размерности подпространств. В блоке . Ненулевые строки блока В' линейно независимы, следовательно, .

Найдем базис и размерность пересечения .

1. Первый пункт алгоритма выполнен выше: матрица однородной системы приведена к ступенчатому виду .

2. Находим фундаментальную систему решений (используя алгоритм, описанный в разд. 5.5). Приводим матрицу системы к упрощенному виду:

Базисные переменные: ; остальные переменные — свободные. Выражаем базисные переменные через свободные: . Придавая свободным переменным наборы значений

получаем линейно независимые решения

3. Из первых трех строк матрицы .

4. Вычисляем произведение

Столбцы этой матрицы являются образующими пересечения , где .

5. Найдем базис пересечения приводим к ступенчатому виду

По ступенчатому виду определяем, что последние два столбца матрицы линейно независимы. Следовательно, два столбца являются базисом пересечения и .

Проверим размерность пересечения подпространств, которую вычислим, используя формулу (8.13):

что совпадает с найденной ранее размерностью.

Пример 8.13. Найти размерности и базисы пересечения , если они заданы однородными системами уравнений:

Решение. Обозначим матрицы данных систем через соответственно. По правилу (8.20) пересечение Найдем базис пересечения — фундаментальную систему решений этой однородной системы уравнений. Составляем матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду, а затем к упрощенному виду:

Базисные переменные: , свободная переменная — . Выражаем базисные переменные через свободную: . Фундаментальная система содержит одно решение , которое получаем, задавая . Следовательно, и .

Найдем теперь сумму была найдена в примере 8.9. Следовательно,

Найдем фундаментальную систему решений однородной системы . Для этого приводим матрицу системы к ступенчатому виду, а затем к упрощенному:

Базисные переменные: , свободные переменные: . Выражаем базисные переменные через свободные: . Фундаментальная система состоит из двух решений , которые находим, придавая свободным переменным стандартные наборы значений ( и ). Следователь но, и . Чтобы определить базис, составим из столбцов матрицу и приведем ее к ступенчатому виду:

Первые три столбца линейно независимы. Следовательно, и .

Проверим размерность суммы подпространств. По формуле (8.13) получаем

что совпадает с найденной ранее размерностью.

Нахождение относительных алгебраических дополнений подпространств

Пусть дана цепочка подпространств подпространства .

Рассмотрим случай внешнего описания подпространств — как множеств решений однородных систем уравнений: и . Согласно (8.17) базис пространства образуют линейно независимые столбцы транспонированной матрицы составляют такие векторы , которые удовлетворяют системе . Если обозначить через , то линейно независимые столбцы матрицы , линейно независимой над удобнее производить, используя ступенчатые виды матриц и модифицированного ступенчатого вида (строки каждой из этих матриц линейно независимые).

2. Найти фундаментальную матрицу .

3. Вычислить матрицу . Ее столбцы образуют искомый базис .

Рассмотрим случай внутреннего описания подпространства . Согласно (8.16) множество решений системы уравнений составлена из образующих) является алгебраическим дополнением . Тогда множество решений системы является относительным дополнением , а ее фундаментальная система решений — базисом относительного дополнения.

Замечание 8.10. Способы описания подпространств комплексного линейного пространства, а также методы решения типовых задач аналогичны рассмотренным. В отличие от вещественного арифметического пространства вместо операции транспонирования матрицы в комплексном арифметическом пространстве нужно использовать операцию сопряжения матрицы.