Как найти арктангенс

Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = a, ctgx = a. Формулы преобразования аркфункций

Определение тангенса и котангенса через отношение сторон прямоугольника и с помощью касательной к числовой окружности – см. §3 данного справочника.
Свойства функции y=tgx на всей области определения \(x\in\mathbb\) — см. §6 данного справочника.
Свойства функции y=ctgx на всей области определения \(x\in\mathbb\) — см. §7 данного справочника.
Определение и свойства взаимно обратных функций — см. §2 справочника для 9 класса.

п.1. Понятие арктангенса

В записи \(y=tgx\) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – тангенс угла, действительное число в пределах от \(-\infty;\) до \(+\infty\). Т.е., по заданному углу мы находим тангенс.
Можно поставить обратную задачу: по заданному тангенсу найти угол. Но одному значению тангенса соответствует бесконечное количество углов. Например, если \(tgx=1\), то \(x=\frac\pi4+\pi k,\ k\in\mathbb\); если \(tgx=0\), то \(x=\pi k,\ k\in\mathbb\) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x главной ветвью тангенса: \(-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2\) (правая половина числовой окружности, вся ось тангенсов).

п.2. График и свойства функции y=arctgx

1. Область определения \(x\in\mathbb\) .
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами \(-\frac\pi2\leq arctgx\leq \frac\pi2\) .
Область значений \(y\in\left(-\frac\pi2; \frac\pi2\right)\)
3. Функция стремится к максимальному значению \(y_=\frac\pi2\ \text<при>\ x\rightarrow +\infty\)
Функция стремится к минимальному значению \(y_=-\frac\pi2\ \text<при>\ x\rightarrow -\infty\)
Функция имеет две горизонтальные асимптоты \(y=\pm\frac\pi2\) .
4. Функция возрастает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция нечётная: \(arctg(-x)=-arctg(x)\) .

п.3. Уравнение tgx=a

п.4. Понятие арккотангенса

По аналогии с арктангенсом, арккотангенс определяется на главной ветви котангенса: \(0\lt x\lt \pi\) (верхняя половина числовой окружности, вся ось котангенсов).

п.5. График и свойства функции y=arcctgx

1. Область определения \(x\in\mathbb\) .
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами \(0\lt arcctgx\lt \pi\) .
Область значений \(y\in(0;\pi)\)
3. Функция стремится к максимальному значению \(y_=\pi\ \text<при>\ x\rightarrow -\infty\)
Функция стремится к минимальному значению \(y_=0\ \text<при>\ x\rightarrow +\infty\)
Функция имеет две горизонтальные асимптоты \(y=0\ \text<и>\ y=\pi\) .
4. Функция убывает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция ни чётная, ни нечётная.

п.6. Уравнение ctgx=a

2) \(ctgx=2\)
\(x=arcctg2+\pi k\)
Можно также преобразовать уравнение в \(tg x=\frac<1><2>\)
Получаем ответ: \(x=arctg\frac12+\pi k\)
Очевидно, что \(arcctg 2=arctg\frac<1><2>\) (см. ниже формулы для аркфункций).

п.7. Формулы преобразования аркфункций

arcsin	arccos	arctg	arcctg
sin	\begin a\\ a\in[-1;1] \end	\begin \sqrt<1-a^2>\\ a\in[-1;1] \end	\begin \frac<\sqrt<1+a^2>>\\ a\in\mathbb \end	\begin \frac<1><\sqrt<1+a^2>>\\ a\in\mathbb \end
cos	\begin \sqrt<1-a^2>\\ a\in[-1;1] \end	\begin a\\ a\in[-1;1] \end	\begin \frac<1><\sqrt<1+a^2>>\\ a\in\mathbb \end	\begin \frac<\sqrt<1+a^2>>\\ a\in\mathbb \end
tg	\begin \frac<\sqrt<1-a^2>>\\ a\in(-1;1) \end	\begin \frac<\sqrt<1-a^2>>\\ a\in(-1;0)\cup(0;1) \end	\begin a\\ a\in\mathbb \end	\begin \frac<1>\\ a\ne 0 \end
ctg	\begin \frac<\sqrt<1-a^2>>\\ a\in(-1;0)\cup(0;1) \end	\begin \frac<\sqrt<1-a^2>>\\ a\in(-1;1) \end	\begin \frac<1>\\ a\ne 0 \end	\begin a\\ a\in\mathbb \end

arcsin
arccos	$$ arcsina= \begin arccos\sqrt<1-a^2>,\ 0\leq a\leq 1\\ -arccos\sqrt<1-a^2>,\ -1\leq a\lt 0 \end $$
arctg	$$ arcsina=arctg\frac<\sqrt<1-a^2>>,\ \ -1\lt a\lt 1 $$
arcctg	$$ arcsina= \begin arcctg\frac<\sqrt<1-a^2>>,\ 0\lt a\leq 1\\ -arcctg\frac<\sqrt<1-a^2>>-\pi,\ -1\leq a\lt 0 \end $$

arccos
arcsin	$$ arccosa= \begin arcsin\sqrt<1-a^2>,\ 0\leq a\leq 1\\ \pi-arcsin\sqrt<1-a^2>,\ -1\leq a\lt 0 \end $$
arctg	$$ arccosa= \begin arcctg\frac<\sqrt<1-a^2>>,\ 0\lt a\leq 1\\ \pi+arctg\frac<\sqrt<1-a^2>>,\ -1\leq a\lt 0 \end $$
arcctg	$$ arccosa=arcctg\frac<\sqrt<1-a^2>>,\ \ -1\lt a\lt 1 $$

arctg
arcsin	$$ arctga=arcsin\frac<\sqrt<1+a^2>>,\ \ a\in\mathbb $$
arccos	$$ arctga= \begin arccos\frac<1><\sqrt<1+a^2>>,\ a\geq 0\\ -arccos\frac<1><\sqrt<1+a^2>>,\ a\lt 0 \end $$
arcctg	$$ arctga=arcctg\frac<1>,\ \ a\ne 0 $$

arcctg
arcsin	$$ arcctga= \begin arcsin\frac<1><\sqrt<1+a^2>>,\ a\geq 0\\ \pi-arcsin\frac<1><\sqrt<1+a^2>>,\ a\lt 0 \end $$
arccos	$$ arcctga=arccos\frac<\sqrt<1+a^2>>,\ \ a\in\mathbb $$
arctg	$$ arcctga=arctg\frac<1>,\ \ a\ne 0 $$

п.8. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арктангенсу. Постройте графики арктангенса и найденной функции в одной системе координат.

Для \(y=arctgx\) область определения \(x\in\mathbb\), область значений \(-\frac\pi2\leq y\leq \frac\pi2\).
Обратная функция \(y=tgx\) должна иметь ограниченную область определения \(-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2\) (главная ветвь) и область значений \(y\in\mathbb\).
Строим графики:

Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

Пример 3. Вычислите:
a) \(2arccos\left(-\frac12\right)+arctg(-1)+arcsin\frac<\sqrt<2>><2>=2\cdot\frac<2\pi><3>-\frac\pi4+\frac\pi4=\frac<4\pi><3>\)
б) \(arcsin1-arccos\frac<\sqrt<3>><2>-arctg(\sqrt<-3>)=arcsin1-\frac\pi3+\frac\pi3=arcsin1\)
в) \(arctg4+arcsin0-arccos1=arctg4+0-0=arctg4\)
г) \(5-2arccos0+arcsin\frac<\sqrt<2>><2>+3arccos\frac<\sqrt<2>><2>=5-2\cdot\frac\pi2+\frac\pi4+3\cdot\frac\pi4=5\)

Пример 4. Постройте графики функций:
\(a)\ y=arccos\left(\frac<1>\right)+arccos\left(-\frac<1>\right)\)
Сумма арккосинусов \(arccosa+arccos(-a)=\pi\), где \(-1\leq a\leq 1\).
Получаем систему для определения ОДЗ: \begin -1\leq \frac<1>\leq 1\Rightarrow 0\leq \frac<1>+1\leq 2\Rightarrow \begin \frac\geq 0\\ \frac\leq 2 \end \Rightarrow \begin \frac\geq 0\\ \frac<-x+1>\leq 0 \end \Rightarrow \begin \frac\geq 0\\ \frac\geq 0 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt 0\\ x+1\geq 0\\ x-1\geq 0 \end \\ \begin x\lt 0\\ x+1\leq 0\\ x-1\leq 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt 0\\ x\geq 1 \end \\ \begin x\lt 0\\ x\leq -1 \end \end \right. \Rightarrow x\leq -1\cup x\geq 1 \end Заметим, что используя модуль, тот же результат можно получить значительно быстрей: $$ -1\leq\frac<1>\leq 1\Leftrightarrow |\frac<1>|\leq 1\Leftrightarrow |x|\geq 1 $$ Таким образом, ОДЗ – вся числовая прямая, кроме \(x\notin(-1;1).\) $$ y=arccos\left(\frac<1>\right)+arccos\left(-\frac<1>\right)\Leftrightarrow \begin y=\pi\\ x\notin (-1;1) \end $$ Строим график:

\(б)\ y=arcctg(\sqrt)+arcctg(-\sqrt)\)
Сумма арккотангенсов \(arcctga+arcctg(-a)=\pi\), где \(a\in\mathbb\)
ОДЗ ограничено требованием к подкоренному выражению: \(x\geq 0\)
$$ y=arcctg\left(\sqrt\right)+arcctg\left(-\sqrt\right)\Leftrightarrow \begin y=\pi\\ x\geq 0 \end $$ Строим график:

Пример 5*. Запищите в порядке возрастания:
$$ arctg\left(\frac\pi4\right),\ \ arcsin\left(\frac\pi4\right),\ \ arctg1 $$

Пример 6*. Решите уравнения:

a) \(arccosx=arctgx\)
ОДЗ определяется ограничением для арккосинуса: \(-1\leq x\leq 1\)
Арккосинус ограничен \(0\leq arccosx\leq \pi\), арктангенс \(-\frac\pi2\leq arctgx\lt\frac\pi2\)
Т.к. по условию они равны, ограничение сужается до \(0\leq arctgx\lt \frac\pi2\) и \(0\leq arccos x\lt \frac\pi2\) $$ arccosx=arctgx\Leftrightarrow \begin x=cos(arctgx)\\ -1\leq x\leq 1\\ 0\leq arctgx\lt\frac\pi2\\ 0\leq arccosx\lt\frac\pi2 \end \Leftrightarrow \begin x=cos(arctgx)\\ -1\leq x\leq 1\\ 0\leq x\\ 0\lt x\leq 1 \end \Leftrightarrow \begin x=cos(arctgx)\\ 0\lt x\lt 1 \end $$ Для решения можно воспользоваться готовой формулой для \(cos(arctgx)\).
Выведем её. Пуcть \(arctgx=\varphi\). Тогда \(x=tg\varphi\) и $$ cos(arctgx)=cos\varphi=\sqrt<\frac<1><1+tg^2\varphi>>=\sqrt<\frac<1><1+x^2>> $$ Получаем уравнение: $$ x=\sqrt<\frac<1><1+x^2>>\Rightarrow x^2=\frac<1><1+x^2>\Rightarrow x^2(1+x^2)=1\Rightarrow x^4+x^2-1=0 $$ $$ D=1+4=5,\ \ x^2=\frac<-1\pm\sqrt<5>> <2>$$ Квадрат числа не может быть отрицательным. Остаётся корень \(x^2=\frac<\sqrt<5>-1><2>\)
Откуда \(x=\pm\sqrt<\frac<\sqrt<5>-1><2>>\)
По условию \(0\lt x\lt 1\). Получаем \(x=\sqrt<\frac<\sqrt<5>-1><2>>\)
Ответ: \(\sqrt<\frac<\sqrt<5>-1><2>>\)

б) \(arccos^2x+arcsin^2x=\frac<5\pi^2><36>\)
Используем формулу для суммы: \(arccosx+arcsinx=\frac\pi2\)
Получаем: \begin arccos^2x+\left(\frac\pi2-arccosx\right)^2=\frac<5\pi^2><36>\\ arccos^2x+\frac<\pi^2><4>-\pi arccosx+arccos^2x=\frac<5\pi^2><36>\\ 2arccos^2x-\pi arccosx+\frac<\pi^2><9>=0\\ D=(-\pi)^2-4\cdot 2\cdot \frac<\pi^2><9>=\pi^2-\frac89\pi^2=\frac<\pi^2><9>\\ arccosx=\frac<\pi\pm\frac\pi3><4>\Rightarrow \left[ \begin arccosx_1=\frac\pi6\\ arccosx_2=\frac\pi3 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=cos\frac\pi6=\frac<\sqrt<3>><2>\\ x_2=cos\frac\pi3=\frac12 \end \right. \end Ответ: \(\left\<\frac12; \frac<\sqrt<3>><2>\right\>\)

в) \(arcsin\frac<\sqrt<3x+2>><2>=arcctg\sqrt<\frac<2>>\)
ОДЗ определяется ограничением для арксинуса: \( -1\leq \frac<\sqrt<3x+2>><2>\leq 1\)
Арксинус ограничен \(-\frac\pi2\leq arcsin\frac<\sqrt<3x+2>><2>\leq\frac\pi2\), арккотангенс \(0\leq arcctg\sqrt<\frac<2>>\lt\pi\)
Т.к. по условию они равны, ограничение сужается до \(0\leq arcctg\sqrt<\frac<2>>\lt\frac\pi2\) и \(0\leq arcsin\frac<\sqrt<3x+2>><2>\lt\frac\pi2\). \begin arcsin\frac<\sqrt<3x+2>><2>=arcctg\sqrt<\frac<2>>\Leftrightarrow \begin \frac<\sqrt<3x+2>><2>=sin\left(arcctg\sqrt<\frac<2>>\right)\\ -1\leq\frac<\sqrt<3x+2>><2>\leq 1\\ 0\leq arcsin\frac<\sqrt<3x+2>><2>\lt\frac\pi2\\ 0\leq arcctg\sqrt<\frac<2>>\lt\frac\pi2 \end \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow \begin \frac<\sqrt<3x+2>><2>=sin\left(arcctg\sqrt<\frac<2>>\right)\\ -1\leq\frac<\sqrt<3x+2>><2>\leq 1\\ 0\leq \frac<\sqrt<3x+2>><2>\lt 1\\ 0\leq \sqrt<\frac<2>> \end \Leftrightarrow \begin \frac<\sqrt<3x+2>><2>=sin\left(arcctg\sqrt<\frac<2>>\right)\\ 0\leq \frac<\sqrt<3x+2>><4>\lt 1\\ \frac<4>\geq 0 \end \end Для ОДЗ получаем: $$ \begin 0\leq 3x+2\lt 4\\ x+1\gt 0 \end \Rightarrow \begin -2\leq 3x \lt 2\\ x\gt -1 \end \Rightarrow \begin -\frac23\leq x \lt \frac23\\ x\gt -1 \end \Rightarrow -\frac23\leq x\lt\frac23 $$ ОДЗ: \(-\frac23\leq x\lt \frac23\)
Выведем формулу для синуса арккотангенса.
Пусть \(arcctgx=\varphi \Rightarrow x=ctg\varphi\)
Тогда \(sin(arcctgx)=sin\varphi=\sqrt<\frac<1><1+ctg^2\varphi>>=\sqrt<\frac<1><1+x^2>>\)
Правая часть уравнения: $$ sin\left(arcctg\sqrt<\frac<2>>\right)= \sqrt<\frac<1><1+\left(\sqrt<\frac<2>>\right)>>= \sqrt<\frac<1><1+\frac<2>>>=\sqrt<\frac> $$ Подставляем: \begin \frac<\sqrt<3x+2>><2>=\sqrt<\frac>\Rightarrow \frac<3x+2><4>=\frac\Rightarrow (3x+2)(x+3)=4(x+1)\Rightarrow\\ \Rightarrow 3x^2+11x+6=4x+4\Rightarrow 3x^2+7x+2=0\\ D=49-4\cdot 3\cdot 2=25\\ x=\frac<-7\pm5><6>\Rightarrow \left[ \begin x_1=-2 — \text< не подходит по ОДЗ>\\ x_2=-\frac13 \end \right. \end Ответ: \(-\frac13\)

Тригонометрические функции

Тригонометрия — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, архитектуре и геодезии.

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Например, большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников.

Определение обратных тригонометрических функций

Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

• Арксинус (обозначение: arcsin x )
• Арккосинус (обозначение: arccos x )
• Арктангенс (обозначение: arctg x )
• Арккотангенс (обозначение: arcctg x )
• Арксеканс (обозначение: arcsec x )
• Арккосеканс (обозначение: arccosec x )

Свойства функции арксинус и ее график

Арксинусом числа x называется такое значение угла y, выраженного в радианах, для которого

Свойства функции арксинус:

• Функция арксинус является нечетной;
• Функция арксинус непрерывна и ограничена на всей своей области определения;
• Функция арксинус является строго возрастающей;

Свойства функции арккосинус и ее график

Арккосинусом числа x называется такое значение угла y в радианной мере, для которого

Свойства функции арккосинус:

• Функция арккосинус является индифферентной (ни чётной, ни нечётной);
• Функция арккосинус непрерывна и ограничена на всей своей области определения;
• Функция арккосинус является строго убывающей и неотрицательной;

Свойства функции арктангенс и ее график

Арктангенсом числа x называется такое значение угла y, выраженное в радианах, для которого

Свойства функции арктангенс:

• Функция арктангенс является нечётной;
• Функция арктангенс определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена;
• Функция арктангенс является строго возрастающей;

Свойства функции арккотангенс и ее график

Арккотангенсом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого

Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a , тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного π 3 , то значение косинуса отсюда равно 1 2 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 1 2 получим π на 3 . Такое тригонометрическое выражение записывается как a r cos ( 1 2 ) = π 3 .

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π 3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 1 2 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид a r c cos 1 2 = 60 °

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0 , ± 30 , ± 45 , ± 60 , ± 90 , ± 120 , ± 135 , ± 150 , ± 180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin ( — π 2 ) = — 1 , sin ( — π 3 ) = — 3 2 , sin ( — π 4 ) = — 2 2 , sin ( — π 6 ) = — 1 2 , sin 0 = 0 , sin π 6 = 1 2 , sin π 4 = 2 2 , sin π 3 = 3 2 , sin π 2 = 1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от — 1 и заканчивая 1 , также значения от – π 2 до + π 2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

в р а д и а н а х

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0 = 1 , cos π 6 = 3 2 , cos π 4 = 2 2 , cos π 3 = 1 2 , cos π 2 = 0 , cos 2 π 3 = — 1 2 , cos 3 π 4 = — 2 2 , cos 5 π 6 = — 3 2 , cos π = — 1

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

a r c cos ( — 1 ) = π , arccos ( — 3 2 ) = 5 π 6 , arcocos ( — 2 2 ) = 3 π 4 , arccos — 1 2 = 2 π 3 , arccos 0 = π 2 , arccos 1 2 = π 3 , arccos 2 2 = π 4 , arccos 3 2 = π 6 , arccos 1 = 0

в р а д и а н а х

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

α		— 3	— 1	— 3 3	0	3 3	1	3
a r c t g a к а к у г о л	в р а д и а н а х	— π 3	— π 4	— π 6	0	π 6	π 4	π 3
	в г р а д у с а х	— 60 °	— 45 °	— 30 °	0 °	30 °	45 °	60 °
a r c t g a к а к ч и с л о		— π 3	— π 4	— π 6	0	π 6	π 4	π 3

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g

Для точного значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g противоположных чисел вида a r c sin ( — α ) = — a r c sin α , a r c cos ( — α ) = π — a r c cos α , a r c t g ( — α ) = — a r c t g α , a r c c t g ( — α ) = π — a r c c t g α .

Рассмотрим решение нахождения значений a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса 0 , 2857 , ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0 , 2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0 , 2863 используется та самая поправка в 0 , 0006 , так как ближайшим числом будет 0 , 2857 . Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Таким образом находятся значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g .

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы a r c sin α + a r c cos α = π 2 , a r c t g α + a r c c t g α = π 2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

При известном a r c sin α = — π 12 необходимо найти значение a r c cos α , тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

a r c cos α = π 2 − a r c sin α = π 2 − ( − π 12 ) = 7 π 12 .

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный π 10 , а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π 10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0 , 9511 , после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

При поиске значения арктангенса 0 , 9511 определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.

Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.

Обратная тригонометрическая функция: Арктангенс (arctg)

Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция.

Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x , где x – любое число (x∈ℝ).

Если тангенс угла у равен х (tg y = x), значит арктангенс x равняется y :

Примечание: tg -1 x означает обратный тангенс, а не тангенс в степени -1.

Например:

arctg 1 = tg -1 1 = 45° = π/4 рад

График арктангенса

Функция арктангенса пишется как y = arctg (x) . График в общем виде выглядит следующим образом:

Свойства арктангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арктангенса с формулами.