Сколько целых положительных значений находится в выражении

Сколько целых положительных чисел содержится в области определения выражения ?

Сколько целых положительных чисел содержится в области определения выражения :

А значит решим второе неравенство

$12-5x \geq 0 \\ 5x \leq 12 \\ x \leq 2.4$

Целые положительные числа : 1, 2

Помогите пожалуйста?

Сколько целых положительных чисел содержится в области определения выражения?

1. Приведите пример буквенного выражения, областью определения которого является множество всех действительных чисел?

1. Приведите пример буквенного выражения, областью определения которого является множество всех действительных чисел.

2. как найти область определения дробного выражения?

Найдите область определения выражения (3a — 6) / (2a + 1) * (a — 5).

Может ли областью определения дробного выражения служить множество всех действительных чисел?

Сколько целых чисел входит в область определения выражения?

Сколько целых чисел входит в область определения выражения?

Сколько целых отрицательных чисел содержится в области определения выражения КОРЕНЬ((3x + 11) / (x ^ (2) + 1))?

Сколько целых отрицательных чисел содержится в области определения выражения КОРЕНЬ((3x + 11) / (x ^ (2) + 1)).

Сколько натуральных чисел содержит область определения функции?

Сколько натуральных чисел содержит область определения функции.

Найдите количество всех целых положительных чисел из области определения функции : у = все под корнем 7 — х?

Найдите количество всех целых положительных чисел из области определения функции : у = все под корнем 7 — х.

Сколько целых положительных чисел содержится в области определения выражения корень из?

Сколько целых положительных чисел содержится в области определения выражения корень из.

Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых чисел из области определения выражения ?

Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых чисел из области определения выражения :

Сколько целых чисел содержится в области определения функции у = деленное на xквадрат — 4?

Сколько целых чисел содержится в области определения функции у = деленное на xквадрат — 4.

Найдите область определения функции В ответе запишите наибольшее целое положительное число, принадлежащее ей?

Найдите область определения функции В ответе запишите наибольшее целое положительное число, принадлежащее ей.

На этой странице сайта, в категории Алгебра размещен ответ на вопрос Сколько целых положительных чисел содержится в области определения выражения ?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся 5 — 9 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории, чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос, который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.

Сколько целых положительных значений находится в выражении

Вопрос по алгебре:

Сколько целых положительных чисел содержится в области определения выражения:

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

• 13.08.2016 08:26
• Алгебра
• remove_red_eye 11332
• thumb_up 17

Ответы и объяснения 1

А значит решим второе неравенство

Целые положительные числа: 1, 2
Ответ: 2 числа

• 14.08.2016 08:50
• thumb_up 22

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.

Сколько целых положительных значений находится в выражении

Сколько целых положительных чисел содержится в области определения выражения ?

Сколько целых положительных чисел содержится в области определения выражения :

А значит решим второе неравенство

$12-5x \geq 0 \\ 5x \leq 12 \\ x \leq 2.4$

Целые положительные числа : 1, 2

Помогите пожалуйста?

Сколько целых положительных чисел содержится в области определения выражения?

1. Приведите пример буквенного выражения, областью определения которого является множество всех действительных чисел?

1. Приведите пример буквенного выражения, областью определения которого является множество всех действительных чисел.

2. как найти область определения дробного выражения?

Найдите область определения выражения (3a — 6) / (2a + 1) * (a — 5).

Может ли областью определения дробного выражения служить множество всех действительных чисел?

Сколько целых чисел входит в область определения выражения?

Сколько целых чисел входит в область определения выражения?

Сколько целых отрицательных чисел содержится в области определения выражения КОРЕНЬ((3x + 11) / (x ^ (2) + 1))?

Сколько целых отрицательных чисел содержится в области определения выражения КОРЕНЬ((3x + 11) / (x ^ (2) + 1)).

Сколько натуральных чисел содержит область определения функции?

Сколько натуральных чисел содержит область определения функции.

Найдите количество всех целых положительных чисел из области определения функции : у = все под корнем 7 — х?

Найдите количество всех целых положительных чисел из области определения функции : у = все под корнем 7 — х.

Сколько целых положительных чисел содержится в области определения выражения корень из?

Сколько целых положительных чисел содержится в области определения выражения корень из.

Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых чисел из области определения выражения ?

Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых чисел из области определения выражения :

Сколько целых чисел содержится в области определения функции у = деленное на xквадрат — 4?

Сколько целых чисел содержится в области определения функции у = деленное на xквадрат — 4.

Найдите область определения функции В ответе запишите наибольшее целое положительное число, принадлежащее ей?

Найдите область определения функции В ответе запишите наибольшее целое положительное число, принадлежащее ей.

На этой странице сайта, в категории Алгебра размещен ответ на вопрос Сколько целых положительных чисел содержится в области определения выражения ?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся 5 — 9 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории, чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос, который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.

Сколько целых положительных значений находится в выражении

Вопрос по алгебре:

Сколько целых положительных чисел содержится в области определения выражения .

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

• 27.04.2015 16:16
• Алгебра
• remove_red_eye 10506
• thumb_up 16

Ответы и объяснения 1

• 28.04.2015 13:48
• thumb_up 31

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.

Сколько целых положительных значений находится в выражении

• 20 June 2013 Математика
• Автор: donetsnastya1

• 20 June 2013
• Ответ оставил: itopchev

• Алгебра
• Английский язык
• Беларуская мова
• Беларуская мова
• Биология
• География
• Геометрия
• Другие предметы
• Другое
• Информатика
• История
• Қазақ тiлi
• Литература
• Математика
• Обществознание
• Право
• Русский язык
• Українська література
• Українська мова
• Физика
• Химия
• Экономика

Нахождение значения выражения: правила, примеры, решения

В данной статье рассмотрено, как находить значения математических выражений. Начнем с простых числовых выражений и далее будем рассматривать случаи по мере возрастания их сложности. В конце приведем выражение, содержащее буквенные обозначения, скобки, корни, специальные математические знаки, степени, функции и т.д. Всю теорию, по традиции, снабдим обильными и подробными примерами.

Как найти значение числового выражения?

Числовые выражения, помимо прочего, помогают описывать условие задачи математическим языком. Вообще математические выражения могут быть как очень простыми, состоящими из пары чисел и арифметических знаков, так и очень сложными, содержащими функции, степени, корни, скобки и т.д. В рамках задачи часто необходимо найти значение того или иного выражения. О том, как это делать, и пойдет речь ниже.

Простейшие случаи

Это случаи, когда выражение не содержит ничего, кроме чисел и арифметических действий. Для успешного нахождения значений таких выражений понадобятся знания порядка выполнения арифметических действий без скобок, а также умение выполнять действия с различными числами.

Если в выражении есть только числа и арифметические знаки » + » , » · » , » — » , » ÷ » , то действия выполняются слева направо в следующем порядке: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. Приведем примеры.

Пример 1. Значение числового выражения

Пусть нужно найти значения выражения 14 — 2 · 15 ÷ 6 — 3 .

Выполним сначала умножение и деление. Получаем:

14 — 2 · 15 ÷ 6 — 3 = 14 — 30 ÷ 6 — 3 = 14 — 5 — 3 .

Теперь проводим вычитание и получаем окончательный результат:

Вычислим: 0 , 5 — 2 · — 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 .

Сначала выполняем преобразование дробей, деление и умножение:

0 , 5 — 2 · — 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 — ( — 14 ) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 — ( — 14 ) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12 = 1 2 — ( — 14 ) + 2 3 · 4 11 · 11 12 = 1 2 — ( — 14 ) + 2 9 .

Теперь займемся сложением и вычитанием. Сгруппируем дроби и приведем их к общему знаменателю:

1 2 — ( — 14 ) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Искомое значение найдено.

Выражения со скобками

Если выражение содержит скобки, то они определяют порядок действий в этом выражении. Сначала выполняются действия в скобках, а потом уже все остальные. Покажем это на примере.

Пример 3. Значение числового выражения

Найдем значение выражения 0 , 5 · ( 0 , 76 — 0 , 06 ) .

В выражении присутствуют скобки, поэтому сначала выполняем операцию вычитания в скобках, а уже потом — умножение.

0 , 5 · ( 0 , 76 — 0 , 06 ) = 0 , 5 · 0 , 7 = 0 , 35 .

Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.

Пример 4. Значение числового выражения

Вычислим значение 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 — 1 4 .

Выполнять действия будем начиная с самых внутренних скобок, переходя к внешним.

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 — 1 4 = 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4 = 1 + 2 · 1 + 2 · 2 , 5 = 1 + 2 · 6 = 13 .

В нахождении значений выражений со скобками главное — соблюдать последовательность действий.

Выражения с корнями

Математические выражения, значения которых нам нужно найти, могут содержать знаки корня. Причем, само выражение может быть под знаком корня. Как быть в таком случае? Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а затем извлечь корень из числа, полученного в результате. По возможности от корней в числовых выражениях нужно лучше избавляться, заменяя из на числовые значения.

Пример 5. Значение числового выражения

Вычислим значение выражения с корнями — 2 · 3 — 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 .

Сначала вычисляем подкоренные выражения.

— 2 · 3 — 1 + 60 ÷ 4 3 = — 6 — 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 = 2 , 2 + 0 , 05 = 2 , 25 = 1 , 5 .

Теперь можно вычислить значение всего выражения.

— 2 · 3 — 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 = 2 + 3 · 1 , 5 = 6 , 5

Часто найти значение выражения с корнями часто нужно сначала провести преобразование исходного выражения. Поясним это на еще одном примере.

Пример 6. Значение числового выражения

Сколько будет 3 + 1 3 — 1 — 1

Как видим, у нас нет возможности заменить корень точным значением, что усложняет процесс счета. Однако, в данном случае можно применить формулу сокращенного умножения.

3 + 1 3 — 1 = 3 — 1 .

3 + 1 3 — 1 — 1 = 3 — 1 — 1 = 1 .

Выражения со степенями

Если в выражении имеются степени, их значения нужно вычислить прежде, чем приступать ко всем остальным действиям. Бывает так, что сам показатель или основание степени являются выражениями. В таком случае, сначала вычисляют значение этих выражений, а затем уже значение степени.

Пример 7. Значение числового выражения

Найдем значение выражения 2 3 · 4 — 10 + 16 1 — 1 2 3 , 5 — 2 · 1 4 .

Начинаем вычислять по порядку.

2 3 · 4 — 10 = 2 12 — 10 = 2 2 = 4

16 · 1 — 1 2 3 , 5 — 2 · 1 4 = 16 * 0 , 5 3 = 16 · 1 8 = 2 .

Осталось только провести операцию сложение и узнать значение выражения:

2 3 · 4 — 10 + 16 1 — 1 2 3 , 5 — 2 · 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения с использованием свойств степени.

Пример 8. Значение числового выражения

Вычислим значение следующего выражения: 2 — 2 5 · 4 5 — 1 + 3 1 3 6 .

Показатели степеней опять таковы, что их точные числовые значения получить не удастся. Упростим исходное выражение, чтобы найти его значение.

2 — 2 5 · 4 5 — 1 + 3 1 3 6 = 2 — 2 5 · 2 2 5 — 1 + 3 1 3 · 6

2 — 2 5 · 2 2 5 — 1 + 3 1 3 · 6 = 2 — 2 5 · 2 2 · 5 — 2 + 3 2 = 2 2 · 5 — 2 — 2 5 + 3 2

2 2 · 5 — 2 — 2 5 + 3 2 = 2 — 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Выражения с дробями

Если выражение содержит дроби, то при вычислении такого выражения все дроби в нем нужно представить в виде обыкновенных дробей и вычислить их значения.

Если в числителе и знаменателе дроби присутствуют выражения, то сначала вычисляются значения этих выражений, и записывается финальное значение самой дроби. Арифметические действия выполняются в стандартном порядке. Рассмотрим решение примера.

Пример 9. Значение числового выражения

Найдем значение выражения, содержащего дроби: 3 , 2 2 — 3 · 7 — 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 — 6 ÷ 2 .

Как видим, в исходном выражении есть три дроби. Вычислим сначала их значения.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 — 2 · 3 6 = 7 — 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 — 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 — 3 = 6 6 = 1 .

Перепишем наше выражение и вычислим его значение:

1 , 6 — 3 · 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 — 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Часто при нахождении значений выражений удобно бывает проводить сокращение дробей. Существует негласное правило: любое выражение перед нахождением его значения лучше всего упростить по максимуму, сводя все вычисления к простейшим случаям.

Пример 10. Значение числового выражения

Вычислим выражение 2 5 — 1 — 2 5 — 7 4 — 3 .

Мы не можем нацело извлечь корень из пяти, однако можем упростить исходное выражение путем преобразований.

2 5 — 1 = 2 5 + 1 5 — 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 — 1 = 2 5 + 2 4

Исходное выражение принимает вид:

2 5 — 1 — 2 5 — 7 4 — 3 = 2 5 + 2 4 — 2 5 — 7 4 — 3 .

Вычислим значение этого выражения:

2 5 + 2 4 — 2 5 — 7 4 — 3 = 2 5 + 2 — 2 5 + 7 4 — 3 = 9 4 — 3 = — 3 4 .

Выражения с логарифмами

Когда в выражении присутствуют логарифмы, их значение, если это возможно, вычисляется с самого начала. К примеру, в выражении log 2 4 + 2 · 4 можно сразу вместо log 2 4 записать значение этого логарифма, а потом выполнить все действия. Получим: log 2 4 + 2 · 4 = 2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10 .

Под самим знаком логарифма и в его основании также могут находится числовые выражения. В таком случае, первым делом находятся их значения. Возьмем выражение log 5 — 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Имеем:

log 5 — 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.

Пример 11. Значение числового выражения

Найдем значение выражения log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

По свойству логарифмов:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 ( 2 · 3 ) = log 6 6 = 1 .

Вновь применяя свойства логарифмов, для последней дроби в выражении получим:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 — log 5 27 = — log 27 729 = — log 27 27 2 = — 2 .

Теперь можно переходить к вычислению значения исходного выражения.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + — 2 = 2 .

Выражения с тригонометрическими функциями

Бывает, что в выражении есть тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также функции, обратные им. Из значения вычисляются перед выполнением всех остальных арифметических действий. В противном случае, выражение упрощается.

Пример 12. Значение числового выражения

Найдите значение выражения: t g 2 4 π 3 — sin — 5 π 2 + cosπ .

Сначала вычисляем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.

Подставляем значения в выражение и вычисляем его значение:

t g 2 4 π 3 — sin — 5 π 2 + cosπ = 3 2 — ( — 1 ) + ( — 1 ) = 3 + 1 — 1 = 3 .

Значение выражения найдено.

Часто для того, чтобы найти значение выражения с тригонометрическими функциями, его предварительно нужно преобразовать. Поясним на примере.

Пример 13. Значение числового выражения

Нужно найти значение выражения cos 2 π 8 — sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 — sin 5 π 36 sin π 9 — 1 .

Для преобразования будем использовать тригонометрические формулы косинуса двойного угла и косинуса суммы.

cos 2 π 8 — sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 — sin 5 π 36 sin π 9 — 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 — 1 = cos π 4 cos π 4 — 1 = 1 — 1 = 0 .

Общий случай числового выражения

В общем случае тригонометрическое выражение может содержать все вышеописанные элементы: скобки, степени, корни, логарифмы, функции. Сформулируем общее правило нахождения значений таких выражений.

Как найти значение выражения

1. Корни, степени, логарифмы и т.д. заменяются их значениями.
2. Выполняются действия в скобках.
3. Оставшиеся действия выполняются по порядку слева направо. Сначала — умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Пример 14. Значение числового выражения

Вычислим, чему равно значение выражения — 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Выражение довольно сложное и громоздкое. Мы не случайно выбрали именно такой пример, постаравшись уместить в него все описанные выше случаи. Как найти значение такого выражения?

Известно, что при вычислении значения сложного дробного вида, сначала отдельно находятся значения числителя и знаменателя дроби соответственно. Будем последовательно преобразовывать и упрощать данное выражение.

Первым делом вычислим значение подкоренного выражения 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 . Чтобы сделать это, нужно найти значение синуса, и выражения, которое является аргументом тригонометрической функции.

π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 · 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 · 5 π 5 = π 6 + 2 π

Теперь можно узнать значение синуса:

sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Вычисляем значение подкоренного выражения:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 · 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2 .

Со знаменателем дроби все проще:

Теперь мы можем записать значение всей дроби:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

С учетом этого, запишем все выражение:

— 1 + 1 + 3 9 = — 1 + 1 + 3 3 = — 1 + 1 + 27 = 27 .

— 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27 .

В данном случае мы смогли вычислить точные значения корней, логарифмов, синусов и т.д. Если такой возможности нет, можно попробовать избавиться от них путем математических преобразований.

Вычисление значений выражений рациональными способами

Вычислять значения числовых нужно последовательно и аккуратно. Данный процесс можно рационализировать и ускорить, используя различные свойства действий с числами. К примеру, известно, что произведение равно нулю, если нулю равен хотя бы один из множителей. С учетом этого свойства, можно сразу сказать, что выражение 2 · 386 + 5 + 589 4 1 — sin 3 π 4 · 0 равно нулю. При этом, вовсе не обязательно выполнять действия по порядку, описанному в статье выше.

Также удобно использовать свойство вычитания равных чисел. Не выполняя никаких действий, можно заказать, что значение выражения 56 + 8 — 3 , 789 ln e 2 — 56 + 8 — 3 , 789 ln e 2 также равно нулю.

Еще один прием, позволяющий ускорить процесс — использование тождественных преобразований таких как группировка слагаемых и множителей и вынесение общего множителя за скобки. Рациональный подход к вычислению выражений с дробями — сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе.

Например, возьмем выражение 2 3 — 1 5 + 3 · 289 · 3 4 3 · 2 3 — 1 5 + 3 · 289 · 3 4 . Не выполняя действий в скобках, а сокращая дробь, можно сказать, что значение выражения равно 1 3 .

Нахождение значений выражений с переменными

Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных.

Нахождение значений выражений с переменными

Чтобы найти значение буквенного выражения и выражения с переменными, нужно в исходное выражение подставить заданные значения букв и переменных, после чего вычислить значение полученного числового выражения.

Вычислить значение выражения 0 , 5 x — y при заданных x = 2 , 4 и y = 5 .

Подставляем значения переменных в выражение и вычисляем:

0 , 5 x — y = 0 , 5 · 2 , 4 — 5 = 1 , 2 — 5 = — 3 , 8 .

Иногда можно так преобразовать выражение, чтобы получить его значение независимо от значений входящих в него букв и переменных. Для этого от букв и переменных в выражении нужно по возможности избавиться, используя тождественные преобразования, свойства арифметических действий и все возможные другие способы.

Например, выражение х + 3 — х , очевидно, имеет значение 3 , и для вычисления этого значения совсем необязательно знать значение переменной икс. Значение данного выражения равно трем для всех значений переменной икс из ее области допустимых значений.

Еще один пример. Значение выражения x x равно единице для всех положительных иксов.

Сколько целых положительных значений находится в выражении

Сколько целых положительных значений находится в выражении

x + 1 — 1 ≠ 0 , x + 1 ≥ 0 , x 2 + 3 > 0 , x + 8 > 0 , x + 8 ≠ 1

• могут не влиять на ОДЗ;
• могут привести в расширению или дополнению ОДЗ;
• могут сузить ОДЗ.

ЕГЭ по информатике 2022 — Задание 15 (Простым языком)

1) Случай

2) Случай

3) Случай

Сколько целых положительных значений находится в выражении

• 20 June 2013 Математика
• Автор: donetsnastya1

• 20 June 2013
• Ответ оставил: itopchev

• Алгебра
• Английский язык
• Беларуская мова
• Беларуская мова
• Биология
• География
• Геометрия
• Другие предметы
• Другое
• Информатика
• История
• Қазақ тiлi
• Литература
• Математика
• Обществознание
• Право
• Русский язык
• Українська література
• Українська мова
• Физика
• Химия
• Экономика

Показатели в математике (целые, дробные + функция) с примерами и образцами

Показатель — это число, показывающее, в какую именно степень возводится основание.

Показатель — в большинстве случаев, обобщённая характеристика какого-либо объекта, процесса или его результата, понятия или их свойств, обычно, выраженная в числовой форме.

Целые показатели

Свойства целых положительных показателей: Показатели степени до сего времени предполагались нами целыми и положительными, причём мы им придавали смысл, выражаемый в следующем определении:

Возвысить число а в степень с целым и положительным показателем n — значит найти произведение n одинаковых сомножителей aaa…a.

Перечислим свойства этих показателей, известные нам из предыдущих глав алгебры:

• 1) при умножении степеней одного и того же числа показатели их складываются;
• 2) при делении степеней одного и того же числа показатель делителя вычитается из показателя делимого, если показатель делителя не больше показателя делимого;
• 3) при возвышении отрицательного числа в степень с чётным показателем получается положительное число, а с нечётным показателем — отрицательное;
• 4) чтобы возвысить в степень произведение, достаточно возвысить в эту степень каждый сомножитель отдельно;
• 5) чтобы возвысить степень в степень, достаточно перемножить показатели этих степеней;
• 6) чтобы возвысить в степень дробь, достаточно возвысить в эту степень отдельно числитель и знаменатель;
• 7) чтобы возвысить радикал в степень, достаточно возвысить в эту степень подкоренное выражение;
• 8) чтобы извлечь корень из степени, достаточно разделить показатель степени на показатель корня, если такое деление выполняется нацело.

Теперь мы расширим понятие о показателях, введя показатели отрицательные и дробные, которых до сего времени мы не употребляли. Мы увидим при этом, что все свойства целых положительных показателей сохраняются и для показателей отрицательных и дробных.

Нулевой показатель

При делении степеней одного и того же числа показатель делимого может оказаться равным показателю делителя.

Пусть нужно разделить аⁿ на аⁿ.

Применяя правило (2), получаем:
aⁿ : aⁿ =aⁿ⁻ⁿ = α⁰.

Но нуль, как показатель степени, не имеет того значения, которое придаётся показателям целым и положительным, так как нельзя повторить число сомножителем нуль раз. Чтобы придать смысл выражению α⁰, подойдём к вопросу о делении аⁿ на аⁿ с другой стороны. Мы знаем, что при делении любого (отличного от нуля) числа на равное ему число частное равно единице.

Поэтому условились считать α⁰=l.

Таким образом, по определению:
Всякое число (за исключением нуля) в нулевой степени равно единице.

Легко убедиться в том, что перечисленные выше свойства целых положительных показателей применимы и к нулевому показателю. Так:

Отрицательные целые показатели

Условимся при делении степеней одного и того же числа вычитать показатель делителя из показателя делимого и в том случае, если показатель делителя больше показателя делимого. Тогда мы получим в частном букву с отрицательным показателем, например: α² : α⁵= α⁻³. Таким образом, число с отрицательным показателем мы условимся употреблять для обозначения частного от деления степеней этого числа в том случае, когда показатель делителя превосходит показатель делимого на столько единиц, сколько их находится в абсолютной величине отрицательного показателя. Так, α⁻² означает частное α : α³, или α² : α⁵, или α³ : α⁵, вообще частное α ͫ : α ͫ ⁺².

Применяемое в этом смысле число с отрицательным показателем равно дроби, у которой числитель 1, а знаменатель — то же число, но с положительным показателем, равным абсолютной величине отрицательного показателя.

Действительно, согласно нашему условию, мы должны иметь:

Сократив две первые дроби на ат и третью дробь на хт (т. е. в обоих случаях сократив дроби на числитель), получим:

Заметим, что отрицательные показатели дают возможность представить всякое дробное алгебраическое выражение под видом целого; для этого стоит только все множители знаменателя перенести множителями в числитель, взяв их с отрицательными показателями. Например:

Действия над степенями с отрицательными показателями

Убедимся теперь, что все действия над степенями с отрицательными показателями можно производить по тем же правилам, какие были прежде выведены для показателей положительных. Достаточно обнаружить это только для умножения и возвышения в степень, так как правила обратных действий — деления и извлечения корня — являются следствиями правил прямых действий.

Умножение

Предстоит показать, что при умножении степеней показатели одинаковых букв складываются и в том случае, когда эти показатели отрицательные. Убедимся, что , где m и n — целые положительные числа.

Действительно, заменив степени с отрицательными показателями дробями и произведя действие умножения по правилам, относящимся к дробям, получим:

Подобно этому:
так как

Возвышение в степень

Надо показать, что при возвышении в степень показатели этих степеней перемножаются и в том случае, когда они отрицательные. Убедимся, что .

Подобно этому:
, потому что

Примеры:
1) (3α⁻ ²b²c⁻ ³) (0,8ab⁻ ³ c⁴)=2,4α⁻ ¹b⁻ ¹ c.
2) (x⁻ ¹ y³ z²) : (5x²y⁻ ² z³ ) = x⁻ ³y⁵z⁻ ¹ .
3) (2αx⁻ ³ )⁻ ² =2⁻ ² α⁻ ² x⁶.
4) (х⁻ ² — у⁻ ¹ )² =(x⁻ ² ) ² — 2x⁻ ² y⁻ ¹ +(y⁻ ¹ ) ² =x⁻ ⁴ — 2x⁻ ² y⁻ ¹ +y⁻ ² .
5) (a⁻ ² + b⁻ ³ ) (а⁻ ² — b⁻ ³ )=a⁻ ⁴ — b⁻ ⁶.
6) =3p⁻ ³ q⁻ ¹.

Дробные показатели

В каком смысле употребляются дробные показатели: Мы знаем, что при извлечении корня из степени делят показатель степени на показатель корня, если такое деление выполняется нацело; например: и т. д. Условимся теперь распространять это правило и на те случаи, когда показатель степени не делится нацело на показатель корня. Например, мы условимся принимать, что:

Вообще мы условимся, что:
Выражение означает корень, показатель которого равен знаменателю, а показатель степени подкоренного числа равен числителю показателя

Условимся употреблять отрицательные дробные показатели в том же смысле, в каком мы употребляли отрицательные целые показатели; например, условимся, что

Основное свойство дробного показателя

Величина степени с дробным показателем не изменится, если мы умножим или разделим на одно и то же число (отличное от нуля) числитель и знаменатель дробного показателя.
Так:

Действительно, знаменатель дробного показателя означает показатель корня, а числитель его означает показатель степени подкоренного выражения, а такие показатели, как мы видели, можно умножать и делить на одно и то же число.

Основываясь на этом свойстве, мы можем преобразовывать дробный показатель совершенно так же, как и обыкновенную дробь; например, мы можем сокращать дробный показатель или приводить несколько дробных показателей к одному знаменателю.

Действия над степенями с дробными показателями

Предстоит доказать, что к дробным показателям применимы правила, выведенные раньше для целых показателей. Это достаточно обнаружить только для умножения и возвышения в степень, так как правила деления и извлечения корня являются следствиями правил умножения и возвышения в степень.

Умножение

Докажем, что при умножении показатели степеней одинаковых букв складываются и тогда, когда эти показатели дробные. Например, убедимся, что

Для этого изобразим степени с дробными показателями в виде радикалов и произведём умножение по правилу умножения радикалов:

Результат получился тот же самый, какой мы получили после сложения показателей; значит, правило о сложении показателей (при умножении) можно применять и для дробных показателей.
Таким образом:

Возвышение в степень

Докажем, что при возвышении степени в степень показатели степеней можно перемножать и тогда, когда эти показатели дробные. Например, убедимся, что

Действительно, заменив радикалами степени с дробными показателями и произведя действия над радикалами, получим:

Если показатели не только дробные числа, но и отрицательные, то и тогда к ним можно применять правила, доказанные раньше для положительных показателей. Например:

Примеры на действия с дробными и отрицательными показателями

Понятие об иррациональном показателе

Смысл степени с иррациональным показателем:

Рассмотрим степени , в которых α — какое-нибудь иррациональное число, когда основание степени α есть какое-нибудь положительное число, не равное 1. При этом могут представиться следующие три случая:

a) α > 1 и α — положительное иррациональное число; например, .

Обозначим через α₁ любое рациональное приближённое значение числа α, взятое с недостатком, и через α₂ — любое приближённое рациональное значение числа а, взятое с избытком. Тогда степень , означает таксе число, которое больше всякой степени , но меньше всякой степени . Можно доказать, что такое число существует, и единственно. Например, означает такое число, которое больше каждого из чисел ряда:

в котором показатели — десятичные приближённые значения , взятые с недостатком, но меньше каждого из чисел ряда:

в котором показатели — десятичные приближения V 2, взятые с избытком.

б) a < 1 и α — по-прежнему положительное иррациональное число, например, .

Тогда под степенью разумеют такое число, которое меньше всякой степени , но больше всякой степени . Так, есть число, меньшее каждого из чисел ряда:

но большее каждого из чисел ряда:

Таким образом, если иррациональное число а заключено между двумя рациональными числами α₁ и α₂, то степень заключена между степенями и и тогда, когда α > 1, и тогда, когда α < l.

в) и α — отрицательное иррациональное число; например:

Тогда выражению придают тот же смысл, какой имеют степени с отрицательными рациональными показателями. Так:

При подробном рассмотрении теории иррациональных показателей обнаруживается, что все свойства показателей рациональных применимы и к показателям иррациональным; так:

Показательная функция

Определение:

Показательной функцией называется функция, представляющая собой степень, у которой основание а есть какое-нибудь постоянное положительное число, не равное 1, а показатель х — независимое переменное, могущее принимать всевозможные значения, положительные и отрицательные, целые и дробные, рациональные и иррациональные. При этом предполагается, что в том случае, когда показатель х равен дроби и, следовательно, когда означает радикал некоторой степени, то из всех значений радикала берётся только одно арифметическое, т. е. положительное.

Из того, что мы знаем о показателях степени, следует, что функция при всяком значении х имеет единственное значение (благодаря условию брать для радикалов только арифметическое значение).

Свойства показательной функции

Рассмотрим некоторые свойства показательной функции, помня, что а мы считаем положительным числом.

1. При всяком положительном основании функция положительна, т. е. > 0.
При х целом положительном >0, каково бы ни было положительное число а; следовательно, высказанное нами положение в этом случае справедливо.

Пусть теперь х равно некоторой положительной дроби, например
Тогда:

Но > 0, следовательно, и > 0, так как мы условились брать лишь арифметическое значение корня.

Пусть х — положительное иррациональное число. Обозначим через α₁ и a₂ приближённые рациональные значения х по недостатку и избытку. Эти приближённые значения можно выбрать положительными. Тогда значение , будучи заключённым между двумя положительными числами и , является положительным числом.

Пусть, наконец, х равно некоторому отрицательному числу, например x=—р. Тогда:

Каково бы ни было положительное число р, согласно предыдущему > 0, но тогда и .

Таким образом, высказанное нами положение справедливо для всякого х.

2. При a > 1 функция >l, если х>0, и < l, если x < 0 (при a < l знаки неравенства для противоположны).

Пусть х — целое положительнее число. Тогда:

Пусть х — положительная дробь, например . Тогда:

Если х — положительное иррациональное число, то > 1, где a₁ — приближённое рациональное значение х по недостатку, а поэтому и . Таким образом, при всяком положительном х

Пусть теперь х есть какое-либо отрицательное число, например x = —р. Тогда:

Но согласно предыдущему > 1. Следовательно:

При a>1 функция возрастает при возрастании х.

Если x₁ и x₂ — два целых положительных числа и x₂ > x₁, то очевидно, что при 1 будем иметь:

Пусть теперь x₁ и x₂ — положительные дроби, например x₁= и x₂ =. Пусть также . Тогда:

Или по приведении дробей к одному знаменателю:

Из двух неравных дробей с одинаковыми знаменателями та больше, у которой числитель больше. Следовательно:

Так как рn и mq — целые числа, то к ним можно применить предыдущие рассуждения и мы получим:

Извлечём из и корень степени qn. Мы знаем, что из двух корней одинаковой степени тот больше, у которого больше подкоренное число. Следовательно:

Сокращая показатели, получим:

Пусть x₁ и x₂ — два вещественных числа, из которых одно или оба иррациональны.

Обозначим через β приближённое рациональное значение x₁ по избытку, а через а приближённое значение x₂ по недостатку. Если x₁ < x₂, то можно выбрать а и β при условии β < α. Тогда будем иметь Но так как , то .

График показательной функции. Построим график следующих трёх показательных функций:

Для построения графиков первых двух функций мы дадим переменному числу х ряд целых значений:
-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.

При x=—3 мы получим:

Подобно этому вычислим значения у и для всех остальных значений x.

Для функции неудобно брать указанные значения числа х, так как мы получили бы тогда для у такие большие числа, которые на чертеже 29 не умещаются (например, при х = 3 мы получили бы y= 10³ = 1000). Для этой функции мы возьмём такие дробные значения (заключающиеся между —1 и +1):

Соответствующие значения у вычислим в такой последовательности:

Далее простым умножением и делением находим:

Выпишем все найденные значения в следующие три таблицы:

x =	возрастает	-3	-2	-1	0	1	2	3	возрастает
y =	возрастает				1	2	4	8	возрастает

x =	возрастает	-3	-2	-1	0	1	2	3	возрастает
y =	возрастает	8	4	2	1				возрастает

x =	возрастает	-1				0				1	возрастает
y =	возрастает	0,1	0,17	0,32	0,56	1	1,78	3,16	5,62	10	возрастает

(в последней таблице числа округлены).

Нанеся эти значения на чертёж и соединяя полученные точки кривыми, мы получим (черт. 29) три графика взятых функций (удобно чертёж выполнить на миллиметровой бумаге, беря за единицу длины сантиметр).

Рассматривая графики показательных функций, мы видим на них в наглядном изображении следующие свойства:

1. При всяком положительном основании функция положительна (все кривые расположены выше оси х-ов).
2. При α > 1 функция > 1, если х > 0, и < 1, если х < 0 (при а < 1 знаки неравенств для противоположны).
3. При возрастании х функция ах возрастает, если а > 1 (и убывает, если a < l).
4. Если х=0, то =1 при всяком а (все кривые проходят через одну и ту же точку, лежащую на оси у-ов и отстоящую от точки 0 на +1).
5. При a > 1 функция при возрастании х возрастает тем быстрее, чем больше а (кривая при a = 10 поднимается вверх значительно больше, чем при a=2).

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Сколько целых числа содержится между числами а) -4 и 4 б) -10 и 5 в) -40 и 0 г) -100 и 10?

1. Между числами — 4 и 4 находятся 7 целых чисел, так как в них входят 3 отрицательных чисел, 3 положительных и ноль.

2. Между числами — 10 и 5 находятся 14 целых чисел, так как в них входят 9 отрицательных чисел, 4 положительных и ноль.

3. Между числами — 40 и 0 находятся 39 целых числа, так как в них входят 39 отрицательных чисел.

4. Между числами — 100 и 10 находятся 109 целых числа, так как в них входят 99 отрицательных чисел, 9 положительных и ноль.