Неравенство Чебышева
Теорема. Каково бы ни было 
для любой случайной величины Х, дисперсия которой конечна, имеет место неравенство Чебышева
. (6.3)
Известно, что сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице, следовательно,
.
Отсюда и из неравенства (6.3) следует, что
. (6.4)
Неравенство (6.4) называют второй формой неравенства Чебышева.
Тест 6.5. чтобы для случайной величины Х имело место неравенство Чебышева, она должна обладать свойством:
1) математическое ожидание M (X) конечно;
2) дисперсия D (X) конечна;
3) M (X) не существует;
Пример 6.3. Случайная величина X имеет дисперсию D (X) = 1,66. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина X отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине менее чем на 2.
По условию D (X) = 1,66, e = 2. Применяя неравенство (6.3), находим 
.
Ответ: 
.
Пример 6.4. Случайная величина X имеет дисперсию D (X) = 0,001.
Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина X отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине не менее чем на 0,1.
По условию D (X) = 0,001, e = 0,1.
Применяя неравенство (6.4), находим
.
Ответ: 
.
Тест 6.6. Случайная величина X имеет дисперсию D (X) = 1620. Оценкой вероятности того, что случайная величина X отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине менее чем на 200, по неравенству Чебышева является выражение:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
Тест 6.7. Случайная величина X имеет дисперсию D (X) = 0,004. Оценкой вероятности того, что случайная величина X отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине не менее чем на 0,2, по неравенству Чебышева является выражение:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
3. Законы больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей
Если неотрицательная случайная величина 
имеет конечное математическое ожидание
, то для любого
справедливо неравенство:
.
Если случайная величина 
имеет конечную дисперсию
, то для любого
справедливы следующие неравенства (неравенства Чебышева):
;
.
Говорят, что последовательность случайных величин 
сходится по вероятности к величине 
(случайной или нет), если для любого
или, что эквивалентно,
Краткое обозначение сходимости по вероятности: 
при
.
Говорят, что последовательность случайных величин 
имеющих конечные математические ожидания
подчиняется закону больших чисел, если
,
при 
.
В частности, если все случайные величины в последовательности 
имеют одинаковые математические ожидания
, то закон больших чисел записывается в виде:
при 
.
Теорема Хинчина (закон больших чисел для независимых, одинаково распределенных случайных величин).
Если случайные величины в последовательности 
являются независимыми, одинаково распределенными и имеют конечные математические ожидания
то
при 
.
Теорема Чебышева (закон больших чисел для независимых, разнораспределенных случайных величин).
Если случайные величины в последовательности 
являются независимыми, а их дисперсии
равномерно ограничены, то есть
то эта последовательность случайных величин подчиняется закону больших чисел.
Утверждение теоремы Чебышева остается справедливым и для попарно некоррелированных случайных величин 
, и, если вместо требования равномерной ограниченности дисперсий выполняется условие:
.
Теорема Маркова (закон больших чисел для зависимых, разнораспределенных случайных величин).
Если дисперсии случайных величин в последовательности 
удовлетворяют условию
то эта последовательность случайных величин подчиняется закону больших чисел.
Теорема Бернулли.
Относительная частота 
появления события
в
независимых испытаниях по схеме Бернулли сходится по вероятности при
к вероятности
наступления события
в одном испытании, то есть для любого
при 
.
Пример. Пусть 
— последовательность случайных величин, дисперсии которых ограничены одной и той же постоянной
, а коэффициент корреляции любых случайных величин
и
, не являющихся соседними в последовательности, равен нулю. Подчиняется ли эта последовательность случайных величин закону больших чисел?
Решение. Проверим выполнение условия в теореме Маркова:
Из свойств дисперсии следует, что 
где
— корреляционный момент случайных величин
и
. Но для
, по условию,
, если
. Следовательно, в сумме
равны нулю все слагаемые кроме, может быть,
(их ровно
).
Для любых 
и
, так как, по условию
для любого
. Поэтому
.
Таким образом, последовательность случайных величин 
подчиняется закону больших чисел.
Задачи
3.1.1. Показать, что если существует MX 2 , то
.
3.1.2. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения:
Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что 
.
3.1.3. Пусть 
С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что
.
3.1.4. Среднее значение длины детали 50 см, а дисперсия 0,1см 2 . Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не меньше 49,5 см и не больше 50,5 см.
3.1.5. Длина изготовляемых изделий представляет случайную величину, среднее значение которой равно 90 см. Дисперсия этой величины равна 0,0225 см 2 . Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что:
а) отклонение длины изготовленного изделия от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет 0,4 см;
б) длина изделия выразится числом, заключенным между 89,7 см и 90,3 см.
3.1.6. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания:
а) менее чем на три средних квадратических отклонения;
б) не менее чем на два средних квадратических отклонения.
3.1.7. 
и
Пользуясь неравенством Чебышева, найти.
3.1.8. Устройство состоит из десяти независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за время Т окажется меньше двух.
3.1.9. Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение N(a,
). Оценить с помощью неравенства Чебышева 
.
Сравнить с точным значением этой вероятности.
3.1.10. За значение некоторой величины принимают среднее арифметическое достаточно большого числа ее измерений. Предполагая, что среднее квадратическое отклонение возможных результатов каждого измерения не превосходит 1 см, оценить вероятность того, что при 1000 измерениях отклонение принятого значения от истинного не превзойдёт по абсолютной величине 0,1 см.
3.1.11. Предполагается провести 10 измерений 
неизвестной величиныа. Считая измерения 
независимыми, нормально распределенными случайными величинами с
,
найти наименьшее
такое, чтобы выполнялось неравенство
.
Указание. Найти точное значение 
и сравнить с оценкой, полученной с помощью неравенства Чебышева.
3.1.12. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью не менее 0,99 можно было утверждать, что отклонение относительной частоты от вероятности события, равной 0,35, будет не более 0,01?
3.1.13. Сколько следует произвести испытаний, чтобы вероятность выполнения неравенства 
для событияА превысила 0,79? Считать вероятность появления данного события в отдельном испытании равной 0,7.
3.1.14. Пусть случайная величина X такова, что 
существует (a>0 – постоянная). Доказать, что тогда
.
3.1.15. Пусть 
— неотрицательная неубывающая функция. Доказать, что если существует
то
.
3.1.16. Показать, что если существует 
,
, то справедливо неравенство:
(неравенство Маркова).
3.1.17. Допуская существование 
, доказать, что имеют место следующие оценки сверху и снизу для 
:
а) 
, если
неотрицательная, четная, неубывающая на интервале
функция;
б) 
, если
неотрицательная, четная, неубывающая на интервале 
и ограниченная 
функция.
3.1.18. Дана последовательность независимых случайных величин 
Каждая случайная величина 
может принимать только три значения:
, 0, 
с вероятностями, равными соответственно 
,
,
. Применима ли к этой последовательности теорема Чебышева?
3.1.19. Дана последовательность независимых случайных величин 
Каждая случайная величина 
имеет закон распределения:
—n
1/2n 2
1-1/n 2
1/2n 2
Применима ли к этой последовательности теорема Чебышева?
3.1.20. Дана последовательность независимых случайных величин 
в которой каждая из случайных величинХn имеет закон распределения:
n/(2n+1)
Применима ли к этой последовательности теорема Чебышева?
3.1.21.. Каждая случайная величина Xn в последовательности независимых случайных величин 
может принимать только два значения
с вероятностями равными 1/2. Подчиняется ли эта последовательность случайных величин закону больших чисел?
3.1.22. Подчиняется ли закону больших чисел последовательность независимых случайных величин 
если каждая из случайных величинXk имеет закон распределения:
?
3.1.23. Подчиняется ли закону больших чисел последовательность независимых случайных величин 
если каждая случайная величина
принимает значения
,
3.1.24. Подчиняется ли закону больших чисел последовательность независимых случайных величин 
если каждая из случайных величинXk имеет закон распределения:
, 
, k1 ?
3.1.25. Случайные величины 
являются независимыми и распределены по закону равнобедренного треугольника (Симпсона) на отрезке
, т.е. имеют плотности вероятностей вида:
причем 
Подчиняется ли последовательность таких случайных величин закону больших чисел?
3.1.26. Случайные величины 
независимы и равномерно распределены а) на отрезке
б) на отрезках
соответственно, причем
, где
и
— положительные постоянные. Подчиняется ли эта последовательность случайных величин закону больших чисел?
3.1.27. Доказать, что, если 
— последовательность независимых случайных величин, имеющих дисперсии, удовлетворяющие условию
при
, то эта последовательность подчиняется закону больших чисел (теорема Хинчина).
3.1.28. Подчиняется ли закону больших чисел последовательность независимых случайных величин 
, если
, гдеc>0, >0 — некоторые постоянные?
3.1.29. Показать, что, если последовательность случайных величин 
, такова, что
и
,ki, 
, то она подчиняется закону больших чисел.
3.1.30. Дана последовательность случайных величин 
, для которых
,
(
— коэффициент корреляции между
и
). Доказать, что эта последовательность подчиняется закону больших чисел (теорема Бернштейна).
3.1.31. Пусть 
— последовательность случайных величин такая, что
может зависеть только от
и
, но не зависит от всех других
. Показать, что для этой последовательности закон больших чисел выполняется, если
,
.
3.1.32. Доказать, что если функция 
непрерывна в точкеa и последовательность случайных величин 
, такова, что
при
, то
при
.
3.1.33. Доказать, что если последовательность случайных величин 
, такова, что
,
и
при
, то и
при
.
3.1.34. Доказать, что если последовательности случайных величин 
, таковы, что
при
, то
а) 
; б)
при
.
3.1.35. Вычислить
,
если 
— функция, непрерывная на отрезке
.
3.1.36. Доказать, что
,
где 
— функция, непрерывная на отрезке
.
3.1.37. Последовательность независимых случайных величин 
удовлетворяет условиям:
, 
,
.
Доказать, что для произвольной непрерывной и ограниченной на всей числовой прямой функции f(х) имеет место равенство:
.
Предельные теоремы теории вероятностей
Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины X, имеющей математическое ожидание m и дисперсию , справедливы неравенства:
Теорема Чебышева. Если попарно независимые случайные величины с конечными математическими ожиданиями, дисперсии которых ограничены одним и тем же числом , то есть
Если математическое ожидание всех случайных величин равны, то есть
Замечание. Для случайных величин с равными математическими ожиданиями теорему Чебышева можно записать в виде
с равными дисперсиями
Теорема Бернулли. Пусть X — число «успехов» в схеме Бернулли с n испытаниями, p — вероятность «успеха» в одном испытании. Тогда для любого ,
Замечание 1. Учитывая замечание к теореме Чебышева теорему Бернулли можно записать
Замечание 2. Так как величина достигает максимума 0,25 при , то
Центральная предельная теорема в грубой формулировке выглядит так: если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.
Сформулируем более точно.
Теорема. Пусть . независимые случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями , причем
то при закон распределения случайной величины неограниченно приближается к нормальному.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПРИМЕР 13.2.59. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время T равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время T окажется: а) меньшее двух; б) не меньше двух.
Решение. а) Пусть X — дискретная случайная величина, характеризующая число отказавших элементов за время T. Тогда
Воспользуемся неравенством Чебышева
б) События и противоположны, поэтому .
ПРИМЕР 13.2.60. Гнутая монета подбрасывается 100 раз. Герб выпал 70 раз. Оценим вероятность выпадения герба для этой монеты.
Решение. Возьмем . Тогда получим
, то есть с вероятностью 0,75 оцениваемое значение принадлежит интервалу ;
Для получим с вероятностью не менее 0,9375.
В качестве оценки p берем относительную частоту .
При увеличении числа испытаний n мы будем получать с вероятностью, близкой к единице, все более маленькие интервалы для оценки теоретической вероятности .
ПРИМЕР 13.2.61. На полосу укреплений противника сбрасывается 100 серий бомб. При сбрасывании одной такой серии математическое ожидание числа попаданий равно 2, а среднее квадратическое отклонение числа попаданий равно 1,5.
Найти приближенно вероятность того, что при сбрасывании 100 серий в полосу попадает от 180 до 220 бомб.
Решение. Представим общее число попаданий как сумму чисел попаданий бомб в отдельных сериях:
, где число попаданий i-ой серии.
Будем считать число достаточным для того, чтобы можно было применить предельную теорему. Имеем: ;
. СВ X подчинена нормальному закону распределения.
ПРИМЕР 13.2.62. Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения
Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?
Решение. Проверим конечность математических ожиданий и равномерную ограниченность дисперсий.
Таким образом, каждая из случайных величин имеет конечное математическое ожидание.
Так как все дисперсии равны, то они равномерно ограничены числом . Итак, поскольку все требования выполняются, к рассматриваемой последовательности случайных величин теорема Чебышева применима.
ПРИМЕР 13.2.63. В кассе учреждения имеется сумма (руб.). В очереди стоит лиц. Сумма X, которую надо выплатить отдельному лицу – случайная величина с математическим ожиданием (руб.) и средним квадратическим отклонением (руб.).
Найти вероятность того, что суммы d не хватит для выплаты денег всем людям, стоящим в очереди.
Решение. На основании центральной предельной теоремы для одинаково распределенных слагаемых при большом (n=20 практически можно считать «большим»), случайная величина , где сумма, которую надо выплатить i-ому лицу, имеет приближенно нормальное распределение с параметрами
Суммы Y не хватит, следовательно, .
Итак, с вероятностью около 3% имеющейся в кассе суммы не хватит для выплаты всем, стоящим в очереди.
Примеры и задачи для самостоятельного решения
Решить задачи на предельные теоремы теории вероятностей
3.2.14.1. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что любая случайная величина отклонится от своего математического ожидания: а) менее чем на три среднеквадратических отклонения; б) не менее, чем на , в) не менее, чем на .
3.2.14.2. Дискретная случайная величина X задана законом распределения
| X | 0,1 | 0,4 | 0,6 |
| P | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что .
3.2.14.3. Вероятность появления события в каждом испытании равна 1/4. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число X появлений события заключено в пределах от 150 до 250, если будет произведено 800 испытаний. Сравнить с результатом вычисления по интегральной теореме Лапласа.
3.2.14.4. Дано и . Используя неравенство Чебышева, найти .
3.2.14.5. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время T лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время T окажется: а)меньше трех; б)не меньше трех.
3.2.14.6. Сколько раз необходимо подбросить монету, чтобы вероятность отклонения относительной частоты выпадения «герба» от 1/2 на величину, не превосходящую 0.1, была бы не менее 0.9?
Отв.: 250 и более раз
3.2.14.7. Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения
Применимо ли к заданной последовательности теоремы Чебышева?
Отв.: Применима
3.2.14.8. Ответить на вопрос задачи 3.2.14.7 для последовательности случайных величин
3.2.14.9. В условиях примера 2.14.5 определить: какую сумму a нужно иметь в кассе для того, чтобы вероятность того, что ее не хватит для выплаты всем стоящим, стала равна 0,005?
3.2.14.10. Железнодорожный состав состоит из вагонов; вес каждого вагона в тоннах – случайная величина с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Число вагонов n — большое (несколько десятков). Локомотив может везти вес не больше q (тонн); если вес состава больше q (тонн), приходится прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что одного локомотива не хватит для перевозки состава.
3. Законы больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей
Если неотрицательная случайная величина имеет конечное математическое ожидание, то для любогосправедливо неравенство:
.
Если случайная величина имеет конечную дисперсию, то для любогосправедливы следующие неравенства (неравенства Чебышева):
;
.
Говорят, что последовательность случайных величин сходится по вероятности к величине (случайной или нет), если для любого
или, что эквивалентно,
Краткое обозначение сходимости по вероятности: при.
Говорят, что последовательность случайных величин имеющих конечные математические ожиданияподчиняется закону больших чисел, если
,
при .
В частности, если все случайные величины в последовательности имеют одинаковые математические ожидания, то закон больших чисел записывается в виде:
при .
Теорема Хинчина (закон больших чисел для независимых, одинаково распределенных случайных величин).
Если случайные величины в последовательности являются независимыми, одинаково распределенными и имеют конечные математические ожиданиято
при .
Теорема Чебышева (закон больших чисел для независимых, разнораспределенных случайных величин).
Если случайные величины в последовательности являются независимыми, а их дисперсииравномерно ограничены, то есть
то эта последовательность случайных величин подчиняется закону больших чисел.
Утверждение теоремы Чебышева остается справедливым и для попарно некоррелированных случайных величин , и, если вместо требования равномерной ограниченности дисперсий выполняется условие:
.
Теорема Маркова (закон больших чисел для зависимых, разнораспределенных случайных величин).
Если дисперсии случайных величин в последовательности удовлетворяют условию
то эта последовательность случайных величин подчиняется закону больших чисел.
Теорема Бернулли.
Относительная частота появления событиявнезависимых испытаниях по схеме Бернулли сходится по вероятности прик вероятностинаступления событияв одном испытании, то есть для любого
при .
Пример. Пусть — последовательность случайных величин, дисперсии которых ограничены одной и той же постоянной, а коэффициент корреляции любых случайных величини, не являющихся соседними в последовательности, равен нулю. Подчиняется ли эта последовательность случайных величин закону больших чисел?
Решение. Проверим выполнение условия в теореме Маркова:
Из свойств дисперсии следует, что где— корреляционный момент случайных величини. Но для, по условию,, если. Следовательно, в суммеравны нулю все слагаемые кроме, может быть,(их ровно).
Для любых и, так как, по условиюдля любого. Поэтому
.
Таким образом, последовательность случайных величин подчиняется закону больших чисел.
Задачи
3.1.1. Показать, что если существует MX 2 , то
.
3.1.2. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения:
Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что .
3.1.3. Пусть С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что.
3.1.4. Среднее значение длины детали 50 см, а дисперсия 0,1см 2 . Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не меньше 49,5 см и не больше 50,5 см.
3.1.5. Длина изготовляемых изделий представляет случайную величину, среднее значение которой равно 90 см. Дисперсия этой величины равна 0,0225 см 2 . Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что:
а) отклонение длины изготовленного изделия от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет 0,4 см;
б) длина изделия выразится числом, заключенным между 89,7 см и 90,3 см.
3.1.6. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания:
а) менее чем на три средних квадратических отклонения;
б) не менее чем на два средних квадратических отклонения.
3.1.7. иПользуясь неравенством Чебышева, найти.
3.1.8. Устройство состоит из десяти независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за время Т окажется меньше двух.
3.1.9. Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение N(a,). Оценить с помощью неравенства Чебышева .
Сравнить с точным значением этой вероятности.
3.1.10. За значение некоторой величины принимают среднее арифметическое достаточно большого числа ее измерений. Предполагая, что среднее квадратическое отклонение возможных результатов каждого измерения не превосходит 1 см, оценить вероятность того, что при 1000 измерениях отклонение принятого значения от истинного не превзойдёт по абсолютной величине 0,1 см.
3.1.11. Предполагается провести 10 измерений неизвестной величиныа. Считая измерения независимыми, нормально распределенными случайными величинами с,найти наименьшеетакое, чтобы выполнялось неравенство
.
Указание. Найти точное значение и сравнить с оценкой, полученной с помощью неравенства Чебышева.
3.1.12. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью не менее 0,99 можно было утверждать, что отклонение относительной частоты от вероятности события, равной 0,35, будет не более 0,01?
3.1.13. Сколько следует произвести испытаний, чтобы вероятность выполнения неравенства для событияА превысила 0,79? Считать вероятность появления данного события в отдельном испытании равной 0,7.
3.1.14. Пусть случайная величина X такова, что существует (a>0 – постоянная). Доказать, что тогда
.
3.1.15. Пусть — неотрицательная неубывающая функция. Доказать, что если существуетто
.
3.1.16. Показать, что если существует ,, то справедливо неравенство:
(неравенство Маркова).
3.1.17. Допуская существование , доказать, что имеют место следующие оценки сверху и снизу для :
а) , еслинеотрицательная, четная, неубывающая на интервалефункция;
б) , еслинеотрицательная, четная, неубывающая на интервале и ограниченная функция.
3.1.18. Дана последовательность независимых случайных величин Каждая случайная величина может принимать только три значения:, 0, с вероятностями, равными соответственно ,,. Применима ли к этой последовательности теорема Чебышева?
3.1.19. Дана последовательность независимых случайных величин Каждая случайная величина имеет закон распределения:
—n
1/2n 2
1-1/n 2
1/2n 2
Применима ли к этой последовательности теорема Чебышева?
3.1.20. Дана последовательность независимых случайных величин в которой каждая из случайных величинХn имеет закон распределения:
n/(2n+1)
Применима ли к этой последовательности теорема Чебышева?
3.1.21.. Каждая случайная величина Xn в последовательности независимых случайных величин может принимать только два значенияс вероятностями равными 1/2. Подчиняется ли эта последовательность случайных величин закону больших чисел?
3.1.22. Подчиняется ли закону больших чисел последовательность независимых случайных величин если каждая из случайных величинXk имеет закон распределения:
?
3.1.23. Подчиняется ли закону больших чисел последовательность независимых случайных величин если каждая случайная величинапринимает значения,
3.1.24. Подчиняется ли закону больших чисел последовательность независимых случайных величин если каждая из случайных величинXk имеет закон распределения:
, , k1 ?
3.1.25. Случайные величины являются независимыми и распределены по закону равнобедренного треугольника (Симпсона) на отрезке, т.е. имеют плотности вероятностей вида:
причем Подчиняется ли последовательность таких случайных величин закону больших чисел?
3.1.26. Случайные величины независимы и равномерно распределены а) на отрезкеб) на отрезкахсоответственно, причем, гдеи— положительные постоянные. Подчиняется ли эта последовательность случайных величин закону больших чисел?
3.1.27. Доказать, что, если — последовательность независимых случайных величин, имеющих дисперсии, удовлетворяющие условиюпри, то эта последовательность подчиняется закону больших чисел (теорема Хинчина).
3.1.28. Подчиняется ли закону больших чисел последовательность независимых случайных величин , если, гдеc>0, >0 — некоторые постоянные?
3.1.29. Показать, что, если последовательность случайных величин , такова, чтои,ki, , то она подчиняется закону больших чисел.
3.1.30. Дана последовательность случайных величин , для которых,(— коэффициент корреляции междуи). Доказать, что эта последовательность подчиняется закону больших чисел (теорема Бернштейна).
3.1.31. Пусть — последовательность случайных величин такая, чтоможет зависеть только оти, но не зависит от всех других. Показать, что для этой последовательности закон больших чисел выполняется, если,.
3.1.32. Доказать, что если функция непрерывна в точкеa и последовательность случайных величин , такова, чтопри, топри.
3.1.33. Доказать, что если последовательность случайных величин , такова, что,ипри, то ипри.
3.1.34. Доказать, что если последовательности случайных величин , таковы, чтопри, то
а) ; б)при.
3.1.35. Вычислить
,
если — функция, непрерывная на отрезке.
3.1.36. Доказать, что
,
где — функция, непрерывная на отрезке.
3.1.37. Последовательность независимых случайных величин удовлетворяет условиям:
, ,.
Доказать, что для произвольной непрерывной и ограниченной на всей числовой прямой функции f(х) имеет место равенство:
.
Неравенство Чебышева
Теорема. Каково бы ни было для любой случайной величины Х, дисперсия которой конечна, имеет место неравенство Чебышева
. (6.3)
Известно, что сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице, следовательно,
.
Отсюда и из неравенства (6.3) следует, что
. (6.4)
Неравенство (6.4) называют второй формой неравенства Чебышева.
Тест 6.5. чтобы для случайной величины Х имело место неравенство Чебышева, она должна обладать свойством:
1) математическое ожидание M (X) конечно;
2) дисперсия D (X) конечна;
3) M (X) не существует;
Пример 6.3. Случайная величина X имеет дисперсию D (X) = 1,66. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина X отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине менее чем на 2.
По условию D (X) = 1,66, e = 2. Применяя неравенство (6.3), находим .
Ответ: .
Пример 6.4. Случайная величина X имеет дисперсию D (X) = 0,001.
Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина X отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине не менее чем на 0,1.
По условию D (X) = 0,001, e = 0,1.
Применяя неравенство (6.4), находим
.
Ответ: .
Тест 6.6. Случайная величина X имеет дисперсию D (X) = 1620. Оценкой вероятности того, что случайная величина X отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине менее чем на 200, по неравенству Чебышева является выражение:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Тест 6.7. Случайная величина X имеет дисперсию D (X) = 0,004. Оценкой вероятности того, что случайная величина X отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине не менее чем на 0,2, по неравенству Чебышева является выражение:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Предельные теоремы теории вероятностей
Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины X, имеющей математическое ожидание m и дисперсию , справедливы неравенства:
Теорема Чебышева. Если попарно независимые случайные величины с конечными математическими ожиданиями, дисперсии которых ограничены одним и тем же числом , то есть
Если математическое ожидание всех случайных величин равны, то есть
Замечание. Для случайных величин с равными математическими ожиданиями теорему Чебышева можно записать в виде
с равными дисперсиями
Теорема Бернулли. Пусть X — число «успехов» в схеме Бернулли с n испытаниями, p — вероятность «успеха» в одном испытании. Тогда для любого ,
Замечание 1. Учитывая замечание к теореме Чебышева теорему Бернулли можно записать
Замечание 2. Так как величина достигает максимума 0,25 при , то
Центральная предельная теорема в грубой формулировке выглядит так: если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.
Сформулируем более точно.
Теорема. Пусть . независимые случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями , причем
то при закон распределения случайной величины неограниченно приближается к нормальному.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПРИМЕР 13.2.59. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время T равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время T окажется: а) меньшее двух; б) не меньше двух.
Решение. а) Пусть X — дискретная случайная величина, характеризующая число отказавших элементов за время T. Тогда
Воспользуемся неравенством Чебышева
б) События и противоположны, поэтому .
ПРИМЕР 13.2.60. Гнутая монета подбрасывается 100 раз. Герб выпал 70 раз. Оценим вероятность выпадения герба для этой монеты.
Решение. Возьмем . Тогда получим
, то есть с вероятностью 0,75 оцениваемое значение принадлежит интервалу ;
Для получим с вероятностью не менее 0,9375.
В качестве оценки p берем относительную частоту .
При увеличении числа испытаний n мы будем получать с вероятностью, близкой к единице, все более маленькие интервалы для оценки теоретической вероятности .
ПРИМЕР 13.2.61. На полосу укреплений противника сбрасывается 100 серий бомб. При сбрасывании одной такой серии математическое ожидание числа попаданий равно 2, а среднее квадратическое отклонение числа попаданий равно 1,5.
Найти приближенно вероятность того, что при сбрасывании 100 серий в полосу попадает от 180 до 220 бомб.
Решение. Представим общее число попаданий как сумму чисел попаданий бомб в отдельных сериях:
, где число попаданий i-ой серии.
Будем считать число достаточным для того, чтобы можно было применить предельную теорему. Имеем: ;
. СВ X подчинена нормальному закону распределения.
ПРИМЕР 13.2.62. Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения
Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?
Решение. Проверим конечность математических ожиданий и равномерную ограниченность дисперсий.
Таким образом, каждая из случайных величин имеет конечное математическое ожидание.
Так как все дисперсии равны, то они равномерно ограничены числом . Итак, поскольку все требования выполняются, к рассматриваемой последовательности случайных величин теорема Чебышева применима.
ПРИМЕР 13.2.63. В кассе учреждения имеется сумма (руб.). В очереди стоит лиц. Сумма X, которую надо выплатить отдельному лицу – случайная величина с математическим ожиданием (руб.) и средним квадратическим отклонением (руб.).
Найти вероятность того, что суммы d не хватит для выплаты денег всем людям, стоящим в очереди.
Решение. На основании центральной предельной теоремы для одинаково распределенных слагаемых при большом (n=20 практически можно считать «большим»), случайная величина , где сумма, которую надо выплатить i-ому лицу, имеет приближенно нормальное распределение с параметрами
Суммы Y не хватит, следовательно, .
Итак, с вероятностью около 3% имеющейся в кассе суммы не хватит для выплаты всем, стоящим в очереди.
Примеры и задачи для самостоятельного решения
Решить задачи на предельные теоремы теории вероятностей
3.2.14.1. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что любая случайная величина отклонится от своего математического ожидания: а) менее чем на три среднеквадратических отклонения; б) не менее, чем на , в) не менее, чем на .
3.2.14.2. Дискретная случайная величина X задана законом распределения
| X | 0,1 | 0,4 | 0,6 |
| P | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что .
3.2.14.3. Вероятность появления события в каждом испытании равна 1/4. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число X появлений события заключено в пределах от 150 до 250, если будет произведено 800 испытаний. Сравнить с результатом вычисления по интегральной теореме Лапласа.
3.2.14.4. Дано и . Используя неравенство Чебышева, найти .
3.2.14.5. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время T лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время T окажется: а)меньше трех; б)не меньше трех.
3.2.14.6. Сколько раз необходимо подбросить монету, чтобы вероятность отклонения относительной частоты выпадения «герба» от 1/2 на величину, не превосходящую 0.1, была бы не менее 0.9?
Отв.: 250 и более раз
3.2.14.7. Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения
Применимо ли к заданной последовательности теоремы Чебышева?
Отв.: Применима
3.2.14.8. Ответить на вопрос задачи 3.2.14.7 для последовательности случайных величин
3.2.14.9. В условиях примера 2.14.5 определить: какую сумму a нужно иметь в кассе для того, чтобы вероятность того, что ее не хватит для выплаты всем стоящим, стала равна 0,005?
3.2.14.10. Железнодорожный состав состоит из вагонов; вес каждого вагона в тоннах – случайная величина с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Число вагонов n — большое (несколько десятков). Локомотив может везти вес не больше q (тонн); если вес состава больше q (тонн), приходится прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что одного локомотива не хватит для перевозки состава.
Неравенства Чебышева, теорема Чебышева и закон больших чисел в форме Чебышева
При рассмотрении различных задач экономического содержания встречаются задачи, в которых, предположим, необходимо оценить долю дефектной продукции в выпущенной партии. Для решения такого рода задач с использованием вероятностно-статистических методов П.Л. Чебышевым было предложено неравенство, которое называют первым неравенством Чебышева. Это неравенство применяют в теории математической статистики, в ряде задач принятия решений, а также в задачах статистического анализа технологических процессов, когда функции распределения результатов наблюдений неизвестны.
Лемма (первое неравенство Чебышева—Маркова). Если все значения случайной величины X положительны, то вероятность того, что она примет значение, превосходящее значение а > 0, не больше дроби, в числителе которой стоит математическое ожидание М(Х) случайной величины X, а в знаменателе — число а:
Доказательство. Пусть закон распределения случайной величины Xизвестен и задан функцией Р(Х =Xj)=pj(i= 1, 2, 3. «). Ранжированный ряд значений случайной величины Xимеет вид (рис. 7.1). 
Среди значений Х< есть значения, большие числа а и меньшие числа а. Предположим, что первые к значений случайной величины Х< (/ = 1, 2, . ,к) меньше а, а остальные значения Х< (/ = к + 1, к+2. п) больше а.
Далее в силу условия (7.2) Xi> 0, pi> 0 все члены суммы М(Х) =
= х Хм неотрицательные. Если отбросить первые к слагаемых /=1
в выражении для М(Х), то получим неравенство
Поскольку Xj(i = к + 1, к + 2, . п) больше а, то 
Очевидно, что
Подставляя (7.4) в (7.3), получим 
из чего следует требуемое соотношение:
Пример. Среднее число продаж хлебобулочных изделий за прошедшие месяцы составило 150 кг. Оценить вероятность того, что в следующем месяце число продаж составит 200 кг.
Решение. Случайная величина X (количество проданных хлебобулочных изделий) принимает только положительные значения. Тогда можно положить М(Х) = 150 кг, а в качестве а = 200. В соответствии с теоремой 
Теорема 7.1 (второе неравенство Чебышева). Вероятность того, что отклонение случайной величины X от своего математического ожидания М <Х)превзойдет по абсолютной величине произвольное е > 0, не больше дроби, в числителе которой дисперсия случайной величины D(X), а знаменатель равен е 2 :
Доказательство. Для доказательства теоремы введем случайную величину Y = (X — М(Х)) 2 , а величину е 2 приравняем числу а > 0: г 2 = а . Тогда, учитывая, что случайная величина Yпринимает только положительные значения, из первого неравенства Чебышева, следует
что и доказывает сформулированную теорему.
Второе неравенство Чебышева можно записать в другой форме. Действительно, с одной стороны, было доказано, что
Р(Х — М(Х)| > е) е) = 1. Из этого следует
Соотношение Р(Х — М(Х) 1 — ^ является другой
формой второго неравенства Чебышева.
Замечание. Из доказанного следует, что неравенства Чебышева позволяют дать оценку вероятности события для случайной величины, закон распределения которой неизвестен, а известны только числовые характеристики — математическое ожидание и дисперсия.
Можно доказать, что эти результаты верны и для непрерывных случайных величин.
Пример. Рекламное табло состоит из 30 светодиодных лент. Вероятность безотказной работы каждой ленты за время Т равна 0,95. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом работающих лент и средним числом работающих лент (математическим ожиданием) за время Токажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.
Решение, а) Обозначим через X дискретную случайную величину — число работающих лент за время Т. Тогда по формулам для числовых характеристик случайной величины, появляющейся в п независимых испытаниях с вероятностью р, имеем:
Для решения примера воспользуемся второй формой неравенства Чебышева (7.6):
Имеем: М(Х) = 28,5; D(X) = 1,425; е = 2. Подставляя эти значения, получим
б) События |Т- 28,5| 2 независимые и образуют полную группу (так как они являются противоположными), поэтому сумма их вероятностей равна единице. Следовательно,
Теперь сформулируем теорему больших чисел в форме П.Л. Чебышева.
Теорема 7.2 (закон больших чисел в форме Чебышева). Пусть Х<, Х2, . Хп попарно независимые случайные величины с математическими ожиданиями М(Хх), М(Х2), . М(Хп) и дисперсиями D(X>), D(X2), D(XJ, и пусть существует такое число С, что
D(X) 0 выполняется неравенство
Доказательство. Для доказательства рассмотрим случайную величину
Из условия теоремы D(X) 2
Чебышева (7.5), получим
Из этого соотношения, учитывая равенство (7.8), следует справедливость равенства (7.7), которое и следовало доказать.
Пример. Производитель подсчитал, что среднее значение дохода от реализации одного смартфона новой модели равно А. Предполагая, что среднее квадратическое отклонение возможных результатов каждого измерения не превосходит 1500 руб., найти вероятность того, что при реализации 500 смартфонов отклонение величины дохода от истинного значения не превзойдет 150 руб.
Решение. Пусть — случайная величина дохода от реализации одного смартфона новой модели. По условию задачи D(X^) 0 и приближается к единице при неограниченном возрастании числа измерений. Это утверждение называют законом больших чисел в форме Чебышева.
В задачах математической статистики представляет интерес случай, когда наблюдаемые случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание и одну и ту же дисперсию, т.е. М(Х.) = = М(Х) (/= 1, 2. п) и D(Xt) = о 2 . Если в качестве неизвестного математического ожидания принять его оценку как среднее арифметическое наблюденных случайных величин
то из закона больших чисел следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний величина X сколь угодно близко приближается к М(Х) — математическому ожиданию случайной величины. Этот факт в теории вероятностей записывают в виде
что означает стремление оценки X к математическому ожиданию М(Х) по вероятности или «сходимость по вероятности». «Сходимость по вероятности» не совпадает с понятием сходимости последовательности
Закон больших чисел может быть распространен и на зависимые случайные величины. Это обобщение сделал А.А. Марков.
Фундаментальное значение теоремы Чебышева весьма велико. Она позволяет утверждать, что отдельные случайные величины могут значительно отличаться от своих математических ожиданий в разных испытаниях, но последовательности, составленные из этих величин, в случае их независимости при достаточно большом п ведут себя вполне определенно, так как их среднее арифметическое значение незначительно отличается от среднего арифметического значения их математических ожиданий. Проявление закона больших чисел в физических явлениях можно наблюдать, например, в постоянстве давления газа. Каждая молекула газа в соответствии с броуновским движением, двигаясь хаотично в случайные моменты времени, сталкивается со стенками сосуда, в котором заключен газ, но ввиду большого числа молекул давление газа в сосуде остается постоянным как суммарный итог соударений большого числа молекул со стенками сосуда.
В теории вероятностей теорема Чебышева позволила проще доказать теоремы Бернулли и Пуассона.