Как построить окружность по 3 точкам
БлогNot. Mathcad: построить окружность по трём точкам
Mathcad: построить окружность по трём точкам
В тему этой заметки, только окружность должна проходить через три заданные точки A , B , C , не лежащие на одной прямой.
Установим начало отсчёта размерностей ORIGIN в единицу и зададим точки как три вектора из двух элементов каждый. После этого в блоке Given — Find решим систему из трёх уравнений, составленных исходя из того, что окружность проходит через три точки 🙂
На выходе получим координаты центра окружности (a,b) и её радиус R , используем то из решений, где радиус положительный.
Нам останется получить уравнения y1(x) , y2(x) для половинок окружности и изобразить всю информацию на обычном двумерном графике.
Вот скриншоты с этим расчётом и документ Mathcad.
расчёт окружности, проходящей через 3 точки в Mathcad
расчёт окружности, проходящей через 3 точки в Mathcad
Разумеется, расчёт можно понимать и в плане вычисления радиуса и центра окружности, описанной вокруг треугольника на плоскости, заданного координатами своих трёх вершин.
Ниже показан расчёт, сделанный в Mathcad Prime 7 с помощью блока решения.
Окружность, описанная вокруг треугольника на плоскости, Mathcad Prime 7 (фрагмент скриншота)
Как построить окружность по 3 точкам
Paul Bourke
Перевод Кантора И.А.
Пусть даны три точки P1, P2,P3 плоскости.
Проведем через пары точек две прямые. Первая линия пусть проходит через P1 и P2, а прямая b — через P2 и P3.
Уравнения этих прямых будут
где m — коэффициент наклона линии, получаемый из
Центр круга — находится на пересечении двух перпендикулярных прямых, проходящих через середины отрезков P1P2 и P2 P3. Легко доказать, что прямая, перпендикулярная к линии с коэффициентом наклона m имеет коэффициент наклона -1/m, значит уравнения прямых, перпендикулярных a и b и проходящих через середины P1P2 и P2P3 будут
Они пересекаются в центре, и решение относительно x дает
Значение у вычислим подстановкой x в уравнение одного из перпендикуляров. Можно и наоборот: сначала решить относительно y, а потом найти x.
Радиус найти элементарно. Например, точка P1 лежит на окружности. и мы знаем центр..
-
Знаменатель (mb — ma) равен нулю, когда прямые параллельны. В этом случае они совпадают, то есть круга не существует.
13.2. Окружность по трем точкам
Задайте точки т1 , т2 и т3 , через которые должна пройти окружность. Координаты центра окружности и ее радиус будут определены автоматически.
Рис. 13.2. Окружность по трем точкам
13.3. Окружность с центром на объекте
Чтобы построить окружность с центром на указанной кривой, вызовите команду Ок ружность с центром на объекте .
Укажите объект, на котором должен лежать центр окружности.
Задайте первую точку т1 , через которую проходит создаваемая окружность.
▼ Если известно положение второй точки т2 , лежащей на окружности, задайте ее.
▼ Если известно значение радиуса или диаметра окружности, введите его в поле ввода па! раметра на Панели свойств. По умолчанию система ожидает ввода диаметра. При этом в группе Параметр активен переключатель Диаметр .
Чтобы ввести радиус окружности, активизируйте переключатель Радиус .
На экране появятся фантомы всех вариантов окружностей, удовлетворяющих заданным параметрам.
Активизируйте подходящий фантом и зафиксируйте его.
Рис. 13.3. Окружности с центрами, лежащими на сплайне: а) проходящие через точки т1 и т2 , б) с равными радиусами и проходящие через точку т1
Чтобы перейти к построению окружностей с центром на другом объекте, нажмите кнопку Указать заново , а затем укажите курсором новый базовый объект.
Уравнение окружности, проходящей через три заданные точки
Этот онлайн-калькулятор находит окружность, проходящую через три заданные точки. Калькулятор находит центр, радиус и уравнение окружности, и строит окружность на графике. Методы, использованные для нахождения центра и радиуса окружности, описаны ниже под калькулятором.
Уравнение окружности, проходящей через три заданные точки
Первая точка
Вторая точка
Третья точка
Центр
Как найти окружность, проходящюю через три заданные точки
Давайте вспомним как выглядит уравнение окружности в стандартной форме:
Так как все три точки принадлежат одной окружности, мы можем записать систему уравнений
Значения , и мы знаем. Давайте сделаем подстановку с неизвестными переменнами a, b и c.
Теперь у нас есть три линейных уравнения для трех неизвестных — составим систему уравнений соответствующую матричной форме:
Мы можем решить эту систему уравнений, используя, к примеру, Гауссово исключение. (подробнее прочитать об этом можно здесь — Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса ). "Нет решений" — означает, что точки коллинеарны и окружность через них провести нельзя.
Координаты центра окружность и ее радиус относится к подобному решению
Зная центр и радиус, мы можем получить уравнение окружности, используя этот калькулятор — Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах