Что такое измеримая функция
Перейти к содержимому

Что такое измеримая функция

  • автор:

Определение измеримой функции

Будем рассматривать пространство [math] (X, \mathcal A, \mu) [/math] , считаем, что мера [math] \mu [/math] — [math] \sigma [/math] -конечная, полная, то есть:

[math] X = \bigcup\limits_p X_p : \mu X_p \lt + \infty [/math]

[math] \mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow A \in \mathcal A, \mu A = 0 [/math]

Пусть [math] E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R [/math] , будем обозначать как [math] E (f [/math] обладает свойством [math] P )[/math] совокупность точек из [math]E[/math] , для которых свойство [math] P [/math] верно.

Определение:
[math] a \in \mathbb R [/math] , [math] E(f \lt a), E(f \le a), E(f \gt a), E(f \ge a) [/math] — множества Лебега функции [math] f [/math] .
Определение:
[math] f : E \rightarrow \mathbb R [/math] называется измеримой по Лебегу, если для любого [math] a \in \mathbb R [/math] множества Лебега всех четырех типов измеримы (то есть, принадлежат сигма-алгебре).

Пусть [math] E(f \lt a) [/math] — измеримо для любого [math] a [/math] . Установим измеримость остальных:

Используя ту же технику, легко установить, что из измеримости [math]f[/math] на [math]E[/math] следует и измеримость самого [math]E[/math] , [math]E = \bigcup\limits_^\infty E(f \lt n)[/math]

Пример измеримой функции — [math]f(x) = C[/math] на измеримом [math]E[/math] .

[math]E(f\lt a) = \left\ < \beginE &, C \lt a \\ \varnothing &, C \geq a \end \right. [/math]

Так как [math]E[/math] измеримо, то постоянная функция на нём измерима.

Всё это распространяется на [math]E = \bigcup\limits_p E_p[/math] , [math]E_p \in \mathcal, E_p [/math] — дизъюнктны.

Аналогично, измерима на [math]E[/math] функция [math]f : E \to \mathbb R [/math] , [math]f(x) = a_p, x\in E_p[/math] .

Установим измеримость [math]F(f\leq a)[/math] .

Проверим, что оно замкнуто.

Рассмотрим последовательность [math]\bar x_j \in F(f\leq a)[/math] , пусть она сходится к [math] \bar x [/math] . По определению множества Лебега, [math]f(\bar x_j) \leq a[/math] .

Так как [math] F [/math] — замкнутое, и [math]\bar x_j \in F[/math] , то предел тоже принадлежит [math]F[/math] . Значит, по непрерывности, [math]f(\bar x_j) \to f(\bar x)[/math] .

По непрерывности [math] f [/math] , из того, что [math] f(\bar x_j) \le a [/math] , следует [math]f(\bar x)\leq a [/math] , то есть, [math] \bar x \in F(f\leq a)[/math] .

Вывод: класс непрерывных функций содержится в классе измеримых.

Следует обратить внимание, что столь простые рассуждения проходят по той причине, что мы не интересуемся тем, как устроены множества Лебега. Нас интересует только одно их свойство — принадлежность [math]\mathcal[/math] . Природа этих множеств может быть крайне сложной.

1) [math]|f|[/math] — измерим
1.5) [math]kf[/math] — измерима ( [math]k \in \mathbb[/math] )
2) [math]f^2[/math] — измерим
3) [math]f + g[/math] — измерима

4) [math]f \cdot g[/math] — измеримо

1 и 2) доказываются одинаково. Рассмотрим, например, [math]E(f^2\lt a)[/math] .

При [math]a\geq 0[/math] оно может быть непустым. Но это равносильно [math]E(-\sqrt \lt f \lt \sqrt) = E(-\sqrt \lt f) \cap E(f\lt \sqrt)[/math] .

Это пересечение двух измеримых множеств Лебега [math]\Rightarrow[/math] измеримо.

1.5) Если [math] k = 0 [/math] , то [math] f = 0 [/math] и она измерима как постоянная.

3) Доказывается чуть сложнее

[math]f(x) + g(x) \gt a \iff g(x) \gt a — f(x)[/math]

Базируясь на том,что [math]\mathbb[/math] всюду плотно на оси, [math]\exists r \in \mathbb : g(x) \gt r \gt a — f(x)[/math]

Тогда [math]E(f + g\gt a) = \bigcup\limits_>(E(g\gt r) \cap E(f \gt a — r))[/math]

Это объединение пересечений измеримых множеств Лебега функций [math]f[/math] и [math]g[/math] , операций — счётное число. Значит, [math]f+g[/math] тоже измеримо.

Теория функций действительного переменного/Мера множеств, измеримые функции

Понятие меры множества является обобщением таких важных понятий математики, как:

  • длина отрезка прямой;
  • площадь плоской фигуры;
  • объём тела.

Понятие меры перешло из теории функций действительного переменного в теорию вероятностей, теорию динамических систем, функциональный анализ и другие области математики.

Содержание

Мера [ править ]

Определение меры [ править ]

Понятие меры множеств может быть введено аксиоматически.

Мерой называется функция множества   μ ( A ) <\displaystyle

\mu (A)> , заданная на полукольце множеств, принимающая неотрицательные вещественные значения и обладающая свойством аддитивности: для любого конечного разложения множества на объединение попарно непересекающихся множеств

имеет место равенство

Мера пустого множества равна нулю, это следует из равенства

и аддитивности меры

непересекающихся множеств, поэтому в силу аддитивности меры

из этого представления следует равенство

Продолжение меры с полукольца на кольцо [ править ]

Доказательство.

B_\in <\mathfrak >_,j\neq k\Rightarrow B_\cap B_=\varnothing > .

Возьмём объединение всех A k <\displaystyle A_> :

Аналогичные рассуждения можно провести и для B j <\displaystyle B_> :

Для доказательства единственности достаточно указать на тот факт, что для любого продолжения меры μ 1 <\displaystyle \mu _<1>> должно выполняться равенство

то выполняется неравенство

Доказательство.

В силу аддитивности меры

А так как мера — неотрицательная функция, то

то выполняется неравенство

Доказательство.

то по индукции можно показать, что

В силу аддитивности и неотрицательности нормы

откуда и следует утверждение теоремы.

Счётная аддитивность [ править ]

Иногда приходится рассматривать не только конечные, но и счётные объединения множеств. Это приводит к необходимости введения более сильного требования, чем аддитивность меры.

A> и любой счётной системы множеств

имеет место равенство

Доказательство.

являются попарно непересекающимися, кроме того, имеют место равенства

А в силу теоремы 1:

Докажем теперь теоремы, обобщающие теоремы 2 и 3 на случай σ-аддитивных мер.

то выполняется неравенство

Доказательство. В силу теоремы 2, при любом натуральном n <\displaystyle n>выполняется неравенство

Утверждение теоремы получается предельным переходом при n → ∞ <\displaystyle n\to \infty >.

то выполняется неравенство

Доказательство. Введём обозначение

Лебегово продолжение меры [ править ]

Случай полукольца с единицей [ править ]

то выполняется неравенство

Доказательство этой теоремы совпадает с доказательством теоремы 4.

Если внешняя мера рассматривается только на измеримых множествах, то её называют лебеговой мерой и обозначают μ ( A ) <\displaystyle \mu (A)>. При этом

Доказательство. Так как имеют место равенства

то для доказательства данной теоремы нужно показать, что если

что выполняются неравенства

и выполняется соотношение

Доказательство. Пусть даны множества

а по по теореме 7 для любого натурального числа N <\displaystyle N>:

откуда следует, что

Из σ-аддитивности меры Лебега следует её непрерывность.

Доказательство. Введём следующее обозначение:

В силу σ-аддитивности меры

что и требовалось доказать.

Следствие. Если дана последовательность вложенных множеств вида

то имеет место равенство

Для доказательства нужно применить теорему 10 к последовательности множеств

Случай полукольца без единицы [ править ]

ограничены некоторым независящим от N <\displaystyle N>числом.

Всякую σ-аддитивную меру, заданную на σ-алгебре, можно продолжить до полной меры, положив равной нулю меру произвольного подмножества каждого множества меры нуль. В дальнейшем мы будем предполагать, что любая σ-аддитивная мера, заданная на σ-алгебре, является полной.

Расширение понятия измеримости в случае σ-конечной меры [ править ]

Измеримые функции [ править ]

Определения и основные свойства [ править ]

Понятие измеримой функции обобщает понятие непрерывной функции.

выполняется для любого борелевского подмножества комплексной плоскости. Можно доказать, что это условие равносильно μ <\displaystyle \mu >-измеримости действительной и мнимой части данной функции.

Если из контекста понятно, о какой мере идёт речь, то вместо «μ-измеримая функция» часто говорят просто «измеримая функция».

Числовая функция, заданная на вещественной прямой, называется борелевской или B-измеримой, если прообраз каждого боролевского множества есть борелевское множество.

z = ϕ ( x ) = g ( f ( x ) )

Доказательство.

Замечание. Иногда условие данной теоремы принимают за определение измеримой функции.

Как видно из определения, понятие измеримой функции можно ввести независимо от наличия меры, достаточно указать, какие множества области определения и области значения являются измеримыми.

Арифметические операции над измеримыми функциями [ править ]

Теорема 2.3. Сумма, разность и произведение двух измеримых функций является измеримой функцией. Частное двух измеримых функций является измеримой функцией, если знаменатель не обращается в нуль.

Доказательство.

является измеримым, это следует из разложения

где объединение берётся по всем рациональным числам. Отсюда следует, что измеримо множество

Таким образом, сумма измеримых функций является измеримой функцией. Из равенства

следует, что разность измеримых функций измерима.

Для доказательства измеримости произведения двух измеримых функций воспользуемся тождеством

Сумма и разность измеримых функций измеримы по доказанному. Квадрат измеримой функции измерим в силу теоремы 1.

Во всех случаях справа получаем измеримое множество. Из равенства

следует, что отношение измеримых функций измеримо, если знаменатель не обращается в нуль.

Эквивалентные функции, сходимость почти всюду [ править ]

Доказательство.

отличаются друг от друга лишь на множество меры нуль. А так как меру без ограничения общности можно считать полной, то из измеримости второго множества следует измеримость первого. Утверждение теоремы следует отсюда по определению измеримой функции.

Используя понятие сходимости почти всюду, можно обобщить Теорему 2.4:

Доказательство.

По определению сходимости почти всюду:

Теорема Егорова [ править ]

Следующая важная теорема устанавливает связь между сходимостью почти всюду и равномерной сходимостью. Она замечательна, потому что может показаться очевидно неверной, однако она верна.

Дмитрий Фёдорович Егоров был одним из основателей московской математической школы, он был близко знаком с Н. Лузиным. Благодаря этой школе впервые наша отечественная наука вышла на лидирующие позиции в области математики. Это было достигнуто в двух-трёх поколениях людей, участвовавших в этой московской математической школе, у истоков которой стоял сам Егоров. О нём раньше мы не знали, поскольку он по совместительству был церковным старостой, что ему после революции «вышло боком» (т. е. его отправили в ссылку). Все участники школы (в частности, и сам Колмогоров) знали о Дмитрии Егорове, но написать в книжке это было решительно невозможно. Поэтому долгое время фигурировал безымянный человек, который по всему должен был быть выдающимся отечественным математиком, а был непонятно кто, к сожалению. Как известно из истории, потом времена переменились и, конечно, таких героев, как Дмитрий Егоров, сейчас надо знать. Егоров доказал вот такую удивительную теорему.

Каждый разумный человек, учивший математический анализ, скажет, что это явная и очевидная глупость. Потому что равномерная сходимость гораздо более «сильная», скажем так, чем просто поточечная сходимость (тут не то, что поточечная сходимость, а ещё сходимость почти всюду). Становится непонятно, о чём тут говорить. Другими словами, если вырезать множество сколь угодно малой меры, то на остатке сделать из сходимости почти всюду другую — сходимость равномерную, нам покажется, вообще говоря, нереальным.

Как известно, очевидные вещи делятся на 2 класса: 1) очевидные и верные и 2) очевидные и неверные. И очевидно неверные вещи тоже делятся на 2 класса: а) очевидно неверные, но таки верные, и б) очевидно неверные, которые на самом деле неверные.

Так вот теорема Егорова — это пример утверждения, который на первый взгляд кажется очевидно неверным, но на самом деле оно верно. Можно сказать даже, что это утверждение безумной силы, потому что этим условием дальше пользовались многие учёные [например, А. Лебег].

Между прочим, теорема Егорова является одной из первых теорем, которая ведёт по пути решения задачи об удвоении шара.

P.S. Доказательство этой теоремы было представлено в Москве.

Доказательство.

из данного определения ясно, что при заданном m <\displaystyle m>выполняются включения

Приближение измеримых функций простыми

Пусть — произвольное множество, — -алгебра его подмножеств. Пару называют измеримым пространством, а множества из — измеримыми.

Определение. Функция называется -измеримой (или просто измеримой), если для любого

Если и , то измеримую функцию называют измеримой по Лебегу, а если и , то измеримую функцию называют измеримой по Борелю или борелевской функцией.

Определение. Пусть , — -алгебра подмножеств множества . Функция называется измеримой на , если для любого

Непрерывная функция является борелевской, так как прообраз открытого множества открыт. Всякая борелевская функция измерима и по Лебегу.

Теорема 5.1. -измерима .

Доказательство. Так как множество , то достаточность очевидна.

Пусть теперь — измеримая функция. Обозначим через семейство всех таких подмножеств в , для которых . По условию для любого . Если , то и

Следовательно, . Если , то и

значит, . Следовательно есть -алгебра (), содержащая множества . Так как наименьшая -алгебра, содержащая множества , то . Теорема доказана.

2. Операции над измеримыми функциями

то из измеримости функции следует измеримость функции .

то из измеримости функции следует измеримость функции .

Теорема 5.2. Если функции измеримы, то функция также измерима.

Доказательство. Пусть . Из плотности в

Каждое из множеств , измеримо, следовательно, измеримо и их пересечение. Остается заметить, что множество пар счетно. Теорема доказана.

Заметим, что измеримой будет и функция .

Следствие. Если функции и измеримы, то измеримы будут и функции

Доказательство. Измеримость следует из равенства

3. Последовательности измеримых функций

Теорема 5.3. Если () — последовательность -измеримых функций, то функции , , -измеримы.

Пусть для . Покажем, что

Отсюда будет следовать измеримость .

Если , то существует такое , что . Для этого можно найти такое, что для будет выполнимо неравенство . Значит, войдет в правую часть (5.1).

Обратно, если принадлежит правой части (5.1), то существуют и такие, что для всех . Значит, . Теорема доказана.

4. Приближение измеримых функций простыми

Определение. Функция , определенная на измеримом пространстве , называется простой, если для

Простая функция измерима; сумма и произведение простых функций также является простой функцией.

Теорема 5.4. Пусть функция измерима. Тогда существует неубывающая последовательность неотрицательных простых функций, для которой

Доказательство. Для и положим

Если , то , а функция в этой же точке принимает одно из двух значений

Значит, . Если , то , a принимает одно из двух значений , . В этом случае также .

Если , то существует такое, что и для любого

Это доказывает, что .

Следствие 5.1. Пусть функция измерима. Тогда существует последовательность простых функций сходящаяся к на , для которой .

Тогда , — измеримые неотрицательные функции и . Согласно теореме 5.4, существуют две неубывающие последовательности неотрицательных простых функций и , сходящихся к и соответственно. При этом

Последовательность простых функций сходится к и

Следствие 5.2. Если функция измерима и ограничена, то существует последовательность простых функций, равномерно сходящихся к .

Доказательство. Пусть такое, что . Для каждых и положим

Тогда, очевидно, что для ,

ЛЕКЦИЯ 9

Пространство с мерой. Теорема Д.Ф. Егорова. Сходимость почти всюду и по мере. Теорема Рисса. -свойство измеримой функции Н.Н. Лузина.

1. Пространство с мерой

Определение. Тройка называется пространством с мерой, если — измеримое пространство, — мера на .

Будем предполагать, что — полная -конечная мера.

Говорят, что некоторое свойство выполняется -почти всюду ( -п.в. или просто п.в.), если оно выполняется на множестве , где .

Определение. Функции называются -эквивалентными (), если -п.в.

Отметим, что эквивалентные функции измеримы одновременно. Если измерима и для , , то

2. Теорема Д.Ф. Егорова

Теорема 6.1. Пусть — пространство с конечной полной мерой и — последовательность измеримых функций сходящаяся -почти всюду к функции . Тогда функция измерима и для всякого существует такое измеримое множество , что и на сходится равномерно к .

Доказательство. Пусть таково, что и , . Функция измерима на и на , следовательно, измерима. Пусть для

Каждое из множеств измеримо при любом

и, ввиду сходимости к на , ,

Для всякого найдется такое, что

Докажем равномерную сходимость на . Взяв произвольное , найдем так, что . Так как , то из (6.1) следует, что для и

Это доказывает равномерную сходимость на последовательности функций к .

3. Сходимость почти всюду и по мере. Теорема Рисса

Определение. Последовательность сходится к по -мере (), если любого

Теорема 6.2. Если и , то .

Доказательство. Положим для

Переходя к пределу при , получим , . Но

Теорема 6.3. Если -п.в., , то .

Доказательство. Пусть , . По теореме 6.1 существует множество , , на котором сходится к равномерно. Отсюда такое, что для всех

Обратное утверждение неверно. Для примера возьмем меру Лебега на . Построим последовательность функций следующим образом: , , и для () . Последовательность сходится по мере к функции , так как для

Вместе с тем, какую бы точку не взять, найдется бесконечное множество номеров , для которых при любом . Это означает, что не сходится к ни для одного . Тем не менее, справедлива следующая теорема.

Теорема 6.4. Если , то существует подпоследовательность -п.в.

Доказательство. Вследствие , можно выбрать последовательность из

и последовательность измеримых множеств таких, что

Положим , . Так как — убывающая последовательность множеств и

то, вследствие непрерывности меры,

Если , , то . Значит, найдется такое, что . Тогда для всех . Выберем и . Для всех

Это доказывает, что , , т.е. -п.в.

4. -свойство измеримой функции Н.Н. Лузина

Теорема 6.5. Пусть — -измеримое множество в и функция -измерима. Тогда для всякого найдется такое замкнутое множество , что и сужение на непрерывно (как функция на ).

Доказательство. Напомним, что для функция непрерывна на , если для любого открытого в множества существует такое открытое в множество , что .

Пусть , — семейство интервалов в с рациональными концами (это семейство счетно). Вследствие -измеримости множества по теореме 4.1 найдется такое открытое и в множество , что

Сужение на обозначим через . Имеем

Установим обратное включение. Имеем

что вместе с (6.3) дает (6.2).

Если — произвольное открытое множество в , то

Тогда учитывая (6.2), получим

Так как множество открыто, то непрерывна на .

По следствию 4.2 существует такое замкнутое в множество , что . На функция непрерывна и

Следствие 6.1. Пусть функция -измерима на множестве . Тогда для всякого существует непрерывная на функция , такая что

Если при этом , , то , .

Доказательство. Пусть . По теореме 6.5 существует такое замкнутое множество , что и сужение на непрерывно. Обозначим это сужение . Доопределим на всю прямую линейно на конечных составляющих интервалах открытого множества и значениями на и на . Тогда непрерывна на и , следовательно,

85629 (Измеримые функции)

Документ из архива «Измеримые функции», который расположен в категории » «. Всё это находится в предмете «математика» из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе «курсовые/домашние работы», в предмете «математика» в общих файлах.

Онлайн просмотр документа «85629»

Текст из документа «85629»

Определение и простейшие свойства измеримой функции

Если каждому x из множества E поставлено в соответствие некоторое число f(x), то мы будем говорить, что на множестве E задана функция f(x). При этом мы допускаем и бесконечные значения функции, лишь бы они имели определенный знак, т.е. вводим «несобственные» числа — и + . Эти числа связаны между собой и с любым конечным числом a неравенствами

и мы устанавливаем для них следующие законы действий:

обозначать множество тех x из множества Е, для которых выполнено неравенство f(x)>а.

Аналогичным образом вводятся символы

Е(f³а), Е(f=а), Е(f£а), Е(а а), В(f>а)

Определение 1. Функция f(x), заданная на множество Е, называется измеримой, если измеримо это множество Е и если при любом конечном а измеримо множество

В связи с тем, что здесь речь идет о множествах, измеримых в смысле Лебега, часто (желая подчеркнуть именно это обстоятельство) говорят об измеримой (L) функции. Если же Е и все множества Е(f>а) измеримы (В), то и f(x) называется измеримой (В) функцией.

Теорема 1. Всякая функция, заданная на множестве меры нуль, измерима.

Это утверждение очевидно.

Теорема 2. Пусть f(x) есть измеримая функция, заданная на множестве Е. Если А есть измеримое подмножество Е, то f(x), рассматриваемая только для xÎА, измерима.

Действительно, А(f>а) =А×Е (f>а).

Теорема 3. Пусть f(x) задана на измеримом множестве Е, представимом в форме суммы конечного числа или счетного множества измеримых множеств Еk :

E= ×

Если f(x) измерима на каждом из множеств ER., то она измерима и на Е.

В самом деле, E(f>a)= .

Определение 2. Две функции f(x) и g(x), заданные на одном и том же множестве Е, называются эквивалентными, если

Обозначать эквивалентность функций f(x) и g(x) принято так:

Определение 3. Пусть некоторое обстоятельство S имеет место для всех точек какого-нибудь множества Е, кроме точек, входящих в подмножество Е0 множества Е. Если mЕ0 = 0, то говорят, что S имеет место почти везде на множестве Е, или почти для всех точек Е.

В частности, множество исключительных точек Е0 может быть и пустым.

Теперь можно сказать, что две функции, заданные на множестве Е, эквиваленты, если они ровны почти везде на Е.

Теорема 4. Если f(х) есть измеримая функция, заданная на множестве Е, а g(x)

f(x), то g(x) также измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А = Е (f ¹ g), B = E – A. Тогда mA = 0, так что В измеримо. Значит функция f(x) измерима на множестве В. Но на множестве В функции f(x) и g(x) неотличимы, так что g(x) измерима на В. Поскольку g(x) измерима и на А (ибо mA = 0), она измерима на Е = А + В.

Теорема 5. Если для всех точек измеримого множества Е будет f(x) = c, то функция f(x) измерима.

E (f > a) =

Заметим, что в этой теореме с может быть и бесконечным.

Функция f(x), заданная на сегменте [а, b], называется ступенчатой, если [а,b] разложить точками.

с0 = а a), E(f £ a) = E – E(f > a),

E (f a) любым из множеств (1).

Теорема 7. Если функция f(x), заданная на множестве Е, измерима, а k конечное число, то измеримы и функции 1) f(x) + k, 2) kf(x), 3) çf (x)ç, 4) f 2 (x), и если f(x) ¹0, то измерима и функция 5) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Измеримость функции f(x) + k вытекает из соотношения Е (f+ k >a) = E (f>a- k).

2) Измеримость функции kf(x) при k =0 следует из теоремы 5. Для прочих k измеримость следует из очевидных соотношений

3) Функция çf(x) ç измерима потому, что

4) Аналогично, из того , что

вытекает измеримость функции f 2 (x).

5) Наконец, при f(x) ¹ 0 имеем

откуда и следует измеримость .

Теорема 8. Функция f(x), заданная и непрерывная на сегменте Е= , измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего установим, что множество

замкнуто. Действительно, если x0 есть предельная точка этого множества и xn®x0 (x n ÎF ), то f(xn) £a и, в силу непрерывности f(x), будет f(x0 ) £a, т.е. x0 ÎF, что и устанавливает замкнутость множества F.

Но тогда множество Е (f>а) = Е – Е(f£а) измеримо, и теорема доказана.

Из самого определения измеримой функции следует, что функция, заданная на неизмеримом множестве, неизмерима.

Однако легко обнаружить существование неизмеримой функции, заданной на измеримом множестве.

Определение 4. Пусть М есть подмножество сегмента Е = [А, В]. Функция jм (х), равная единице на множестве М и нулю на множестве Е–М, называется характеристической функцией множества М.

Теорема 9. Множество М и его характеристическая функция jм одновременно измеримы или нет.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если функция jM (х) измерима, то измеримость множества М вытекает из соотношения

Обратно, если М есть измеримое множество, то соотношения

устанавливают измеримость функции jМ (х).

Отсюда, между прочим, весьма просто получаются примеры разрывных измеримых функций.

Дальнейшие свойства измеримых функций

Лемма. Если на множестве Е заданы две измеримые функции f(х) и g(х), то множество Е (f >g) измеримо.

Действительно, если мы перенумеруем все рациональные числа r1, r2, r3, …, то легко проверим справедливость соотношения

Е (f > g) = Е (f > rk) Е (g . g(х), и если g(х) ¹ 0, то измерима также функция 4) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Функция а + g(х) измерима при любом а. Значит (на основании леммы), множество Е (f > а+g ), а так как E(f-g>a)=E(f>a+g), то измерима функция f (х) – g(х).

2) Измеримость суммы f(х) + g(х) следует из того, что

f(х) + g(х) = f(х) – [ — g (х)].

3) Измеримость произведения f(x) . g(x) вытекает из тождества

4) Наконец, измеримость частного есть следствие тождества

Эта теорема показывает, что действия арифметики, будучи применены к измеримым функциям, не выводят нас за пределы этого класса функций. Следующая теорема устанавливает сходный результат относительно уже не арифметической операции – предельного перехода.

Теорема 2. Пусть на множестве Е задана последовательность измеримых функций f1(x), f2(x), … Если в каждой точке х Е существует (конечный или бесконечный) предел

то функция F(х) измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем произвольные а и введем в рассмотрение множества

Эти множества, очевидно, измеримы, и для доказательства теоремы достаточно проверить, что

Займемся же проверкой этого тождества.

Пусть х Е (F>a), тогда F (x0) > a, и найдется такое натуральное m, что F(x0) > a + 1/m. Поскольку же fk (x) F (x0), то найдется такое n, что при k n будет

Иначе говоря, х0 А при всех k n, а тогда х0 В и тем более х0 . Отсюда следует, что Е (F > a) .

Теперь остается установить обратное включение

и теорема будет доказана.

Пусть х0 . Тогда х0 В при некоторых фиксированных n и m. Это значит, что х0 А для k n. Иначе говоря для k n будет fk(x0) > a+1/m.

Устремляя k к бесконечности и переходя в последнем неравенстве к пределу, получим, что F(x0)>a, т.е. x0 ÎE (F>a). Этим и доказано включение (*). Доказанная теорема допускает следующее обобщение.

Теорема 3. Пусть на множестве E заданы измеримые функции f1(x), f2(x), … и некоторая функция F(x). Если соотношение

выполняется почти везде на Е, то F(x) измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через А множество всех точек X Î Е, в которых соотношение (a) не имеет места (в этих точках предела может вовсе не существовать). По условию, mA=0 и F(x) измерима на множестве А. По теореме 2 она измерима и на множестве Е – А, а тогда она измерима и на всем множестве Е.

Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере.

В этом месте нам придется рассматривать множества вида Е (|f – g| ³ s), Е (|f – g| 0, будет

Д о к а з а т е л ь с т в о. Отметим прежде всего, что в силу теоремы 3, предельная функция f(x) также измерима и, стало быть, измеримы те множества, о которых идет речь.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *