Как быстро умножать степени

Умножение и деление степеней

Работая с математическими задачами, нередко приходится сталкиваться со степенями, которые нужно уметь умножать и делить – сейчас расскажем как.

Зачем уметь умножать и делить степени?

Умение умножать степени важно в математике, т.к. оно помогает быстро вычислять произведения и деления многих чисел со степенями, что может быть полезно в решении различных задач, таких как вычисление площади, объема или поверхности фигур, вычисление значений функций и т.д.

Умножение и деление степеней может использоваться в различных областях математики и науки, таких как:

• Алгебра: для умножения и деления многочленов, вычисления различных формул и выражений.
• Геометрия: для вычисления площади, объема или поверхности фигур, расчета расстояний и углов.
• Физика: для вычисления силы, энергии, давления и т.д.
• Информатика: для вычисления сложности алгоритмов, мощности вычислительных систем и т.д.
• Другие науки: в экономике, биологии, медицине и других областях умножение и деление степеней используется для вычисления различных показателей и метрик.

Кроме того, если вы любите поддерживать в тонусе свой мозг, вам тоже очень пригодится умение работать со степенями, потому что оно позволит решать намного больше интересных примеров и задач. Естественно, это навык крайне важен в школе и институте, ведь от него в большой степени зависит успеваемость учащегося.

Умение умножать и делить степени пригодится школьнику и студенту, а также любому человеку, чья деятельность связана с вычислениями. А прежде, чем учиться умножать и делить степени, важно усвоить несколько базовых основ.

Что такое степенные выражения?

Первое определение степени гласит, что степень n для числа a – это произведение множителей, равных величине a, взятой n раз.

Возьмем, например, a n . Здесь a является основанием степени, а n определяет показатель этой степени.

Исходя из этого, можно получить формулу:

А сама запись так и читается: a в степени n.

Можно сказать проще: степень (конкретно ее показатель) указывает на то, сколько раз нужно умножить основание степени само на себя.

Есть также и второе определение степени, согласно которому, степенное выражение – это выражение, в составе которого имеется степень.

В принципе, все просто, но перед освоением действий со степенными выражениями важно запомнить свойства степеней.

Свойства степеней

Если вы хотите грамотно и правильно работать со степенями, нужно раз и навсегда запомнить пять их свойств:

1. Произведение степеней. В случае, когда у степеней, которые нужно умножить, имеются одинаковые основания, основание остается неизменным, а показатели степеней суммируются. К примеру, a n × a m = a n + m . Основанием степени тут является a, а n и m являются показателями степени в виде натуральных чисел.
2. Частное степеней. Если делятся степени, имеющие одинаковые основания, основание остается неизменным, а показатель степени делимого уменьшается на показатель степени делителя. К примеру, a m /a n = a m — n . Основанием степени тут является a, а m и n являются показателями степени в виде натуральных чисел, и при этом m > n.
3. Возведение степени в степень. Если степень возводится в степень, основание остается неизменным, а показатели перемножаются. К примеру, (a n ) m = a n m . Основанием степени тут является a, а n и m являются показателями степени в виде натуральных чисел.
4. Степень произведения. Если требуется возвести в степень произведение, все множители возводятся в эту степень. Полученные результаты перемножаются. К примеру, (a × b) n = a n х b n . Основаниями степени тут являются a и b, а n является показателем степени в виде натурального числа.
5. Степень частного. Если требуется возвести в степень частное, в эту степень нужно по отдельности возвести делимое и делитель. Первый полученный результат делится на второй. К примеру, (a/b) n = a n /b n . Основаниями степени тут являются a и b, а n является показателем степени в виде натурального числа.

Запомнив эти правила, можно переходить к действиям со степенями.

Умножение степеней

Первое правило умножения степеней гласит, что при умножении степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями нужно умножить между собой их основания, а показатель остается неизменным.

a n × b n = (a × b) n

a 3 × b 3 = (a × a × a)(b × b × b) = (a × b) 3 = (ab)(ab)(ab) = (ab) 3

3 5 × 4 4 = (3 × 4) 5 = 12 5 = 248832

16a 2 = 4 2 × a 2 = (4a) 2

Второе правило умножения степеней гласит, что при поиске произведения степеней, обладающих одинаковыми основаниями, складываются показатели степеней.

a n × a m = a n + m

3 5 × 3 3 = 3 5 + 3 = 3 8 = 6561

2 8 × 8 1 = 2 8 × 2 3 = 2 11 = 2048

Если числа отличаются и по основаниям, и по степеням, и какое-либо одно основание не получается преобразовать в число со степенью, как у второго числа, нужно по отдельности возвести в степень каждое число, а затем сложить два результата. Например: 3 4 х 4 3 = 81 + 64 = 145.

Деление степеней

Первое правило деления степеней гласит, что при делении степеней с одинаковыми основаниями, но разными показателями нужно найти разность их показателей, а основание остается неизменным.

a m /a n = a n – m (не забывайте, что n > m)

(11 3 х 4 4 )/(11 х 4 3 ) = 11 3 – 1 х 4 4 – 2 = 11 2 х 4 2 = (11 х 4) 2 = 1936

2a 4 /2a 3 = 2a 4 – 3 = 2a

Второе правило деления степеней гласит, что при делении степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями нужно возвести результат частного имеющихся чисел в эту степень.

5 12 /3 12 = (5/3) 12

Если числа отличаются и по основаниям, и по степеням, нужно возвести в степень каждое число, а после этого разделить результаты. Например: 3 3 /5 2 = 27/25 = 1,08.

Чтобы было проще усвоить умножение и деление степеней, вы также можете запомнить несколько важных теорем, касающихся все рассмотренных нами операций.

Основные теоремы

Всего есть пять теорем, которые требуют внимания:

• Теорема 1. Для любого числа a и натуральных чисел n и m будет справедливым равенство a n × a m = a n + m . Умножая степени с одинаковыми основаниями, вы складываете показатели, а основание оставляете без изменений.
• Теорема 2. Для любого числа a и любых натуральных чисел n и m (при этом n > m) будет справедливым равенство a n /a m = a n – m . Деля степени с одинаковыми основаниями, вы отнимаете показатели, а основание оставляете без изменений.
• Теорема 3. Для любого числа a и натуральных чисел n и m будет справедливым равенство (a n ) m = a nm .

Имейте в виду, что эти три теоремы относятся к степеням с одинаковыми основаниями, а далее мы рассмотрим теоремы для степеней с одинаковыми показателями.

• Теорема 4. Для любых чисел a и b и любого натурального числа n будет справедливым равенство a n × b n = (ab) n . Перемножая степени с одинаковыми показателями, просто перемножьте их основания, а показатель оставьте без изменений.
• Теорема 5. Для любых чисел a и b (при условии, что b ≠ 0) и любого натурального числа n будет справедливым равенство a n /b n = (a/b) n . Деля друг на друга степени с одинаковыми показателями, просто разделите одно основание на другое, а показатель оставьте без изменений.

Несложно увидеть, что расчеты со степенями не вызывают особых трудностей. Чтобы научиться умножать и делить степени, нужно лишь немного попрактиковаться и наработать навык. После этого подобные примеры и задания вы сможете щелкать, как орешки.

Вопросы и ответы

А также предлагаем вашему внимание ответы на часто задаваемые вопросы по умножению и делению степеней.

Что происходит при умножении степеней с одинаковыми основаниями?

При умножении степеней с одинаковыми основаниями степени суммируются.

Что происходит при делении степеней с одинаковыми основаниями?

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Можно ли упростить выражение a n × a m до одной степени?

Да, выражение a n × a m можно упростить до одной степени так: a m + n .

Чем отличается умножение степеней с одинаковыми основаниями от умножения степеней с разными основаниями?

Умножение степеней с одинаковыми основаниями приводит к сложению показателей, в то время как умножение степеней с разными основаниями не дает степень.

Можно ли умножать разные степени с разными основаниями?

Да, можно умножать разные степени с разными основаниями. В этом случае основания нужно по отдельности возвести в степень, а затем сложить результаты.