Как найти базис линейного подпространства

§ 4.2. Линейные подпространства

Из множества векторов линейного пространства выберем некоторую совокупность векторов и обозначим ее . Пусть для любых векторов и из и любого числа выполняются следующие условия:

Тогда множество векторов называется линейным подпространством пространства .

Примеры линейных подпространств:

1. Каждое линейное пространство обладает двумя подпространствами: нулевым подпространством и самим пространством. Эти подпространства называют тривиальными.

2. Линейное пространство векторов на прямой, проходящей через начало координат, имеет два тривиальных подпространства.

3. Линейное пространство векторов на плоскости (рис. 4.2) имеет кроме двух тривиальных подпространств бесконечное множество подпространств . Каждое из них состоит из векторов, которые лежат на прямой, проходящей через начало координат (предполагается, что все векторы отложены от начала координат).

4. В геометрическом пространстве векторов пространства каждая прямая и каждая плоскость, проходящие через начало координат, определяют линейное подпространство.

Способы задания линейных подпространств

Линейное векторное подпространство задается двумя возможными способами: набором векторов или системами линейных уравнений.

1-й способ. Набор линейно независимых векторов (базис подпространства) тесно связан с понятием линейной оболочки системы векторов.

О пределение. Линейной оболочкой двух векторов и , принадлежащих линейному пространству , называется совокупность всех линейных комбинаций этих векторов

Иначе говоря, линейная оболочка состоит из бесконечного множества векторов , представимых в виде линейных комбинаций векторов и . На рис. 4.3 построены векторы и , а также приведено несколько их линейных комбинаций .

В общем случае линейной оболочкой множества векторов, принадлежащих линейному пространству , называется совокупность всех линейных комбинаций этих векторов

Свойства линейной оболочки

1. Линейная оболочка содержит само множество векторов.

2. Если линейное пространство содержит множество векторов, то:

а) пространство содержит и его линейную оболочку ;

б) — линейное подпространство пространства .

Замечание. Из определения и свойств линейной оболочки следует, что каждое векторное пространство есть линейная оболочка векторов своего базиса. Поэтому часто в задачах в целях экономии места мы, разыскивая базис подпространства, будем ограничиваться перечислением векторов базиса, не записывая конечным результатом их произвольную линейную комбинацию.

2-й способ. Существует еще один способ задания подпространства – в виде однородной системы линейных уравнений. Рассмотрим однородную линейную систему уравнений с переменными

имеющую ненулевые решения. Пусть ранг системы равен . Она обладает фундаментальным набором решений (ФНР) (см. гл.2, §2,5 «Однородные системы уравнений»).

которые линейно независимы. Эти независимые решения, являющиеся совокупностями из чисел, можно представить как — мерные линейно независимые векторы. Любое решение системы представляется в виде линейной комбинации ФНР. Если взять векторы в качестве базиса некоторого линейного векторного подпространства, то все множество решений однородной системы и будет этим векторным подпространством, называемым пространством решений однородной системы. Размерность подпространства равна числу независимых векторов, т.е. .

Таким образом, векторное подпространство может быть задано как набором векторов, составляющих базис векторного подпространства, так и посредством задания однородной системы линейных уравнений, фундаментальный набор решений которой есть базис линейного векторного подпространства. Переход от задания подпространства в виде набора векторов к заданию в виде однородной системы уравнений и обратно достаточно прост.

ПРИМЕР 1. Линейное подпространство задано набором линейно независимых векторов , . Найти однородную систему линейных уравнений, задающую подпространство .

Решение. Рассмотрим 2 способа решения задачи. Введем произвольный вектор , принадлежащий подпространству . Разложим вектор по векторам базиса

или в координатном виде (4)

1 способ. Использование формы, в которой записывается решение системы однородных уравнений и представление в этой форме векторов базиса как фундаментальных решений некоторой системы. Запишем равенство (4) в виде решения системы уравнений

Тогда система имеет вид

Замечание. Переход к системе уравнений требует наличия в каждом из векторов нулевой координаты. Если ее нет, комбинируя векторы , такие координаты легко получить.

2 способ основан на использовании теоремы Кронекера-Капелли. Составим расширенную матрицу из коэффициентов и свободных членов и преобразуем, используя метод Гаусса

Система должна иметь решения, поскольку вектор принадлежит подпространству. Ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы системы по теореме Кронекера-Капелли должны быть равны. Это выполняется при соблюдении условий: (7)

Полученная система однородных линейных уравнений задает требуемое линейное подпространство. Системы (5) и (7) несколько отличаются друг от друга. От системы (7) можно перейти к системе (5), взяв разность 1-го и 2-го уравнений в системе (7).

Замечание. Продолжив преобразование матрицы (6) по методу Гаусса-Жордана, получим координаты и вектора в базисе линейного подпространства .

ПРИМЕР 2. Линейное подпространство задано однородной системой линейных уравнений

Найти набор линейно независимых векторов (базис), задающий линейное подпространство .

Решение. Найдем фундаментальный набор решений однородной системы. Ранг матрицы коэффициентов уравнений равен 2. Поэтому могут быть найдены две переменные, выраженные через две другие. Положим базисными переменными . Свободными переменными станут . Вычтем из первого уравнения второе. Будем иметь

Запишем решения в развернутой матричной форме

Обозначив свободные переменные, стоящие в правой части равенства: , получим

Любой вектор , координаты которого являются переменными в однородной системе уравнений, представлен как линейная комбинация двух линейно независимых векторов, составляющих ФНР однородной системы. Следовательно, все множество векторов составляет линейное векторное подпространство с базисом . Итак, базис линейного подпространства : , .

ПРИМЕР. Найти линейную оболочку множества решений системы уравнений

Решение. Ранг матрицы коэффициентов системы уравнений равен 2. Выберем свободными переменными и . Тогда общее решение однородной системы уравнений имеет вид

Векторы и образуют фундаментальный набор решений однородной системы. Любое решение системы является их линейной комбинацией. Значит, линейная оболочка векторов и и есть множество решений однородной системы уравнений, т.е. , где .

Кратко оформим идеи перехода между способами задания линейного подпространства в виде таблицы

Подпространство задано своим базисом

Подпространство задано системой уравнений

Операции с линейными подпространствами

1 ) Сумма подпространств. Суммой линейных подпространств и линейного пространства называется совокупность всех векторов , которые можно представить в виде (разложить)

2) Пересечение подпространств. Пересечением линейных подпространств и линейного пространства называется совокупность всех векторов , которые принадлежат одновременно подпространствам и . На рис. 4.4 пересечению подпространств и геометрического пространства принадлежат векторы и .

3) Умножение числа на подпространство. Умножение числа на линейное векторное подпространство не изменяет его, т.е. .

4) Сумма подпространства и вектора. Алгебраическая сумма векторного подпространства и отдельного вектора , принадлежащего подпространству , не изменяет последнего

Алгебраическая сумма векторного подпространства и отдельного вектора , не принадлежащего подпространству , порождает множество векторов, которое не является векторным подпространством

С множеством векторов, называемым линейным многообразием, мы познакомимся позже.

Свойства суммы и пересечения линейных подпространств

1) Сумма и пересечение линейных подпространств являются линейными подпространствами.

2)Суммой двух подпространств и является подпространство , т.е. .

3) Размерность суммы линейных подпространств равна сумме размерностей подпространств минус размерность их пересечения (формула Грассмана)

Пусть линейные подпространства задаются своими базисами или в виде систем линейных уравнений. Тогда без труда решается задача нахождения базиса или системы уравнений, задающих сумму подпространств или их пересечение. Идеи решений таких задач оформим в виде таблицы.

Способы описания подпространств линейного пространства

Рассмотрим два важных способа описания линейных подпространств, которые условно будем называть внутренним и внешним. В первом (внутреннем) способе используется понятие линейной оболочки векторов, когда все элементы подпространства выражаются через некоторые его элементы (образующие). При втором (внешнем) способе применяются однородные системы уравнений. В этом случае подпространство описывается как пересечение некоторых содержащих его множеств. Для каждого способа описания подпространств укажем методики на хождения размерностей, базисов, алгебраических дополнений, пересечений и сумм подпространств.

Любое n-мерное вещественное линейное пространство . Чтобы установить изоморфизм , достаточно выбрать в пространстве .

Первый (внутренний) способ. Пусть в пространстве заданы столбцы . Напомним, что для систем столбцов были определены понятия базы (максимальной линейно независимой подсистемы столбцов) и ранга (максимального числа линейно не зависимых столбцов системы), а также методы их нахождения.

Рассматривая линейную оболочку столбцов как линейное подпространство , заключаем, что база системы столбцов является базисом этого подпространства, а ранг системы столбцов равен размерности подпространства .

Поэтому для нахождения размерности и базиса подпространства нужно выполнить следующие действия:

1) составить из данных столбцов матрицу размеров ;

2) привести ее к ступенчатому виду

– количество ненулевых строк в матрице ,

– столбцы матрицы задано своими образующими , то его размерность равна рангу системы столбцов , т.е. , а базисом служит максимальная линейно независимая подсистема образующих.

Второй (внешний) способ. Пусть подпространство задано как множество решений однородной системы неизвестными. Множество решений системы уравнений можно рассматривать как пересечение , где — множество решений i-го уравнения системы . Напомним, что любое решение однородной системы представляется в виде линейной комбинации элементов фундаментальной системы решений. Поэтому раз мерность пространства , а базисом служит фундаментальная система решений однородной системы . Способы нахождения фундаментальной системы решений рассмотрены ранее.

Переход от одного способа описания подпространств к другому

Переход от внутреннего описания к внешнему. Пусть подпространство задано линейной оболочкой столбцов . Требуется составить такую однородную систему , т.е. . Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Из данных столбцов составить матрицу размеров , а затем блочную матрицу , приписав к матрице к виду , где — простейший вид матрицы .

3. Из последних строк матрицы составить матрицу .

4. Записать искомую систему уравнений состоит из линейных комбинаций данных векторов, т.е. все его элементы имеют вид . Решаемую задачу можно сформулировать так: для каких векторов , чтобы выполнялось равенство . Другими словами, при каких ( уравнений с ) имеет решения? Используя необходимое и достаточное условие (5.24) совместности системы, получаем равенство

Пример 8.8. Подпространство задано линейной оболочкой столбцов . Составить систему уравнений, определяющую подпространство .

Решение. 1. Составляем матрицу и блочную матрицу:

2. Приводим левый блок к простейшему виду. Вычитаем первую строку из остальных, а затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на (-2):

Преобразовываем столбцы левого блока: ко второму столбцу прибавим пер вый, умноженный на (-1), к третьему столбцу прибавим первый, умноженный на (-3), а затем второй, умноженный на (-1). Эти преобразования не изменяют правый блок полученной матрицы. Находим простейший вид Л матрицы

3. Из последних составляем матрицу искомой системы.

4. Записываем систему уравнений Заданные в условии примера столбцы являются решениями полученной системы, в чем можно убедиться при их подстановке в систему уравнений вместо

Переход от внешнего описания к внутреннему. Пусть подпространство задано как множество решений однородной системы т уравнений с л неизвестными: . Требуется найти размерность этого подпространства, т.е. представить его в виде линейной оболочки . Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Найти фундаментальную систему решений однородной системы . Искомая размерность .

2. Представить заданное пространство как линейную оболочку .

Первый пункт алгоритма удобно выполнять следующим образом:

– составить блочную матрицу , приписав к матрице к виду , где — простейший вид матрицы столбцов матрицы составить фундаментальную матрицу .

Столбцы фундаментальной матрицы составляют искомую фундаментальную систему решений.

Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много базисов одного и того же линейного подпространства.

Пример 8.9. Найти размерность и базис подпространства

Решение. 1. Фундаментальная матрица для этой системы была найдена в примере 5.6

Ее столбцы образуют фундаментальную систему решений. Размерность подпространства равна .

Подпространство, его базис и размерность

Пусть L – линейное пространство над полем P и A – подмножество из L. Если A само составляет линейное пространство над полем P относительно тех же операций, что и L, то A называют подпространством пространства L.

Согласно определению линейного пространства, чтобы A было подпространством надо проверить выполнимость в A операций:

и проверить, что операции в A подчинены восьми аксиомам. Однако последнее будет излишним (в силу того, что эти аксиомы выполняются в L) т.е. справедлива следующая

Теорема. Пусть L линейное пространство над полем P и . Множество A тогда и только тогда является подпространством L, когда выполняются следующие требования:

Утверждение. Если L – n-мерное линейное пространство и A его подпространство, то A также конечномерное линейное пространство и его размерность не превосходит n.

Пример 1. Является ли подпространством пространства векторов-отрезков V₂ множество S всех векторов плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей координат 0x или 0y?

Решение: Пусть , и , . Тогда . Следовательно, S не является подпространством .

Пример 2. Является ли линейным подпространством линейного пространства V₂ векторов-отрезков плоскости множество S всех векторов плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой l этой плоскости?

Если вектор умножить на действительное число k, то получим вектор , также принадлежащий S. Если и – два вектора из S, то (по правилу сложения векторов на прямой). Следовательно, S является подпространством .

Пример 3. Является ли линейным подпространством линейного пространства V₂ множество A всех векторов плоскости, концы которых лежат на данной прямой l, (предположить, что начало любого вектора совпадает с началом координат)?

В случае, когда прямая l не проходит через начало координат множество А линейным подпространством пространства V₂не является, т.к. .

В случае, когда прямая l проходит через начало координат, множество А является линейным подпространством пространства V₂, т.к. и при умножении любого вектора на действительное число α из поля Р получим . Таким образом, требования линейного пространства для множества А выполнены.

Пример 4. Пусть дана система векторов из линейного пространства L над полем P. Доказать, что множество всевозможных линейных комбинаций с коэффициентами из P является подпространством L (это подпространство A называют подпространством, порожденным системой векторов или линейной оболочкой этой системы векторов, и обозначают так: или ).

Решение. Действительно, так как , то для любых элементов x, y A имеем: , , где , . Тогда

Так как , то , поэтому .

Проверим выполнимость второго условия теоремы. Если x – любой вектор из A и t – любое число из P, то . Поскольку и ,, то , , поэтому . Таким образом, согласно теореме, множество A – подпространство линейного пространства L.

Для конечномерных линейных пространств справедливо и обратное утверждение.

Теорема. Всякое подпространство А линейного пространства L над полем является линейной оболочкой некоторой системы векторов.

При решении задачи нахождения базиса и размерности линейной оболочки используют следующую теорему.

Теорема. Базис линейной оболочки совпадает с базисом системы векторов . Размерность линейной оболочки совпадает с рангом системы векторов .

Пример 4. Найти базис и размерность подпространства линейного пространства Р₃[x], если , , , .

Решение. Известно, что векторы и их координатные строки (столбцы) обладают одинаковыми свойствами (в отношении линейной зависимости). Составляем матрицу A= из координатных столбцов векторов в базисе .

Найдем ранг матрицы A.

Следовательно, ранг r(A)=3. Итак, ранг системы векторов равен 3. Значит, размерность подпространства S равна 3, а его базис состоит из трех векторов (т.к. в базисный минор входят координаты только этих векторов).

Пример 5. Доказать, что множество H векторов арифметического пространства , у которых первая и последняя координаты равны 0, составляет линейное подпространство. Найти его базис и размерность.

Решение. Пусть .

Тогда , и . Следовательно, для любых . Если , , то . Таким образом, согласно теореме о линейном подпространстве, множество H является линейным подпространством пространства . Найдем базис H. Рассмотрим следующие векторы из H: , , . Эта система векторов линейно независима. Действительно, пусть .

Можно убедиться, что система линейно зависима при любом векторе x из H. Этим доказано, что максимальная линейно независимая система векторов подпространства H, т.е. – базис в H и dimH=n 2.

Линейные Пространства (Задачи для подготовки к экзамену — Решение)

Файл «Линейные Пространства» внутри архива находится в папке «Прорешанные задачи для подготовки к экзамену». Документ из архива «Задачи для подготовки к экзамену — Решение», который расположен в категории » «. Всё это находится в предмете «линейная алгебра и аналитическая геометрия» из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе «к экзамену/зачёту», в предмете «алгебра и геометрия» в общих файлах.

Онлайн просмотр документа «Линейные Пространства»

Текст из документа «Линейные Пространства»

Задачи для подготовки к экзамену и контрольной работе по теме №2

«Линейные пространства»

2.1. Доказать, что множество всех геометрических векторов, удовлетворяющих условию , где , является линейным подпространством в пространстве V₃. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Проверяем линейность данного множества L векторов:

Все условия выполнены – L является линейным пространством.

Если , то

Таким образом, данное множество векторов является линейной оболочкой двух векторов , которые и являются в ней базисом. Размерность такой линейной оболочки равна 2, для дополнения ее базиса до базиса всего пространства достаточно добавить вектор .

2.2. Доказать, что множество всех геометрических векторов, удовлетворяющих условию , где , является линейным подпространством в пространстве V₃. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Проверяем линейность данного множества L векторов:

Все условия выполнены – L является линейным пространством.

Если , то

Таким образом, данное множество векторов является линейной оболочкой одного вектора , который и является в ней базисом. Размерность такой линейной оболочки равна 1, для дополнения ее базиса до базиса всего пространства достаточно добавить любые два вектора канонического базиса, например, и .

2.3. Для каждого из следующих множеств геометрических векторов определить, будет ли это множество линейным подпространством пространства V₃.

1) радиус-векторы точек данной плоскости;

2) векторы, образующие с данным ненулевым вектором угол α;

3) множество векторов, удовлетворяющих условию .

1) радиус-векторы точек данной плоскости образуют линейное подпространство пространства V₃, только если данная плоскость проходит через начало координат;

2) векторы, образующие с данным ненулевым вектором угол α, образуют линейное подпространство пространства V₃, поскольку умножение такого вектора на число или сложение таких векторов дает в результате вектор, также образующий с данных вектором угол α;

3) множество векторов, удовлетворяющих условию , не образует линейное подпространство пространства V₃, поскольку при умножении такого вектора, например, на 2 образуется вектор, не обладающий указанным свойством.

2.4. В пространстве V₃ задана система векторов , , . Найти размерность и базис линейной оболочки этой системы векторов. Записать общий вид векторов, принадлежащих линейной оболочке. Дополнить базис линейной оболочки до базиса пространства V₃.

Находим ранг данной системы векторов:

Ранг системы векторов равен 2, поэтому размерность линейной оболочки также равна 2. Из последней матрицы также можно определить, что в качестве базиса линейной оболочки можно выбрать векторы , .

Общий вид векторов линейной оболочки:

Из последней матрицы также следует, что дополнением этого базиса до базиса всего пространства является вектор .

2.5. В пространстве V₃ заданы векторы , , . Показать, что система S = ( ) образует базис в пространстве V₃. Найти матрицу перехода от этого базиса к каноническому базису и координаты вектора в базисе S.

Данная система включает 3 вектора, что равно размерности пространства Р₂, поэтому для того, чтобы доказать, что данная система образует базис в пространстве V₃, достаточно доказать ее линейную независимость. Определитель, составленный из координат этих векторов, равен

Следовательно, данная система векторов линейно независима и поэтому образует базис в V₃.

Матрица перехода от канонического базиса к базису S имеет вид:

следовательно, матрица перехода от базиса S к каноническому базису имеет вид:

Данный вектор в каноническом базисе имеет координаты (4;-3,2) поэтому в базисе S он имеет координаты

2.6. Доказать, что векторы вида (b,—a,a+3b) образуют линейнгое подпространство в пространстве R 3 . Найти его базис, размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

то векторы данного вида образуют линейную оболочку для системы векторов и поэтому образуют линейное подпространство пространства R 3 .

Данные вектора, очевидно, линейно независимы и поэтому образуют базис своей линейной оболочки. Количество векторов базиса подпространства равно 2, поэтому размерность подпространства L также равна 2, и сами вектора образуют в ней базис: . Дополнением этого базиса до ьазиса всего пространства можно выбрать любой вектор канонического базиса, например, вектор .

2.7. Доказать, что векторы вида (a+b,2с-a,3b,c) образуют линейнгое подпространство в пространстве R 4 . Найти его базис, размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

то векторы данного вида образуют линейную оболочку для системы векторов и поэтому образуют линейное подпространство пространства R 4 . Находим ранг данной системы векторов:

Данные векторы линейно независимы и поэтому образуют базис своей линейной оболочки. Количество векторов базиса подпространства равно 3, поэтому размерность подпространства L также равна 2, и сами вектора образуют в ней базис: . Из последней матрицы также находим дополнение этого базиса до базиса всего пространства: вектор .

2.8. Доказать, что векторы вида (a—b,-3b,0,a+b) образуют линейнгое подпространство в пространстве R 4 . Найти его базис, размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

то векторы данного вида образуют линейную оболочку для системы векторов и поэтому образуют линейное подпространство пространства R 4 . Данные вектора, очевидно, линейно независимы и поэтому образуют базис своей линейной оболочки.

Количество векторов базиса подпространства равно 2, поэтому размерность подпространства L также равна 2, и сами вектора образуют в ней базис: . Очевидным дополнением этого базиса до базиса всего пространства является линейно независимые с ними векторы .

2.9. Образуют ли векторы , , , базис в пространстве арифметических векторов R 4 ?

Количество векторов 4 равно размерности пространства R 4 . Проверяем линейную независимость данной системы векторов, для чего вычисляем определитель, составленный из их координат:

Определитель не равен 0 = векторы линейно незваисимыб их количество равно размерпности пространства. Следовательно, данные векторы образуют базис пространства R 4 .

2.10. Установить, являются ли заданные множества подпространствами пространства R_n. В случае положительного ответа найти базис и размерность подпространства.

1) Множество всех векторов, удовлетворяющих условию .

2) Множество всех векторов, удовлетворяющих условию .

3) Множество всех векторов , у которых компоненты х_i – целые числа.

1) Множество всех векторов, удовлетворяющих условию /> : умножение таких векторов на любое число и сложение двух таких векторов дают вектор, также обладающий указанным свойством. Следовательно, данные вектора образуют подпространство пространства R_n. В качестве базиса можно выбрать векторы, образующие базисное решение уравнения /> :

Размерность подпространства поэтому равна n-1.

2) Множество всех векторов, удовлетворяющих условию , не образует подпространство, т.к. после умножения такого вектора, например, на 2 получается вектор, для которого данное равенство не выполняется, т.е. не принадлежащий данному множеству.

3) Множество всех векторов , у которых компоненты х_i – целые числа: не образует подпространство, т.к. после умножения такого вектора, например, на π получается вектор, у которого нет ни одной целочисленной координаты (иначе число π оказалось бы рациональным), т.е. не принадлежащий данному множеству.

2.11. В пространстве R 4 задана система векторов , , , , . Найти размерность и базис линейной оболочки этой системы векторов. Записать общий вид векторов, принадлежащих линейной оболочке. Дополнить базис линейной оболочки до базиса всего пространства R 4 .