Определенный интеграл как предел интегральной суммы

§3. Определенный интеграл как предел интегральных сумм

Криволинейной трапецией называется область на плоскости ограниченная осью, прямыми,гдеи графиком непрерывной на отрезкефункции(см. рис.1).

азбиением отрезка наn частей называется набор чисел из этого отрезка, гдеи. В каждом отрезке (элементарном участке)разбиения выберем некоторую точку. Такое разбиение обозначим буквой, а длину элементарного участка — через. Пусть на отрезкеопределена некоторая функция.

Определение. Интегральной суммой для функции , построенной по разбиениюотрезка, называется сумма произведений значений функции в выбранных точкахна длины элементарных участков.

Обозначение: . Еслив , то приближенно равнаплощади соответствующей криволинейной трапеции.

Определение. Определенным интегралом от функции на отрезкеназывается предел интегральных сумм этой функции по разбиениям отрезка, у которых максимальныйстремится к нулю, т.е.

.

Если в, то этот интеграл выражаетточную площадь соответствующей криволинейной трапеции.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезкеили имеет на нем конечное число точек разрыва первого рода, то эта функция интегрируема на, т.е.существует.

§4. Свойства определенного интеграла

В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые функции – интегрируемы в соответствующих отрезках.

1) ,— постоянная.

2) Если на, то.

3) Оценка определенного интеграла снизу и сверху. Если на отрезке функцияограничена снизу и сверху числамиm и , т.е. если на ,то .

4) Теорема о среднем. Пусть функция непрерывна на отрезке, тогда на этом отрезке найдется такая точкаc, что

.

Это значение называетсясредним значением функции на .

5) Оценка модуля определенного интеграла. .

6) Свойство линейности.

6) Свойство аддитивности. Если выполняется неравенство , то

.

Если , то интеграломназывается число. Интегралсчитается равным нулю. Свойство аддитивности справедливо (при условии существования интегралов) для чиселрасположенных в любом порядке, т.е. требованиездесь не обязательно.

Теорема 1. (Ньютона — Лейбница) Пусть функция непрерывна на отрезкеи функцияесть ее первообразная на этом отрезке, тогда

.

Теорема 2. (Замена переменной в определенном интеграле) Пусть функция непрерывна в отрезке, а функциямонотонная и непрерывно дифференцируема в отрезке, где,, тогда

.

Теорема 3. (Нахождение определенного интеграла по частям) Пусть функции инепрерывно дифференцируемы в отрезке, тогда верно равенство

.

Сокращенная запись: .

§5. Несобственные интегралы

5.1. Пусть функция непрерывна в промежутке .Несобственным интегралом от a до от этой функции называется предел:

.

Если этот предел существует (равен числу), то несобственный интеграл называется сходящимся; если он не существует, то интеграл называется расходящимся. В случае, если в промежутке, такой интеграл выражает площадь неограниченной фигуры с границами:,и графиком функции. Для сходящегося интеграла эта площадь конечна, для расходящегося – бесконечна. Формула Ньютона-Лейбница для таких несобственных интегралов имеет вид:

.

5.2. Пусть теперь функция непрерывна в промежутке. Тогданесобственным интегралом от доb называется предел

.

Такой интеграл (при ) выражает площадь фигуры с границами:

, и.

Формула Ньютона-Лейбница: .

5.3. Если функция непрерывна на всей числовой оси, то несобственным интегралом от до называется следующая сумма двух интегралов

(здесь — некоторое число). Это определение не зависит от выбора. Такой интеграл называетсясходящимся, если сходятся оба интеграла:

и .

Если хотя бы один из этих интегралов расходится, то интеграл называетсярасходящимся. При интегралвыражает площадь области с границамии.

Формула Ньютона-Лейбница: .

Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Остановимся на еще одном подходе к задаче о площади криволинейной трапеции, который приводит к несколько иной, более общей трактовке определенного интеграла. Простоты ради по-прежнему будем считать заданную на отрезке [а; Ь] непрерывную функцию у = f(x) неотрицательной, но не обязательно возрастающей — ее график изображен на рис. 8.7.

На чертеже кроме криволинейной трапеции ААВВ изображена ступенчатая фигура, образованная прямоугольни-

ками с основаниями Дг, = Дг₂ =. = Ах„ =-, так что правая

верхняя вершина каждого из них лежит на графике данной функции. Площадь S„ этой фигуры выражается в виде суммы площадей всех составляющих ее прямоугольников следующим образом:

Написанное выражение называется интегральной суммой; S„ дает приближенное значение площади S криволинейной трапеции, причем погрешность будет уменьшаться с ростом п, т.е. с увеличением числа прямоугольников. Точное равенство получится, если в интегральной сумме устремить п к бесконечности.

Определение 8.3. Предел последовательности интегральных сумм S_n называется определенным интегралом функции у = f(x) на отрезке [а; Ь]:

Символ J есть стилизованная буква S — от латинского слова «Summa», тот же смысл имеет и греческая буква I (читается: «сигма») используемая для обозначения суммирования.

Таким образом, определенный интеграл есть число, геометрически выражающее площадь криволинейной трапеции.

Проиллюстрируем сказанное на простом примере, в котором несложность выкладок облегчит понимание дела.

Будем рассматривать линейную функцию: у = he, заданную на отрезке [0; й], — в этом случае криволинейная трапеция превращается в треугольник ОВВ (рис. 8.8).

Рис. 8.8

Запишем интегральную сумму S,_v выражающую в этом примере площадь составленной из прямоугольников ступенчатой фигуры, «описывающей» треугольник ОВВ:

Несложными тождественными преобразованиями оно приводится к виду:

Перейдем к предел)’ при п—

Замечание. Разумеется, проще найти площадь треугольника ОВВ по формуле Ньютона — Лейбница:

или вообще пе применяя интегралов, а иростр по элементарной формуле, перемножая длины катетов ОВ и ВВ:

Но нашей целью было проследовать в этом примере тем маршрутом, который приводит к определенному интегралу в новом, более общем понимании, которое как раз и отражено в приведенном выше рассуждении Льва Толстого об интегрировании как о суммировании бесконечного числа бесконечно малых элементов: при п —»°° каждое слагаемое в интегральной сумме является бесконечно малым, а число слагаемых стремится к бесконечности.

Определенный интеграл как предел суммы

К понятию определенного интеграла приводят многие физические задачи. В конечном счете, все они сводятся к определению площади криволинейной трапеции.

Рассмотрим плоскую фигуру ограниченную отрезком оси , двумя вертикальными прямыми и , а также кривой (для определенности мы нарисовали кривую над осью ).

Площадь такой трапеции можно найти приближенно. Для этого разбиваем отрезок на не обязательно равных частей точками:

и на каждом отрезке выберем точку . Произведение есть площадь прямоугольника со сторонами и . При малых сумма площадей этих прямоугольников будет мало отличаться от площади всей трапеции. Строгое определение определенного интеграла следующее (интеграл Римана).

Обозначим длину наибольшего отрезка через . Составим интегральную сумму . Конечно, эта сумма зависит еще и от самого разбиения и от выбора точек . Так вот, если предел таких интегральных сумм при существует, то он называется определенным интегралом от функции по промежутку :

Мы не останавливаемся на построении строгой теории интеграла Римана. Отметим только, что кусочно — непрерывные функции интегрируемы по Риману. Хотя теория интеграла Римана вполне законченная, но имеет свои недостатки. В частности, интегралы от неограниченных функций, а также интегралы по неограниченным промежуткам (несобственные интегралы) не существуют, как интегралы Римана.

Приведем несколько примеров, показывающих, как вычисляются определенные интегралы через пределы частичных сумм.

Пример 1 Вычислить определенный интеграл, как предел интегральных сумм, производя надлежащим образом разбиение промежутка интеграции: .

Разбиение промежутка интегрирования проведем так: .

Значения функции для определенности возьмем в правых концах промежутков.

Тогда, продолжая дальше цепочку равенств, получим окончательно: .

Пример 2 Вычислить определенный интеграл, как предел интегральных сумм: .

Разбиение промежутка интегрирования проведем, как и в предыдущем примере:

Оставим интегральные суммы. Значения функции берем в левых концах промежутков:

Воспользуемся формулой для суммы членов геометрической прогрессии:

У нас . В результате получим:

Теперь используем следствие второго замечательного предела:

Согласно этой формуле, закончим вычисления: . Это и есть значение определенного интеграла .

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Решение.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический и экономический смысл

Пусть функция у=f(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия.

2. В каждом чacтичном отрезке [x_i-1; x_i], i= 1,2,…, n выберем произвольную точку c_i [x_i-1; x_i] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину f(c_i).

3. Умножим найденное значение функции f(c_i) на длину соответствующего частичного отрезка: f(c_i)

4. Составим сумму S_n всех таких произведений:

Сумма вида (1) называется uнтегралънoй суммой функции у=f(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: (i = 1,2, . ,n).

5. Найдем предел интегральной суммы (1), когда n что .

Если при этом интегральная сумма S_n имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = f(x) на отрезке [а; b] и обозначается . Таким образом,

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределом интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, отрезок [а; b] –областью (отрезком) интегрирования

Функция у = f(x), для которой на отрезке [а; b] существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке.

Сформулируем теорему существования определенного интеграла.

Теорема (Коши). Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то определенный интеграл существует.

Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.

Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения (2).

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования.

Это следует из того, что интегральная сумма (1), а, следовательно, и ее предел (2) не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции.

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

3. Для любого действительного числа с: .

Площадь криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная функция у = f(x) 0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = f(x) , снизу — осью Ох, сбоку — прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.

Для этого отрезок [a;b]точками a = x₀, x₁, …, b=x_n (x₀ < x₁ < … < x_n) разобьем на n частичных отрезков [x₀,x₁], [x₁;x₂], …, [x_n-1;x_n]. В каждом частичном отрезке [x_i-1;x_i] (i=1,2,…n) возьмем произвольную точку с_i и вычислим значение функции в ней, т. е. f(c_i). Умножим значение функции f(c_i) на длину соответствующего частичного отрезка. Произведение f(c_i) равно площади прямоугольника с основанием и высотой f(c_i). Сумма всех таких произведений

равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции:

С уменьшением всех величин точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры S_n, когда n неограниченно возрастает так, что :

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Экономический смысл интеграла. Пусть функция z=f(t) описывает изменение производительности с течением времени. Найдем объем продукции и, произведенной за промежуток времени [0,Т].

Отметим, что если производительность не изменяется с течением времени (f(t) — постоянная функция), то объем продукции , произведенной за некоторый промежуток времени [t, t+ t], задается формулой . В общем случае справедливо приближенное равенство , где , которое оказывается тем более точным, чем меньше . Разобьем отрезок [0,Т] на промежутки времени точками: . Для величины объема продукции , произведенной за промежуток времени , имеем , где . Тогда

При стремлении к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому

Учитывая определение определенного интеграла, окончательно получаем

т.е. если f(t) – производительность труда в момент t, то есть объем выпускаемой продукции за промежуток [0,Т].

Сравнение данной задачи с задачей о площади криволинейной трапеции показывает, что величина и объем продукции, произведенной за промежуток времени [0,Т], численно равна площади под графиком функции z=f(t), описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке [0,T] или .

Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический и экономический смысл

Пусть функция у=f(х) определена на отрезке [ а; b ], а < b. Выполним следующие действия.

1. С помощью точек х_о=а, х₁ ,х₂, …, х_n=b разобьем отрезок [ а; b ] на n частичных отрезкoв [ х_о; х₁ ], [ х₁; х₂ ], …, [ x_n-1; x_n ].

2. В каждом чacтичном отрезке [ x_i-1; x_i ], i = 1,2,…, n выберем произвольную точку c_i [ x_i-1; x_i ] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину f(c_i).

3. Умножим найденное значение функции f(c_i) на длину соответствующего частичного отрезка: f(c_i)

4. Составим сумму S_n всех таких произведений:

Сумма вида (1) называется uнтегралънoй суммой функции у=f(х) на отрезке [ а; b ]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: (i = 1,2. n).

5. Найдем предел интегральной суммы (1), когда n что .

Если при этом интегральная сумма S_n имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [ а; b ] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = f(x) на отрезке [ а; b ] и обозначается . Таким образом,

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределом интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, отрезок [ а; b ] – областью (отрезком) интегрирования

Функция у = f(x), для которой на отрезке [ а; b ] существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке.

Сформулируем теорему существования определенного интеграла.

Теорема (Коши). Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [ а; b ], то определенный интеграл существует.

Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.

Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения (2).

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования.

Это следует из того, что интегральная сумма (1), а, следовательно, и ее предел (2) не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции.

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

3. Для любого действительного числа с: .

Площадь криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [ a;b ] задана непрерывная функция у = f(x) 0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = f(x), снизу — осью Ох, сбоку — прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.

Для этого отрезок [ a;b ]точками a = x₀, x₁, …, b=x_n (x₀ < x₁ < … < x_n) разобьем на n частичных отрезков [ x₀,x₁ ], [ x₁;x₂ ], …, [ x_n-1;x_n ]. В каждом частичном отрезке [ x_i-1;x_i ] (i=1,2,…n) возьмем произвольную точку с_i и вычислим значение функции в ней, т. е. f(c_i). Умножим значение функции f(c_i) на длину соответствующего частичного отрезка. Произведение f(c_i) равно площади прямоугольника с основанием и высотой f(c_i). Сумма всех таких произведений

равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции:

С уменьшением всех величин точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры S_n, когда n неограниченно возрастает так, что :

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Экономический смысл интеграла. Пусть функция z=f(t) описывает изменение производительности с течением времени. Найдем объем продукции и, произведенной за промежуток времени [0, Т ].

Отметим, что если производительность не изменяется с течением времени (f(t) — постоянная функция), то объем продукции , произведенной за некоторый промежуток времени [ t, t+ t ], задается формулой . В общем случае справедливо приближенное равенство , где , которое оказывается тем более точным, чем меньше . Разобьем отрезок [0, Т ] на промежутки времени точками: . Для величины объема продукции , произведенной за промежуток времени , имеем , где . Тогда

При стремлении к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому

Учитывая определение определенного интеграла, окончательно получаем

т.е. если f(t) – производительность труда в момент t, то есть объем выпускаемой продукции за промежуток [0,Т].

Сравнение данной задачи с задачей о площади криволинейной трапеции показывает, что величина и объем продукции, произведенной за промежуток времени [0,Т], численно равна площади под графиком функции z=f(t), описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке [0,T] или .

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Определенный интеграл как предел интегральных сумм

Остановимся на еще одном подходе к задаче о площади криволинейной трапеции, который приводит к несколько иной, более общей трактовке определенного интеграла. Простоты ради по-прежнему будем считать заданную на отрезке [а; Ь] непрерывную функцию у = f(x) неотрицательной, но не обязательно возрастающей — ее график изображен на рис. 8.7.

На чертеже кроме криволинейной трапеции ААВВ изображена ступенчатая фигура, образованная прямоугольни-

ками с основаниями Дг, = Дг₂ =. = Ах„ =-, так что правая

верхняя вершина каждого из них лежит на графике данной функции. Площадь S„ этой фигуры выражается в виде суммы площадей всех составляющих ее прямоугольников следующим образом:

Написанное выражение называется интегральной суммой; S„ дает приближенное значение площади S криволинейной трапеции, причем погрешность будет уменьшаться с ростом п, т.е. с увеличением числа прямоугольников. Точное равенство получится, если в интегральной сумме устремить п к бесконечности.

Определение 8.3. Предел последовательности интегральных сумм S_n называется определенным интегралом функции у = f(x) на отрезке [а; Ь]:

Символ J есть стилизованная буква S — от латинского слова «Summa», тот же смысл имеет и греческая буква I (читается: «сигма») используемая для обозначения суммирования.

Таким образом, определенный интеграл есть число, геометрически выражающее площадь криволинейной трапеции.

Проиллюстрируем сказанное на простом примере, в котором несложность выкладок облегчит понимание дела.

Будем рассматривать линейную функцию: у = he, заданную на отрезке [0; й], — в этом случае криволинейная трапеция превращается в треугольник ОВВ (рис. 8.8).

Рис. 8.8

Запишем интегральную сумму S,_v выражающую в этом примере площадь составленной из прямоугольников ступенчатой фигуры, «описывающей» треугольник ОВВ:

Несложными тождественными преобразованиями оно приводится к виду:

Перейдем к предел)’ при п—

Замечание. Разумеется, проще найти площадь треугольника ОВВ по формуле Ньютона — Лейбница:

или вообще пе применяя интегралов, а иростр по элементарной формуле, перемножая длины катетов ОВ и ВВ:

Но нашей целью было проследовать в этом примере тем маршрутом, который приводит к определенному интегралу в новом, более общем понимании, которое как раз и отражено в приведенном выше рассуждении Льва Толстого об интегрировании как о суммировании бесконечного числа бесконечно малых элементов: при п —»°° каждое слагаемое в интегральной сумме является бесконечно малым, а число слагаемых стремится к бесконечности.